maximos en varias variables

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS.
EXTREMOS RESTRINGIDOS Y
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
CONCEPTOS BÁSICOS
Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un punto crítico cuando su
gradiente es nulo. Para identificar de qué punto crítico se trata, debemos usar el criterio
de la segunda derivada. Éste establece que dada una función f(x; y) que presenta un
punto crítico en (x0; y0), podemos calcular el siguiente discriminante:
∂2 f
∂x 2
D= 2
∂ f
∂y∂x
∂2 f
2
2
2
2
∂x∂y ∂ f ∂ f  ∂ f 

= 2
−
∂2 f
∂x ∂y 2  ∂x∂y 
∂y 2
∂2 f
∂2 f
>
0,
se
tiene
un
mínimo
local
en
(
x
;
y
).
Si
D
>
0
y
< 0, se tiene
0
0
∂x 2
∂x 2
un máximo local en (x0; y0). Si D < 0, se tiene un punto silla en (x0; y0). Finalmente, si D
= 0 el criterio de la segunda derivada no decide la naturaleza del punto crítico en (x0;
y0).
Si D > 0 y
Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una cierta región del
dominio, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y calcular su valor en ellos.
2. Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del dominio.
3. Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los hallados en los dos
puntos anteriores.
Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y)
sujetos a una restricción g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuación vectorial:
∇f = λ∇g
El valor λ se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar
los valores de las variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la
restricción. Si existen varias restricciones, se plantean varios multiplicadores.
PROBLEMAS
1.) Puntos críticos. Hallar y clasificar los puntos críticos de:
f ( x; y ) = − x 3 + 4 xy − 2 y 2 + 1
SOLUCIÓN
Tenemos:
 f x = −3 x 2 + 4 y = 0 ⇒ −3 x 2 + 4 x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 43 ⇒ P1 (0;0); P2 ( 43 ; 43 )

 f y = 4 x − 4 y = 0 ⇒ x = y
Ahora
f xx ( x; y ) = −6 x 
− 6x 4

f yy ( x; y ) = −4  ⇒ D( x; y ) =
= 24 x − 16
4
−
4
f xy ( x; y ) = 4 
D(0;0) = −16 < 0 ⇒ (0;0) es un punto silla
D( 43 ; 43 ) = 16 > 0 ⇒ ( 43 ; 43 ) es un extremo; y como f xx ( 43 ; 43 ) = −8 < 0 ⇒ ( 43 ; 43 ) es un máximo
2.) Extremos absolutos. Hallar el valor máximo y mínimo de la función f(x; y) = x2y(4 x - y) en el triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6.
SOLUCIÓN
a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar los puntos críticos de la función que se
encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de extremos (0; 0), (6; 0), (0; 6). No
interesa, a los efectos de obtener extremos absolutos, determinar la naturaleza de los
puntos críticos, sino evaluar la función en ellos. Planteamos:
 ∂f
2
 ∂x = 0 ⇒ 2 xy (4 − x − y ) + x y (−1) = 0 ⇒ xy (8 − 3 x − 2 y ) = 0
∇f = 0 ⇒  ∂f
 = 0 ⇒ x 2 (4 − x − y ) + x 2 y (−1) = 0 ⇒ x 2 (4 − x − 2 y ) = 0
 ∂y
Prima facie vemos que todos los puntos con x = 0 son críticos. Si x ≠ 0, tenemos las
siguientes posibilidades para que ambas derivadas parciales sean nulas:
y = 0 ∧ 4 − x − 2 y = 0 ⇒ x = 4 ⇒ P1 (4;0)
resolviendo
↓
8 − 3x − 2 y = 0 ∧ 4 − x − 2 y = 0 ⇒
P2 (2;1)
El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo consideraremos
cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemos f(2; 1) = 2.
b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0 y y = 0
la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:
x + y = 6 ⇒ y = 6 − x ⇒ x 2 y (4 − x − y ) = x 2 (6 − x)(4 − x − 6 + x) = −12 x 2 + 2 x 3 ,
donde x va variando de 0 a 6. Para determinar en qué punto del segmento de recta x + y
= 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremos del segmento
asume el valor 0), podemos derivarla:
(
)
d
− 12 x 2 + 2 x 3 = −24 x + 6 x 2 = 0 ⇒ x = 0 (⇒ y = 6 ) ∨ x = 4 (⇒ y = 2 )
dx
De los dos puntos obtenidos, (0; 6) es uno de los extremos del segmento, donde la
función vale 0, mientras que (4; 2) está dentro del segmento oblicuo.
c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene:
f(segmento x = 0) = 0
f(segmento y = 0) = 0
f(2; 1) = 2 ⇒ máximo absoluto
f(4; 2) = -64 ⇒ mínimo absoluto
3.) Multiplicadores de Lagrange. La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la
pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función
f ( x; y ) =
1
x2 + y2
,
hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.
SOLUCIÓN
Sea g(x; y) = 2x4 + 3y4. Tenemos:
x

= λ8x 3
− 2
2 3/ 2
 x +y
∇ f = λ∇ g ⇒ 
y
−
= λ12 y 3
2
2 3/ 2
 x + y
(
)
(
)
si ( x ; y ) ≠ ( 0; 0 )
↓
⇒
x
=
y
2
3
x3
⇒ y=±
y3
2
3
x∨ x =0
Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave, por lo
cual debemos considerar aparte el caso en que y = 0, para el cual dicha división no sería
posible. Analizando todos los casos posibles tenemos:
y=±
2
3
x ⇒ 2 x 4 + 3 y 4 = 2 x 4 + 43 x 4 = 103 x 4 = 32 ⇒ x = ± 4
Con estos valores tenemos f(x; y) ≅ 0,44.
96
10
⇒ y = ±4
192
45
Los otros dos casos son:
x = 0 ⇒ 3 y 4 = 32 ⇒ y = ± 4
32
3
⇒ f (0;± 4
y = 0 ⇒ 2 x 4 = 32 ⇒ x = ± 4
32
2
= ±2 ⇒ f (±2;0) ≅ 0,5
32
3
) ≅ 0,55
Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0,44 y el máximo valor
será 0,55.
4.) Multiplicadores de Lagrange con más de una restricción. Hallar el punto del
paraboloide z = (x - 2)2 + 0.25(y - 3)2 + 5 más próximo al plano x + y + z = 0.
SOLUCIÓN
En un problema de extremos con restricciones hay que individualizar tres cosas:
La función a maximizar o minimizar;
Las incógnitas; y
Las restricciones.
En este problema, sabemos que hay un punto sobre el paraboloide y uno sobre el plano
tales que la distancia entre ellos es menor que entre cualquier otro par de puntos sobre
esas superficies. Determinando cuáles son esos puntos, podremos hallar la distancia
mínima. Por tanto tenemos:
Función a minimizar: distancia entre dos puntos.
Incógnitas: las coordenadas de ambos puntos.
Restricciones: los puntos deben pertenecer a las superficies dadas.
Traduciendo esto a lenguaje matemático podemos escribir lo siguiente:
Llamaremos (x; y; z) al punto que está sobre el paraboloide y (s; t; u) al perteneciente al
plano. La función a minimizar es la función distancia entre ambos, pero esto es
equivalente a minimizar la distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es una
función creciente. La distancia al cuadrado entre ambos puntos es:
f(x; y; z; s; t; u) = (x - s)2 + (y - t)2 + (z - u)2
Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis incógnitas.
Las condiciones de restricción serán la pertenencia al paraboloide y al plano
respectivamente. Recordemos que una condición de restricción siempre se escribe como
una función igualada a una constante. Podemos escribir, entonces:
g1(x; y; z; s; t; u) = z - (x - 2)2 - 0.25(y - 3)2 = 5
g2(x; y; z; s; t; u) = s + t + u = 0.
Nótese que ambas restricciones tienen las mismas variables que la función a minimizar,
a pesar de que algunas de ellas no aparecen en las respectivas leyes. Para hacer una
analogía con casos de una variable, la función f(x) = 5 no deja de ser una función de x,
por más que la variable no aparezca en la ley.
Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a nuestro caso tendremos:
∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2
Derivando variable por variable tendremos:
 2( x − s )
 2( y − t )

2( z − u )

 − 2( x − s )
 − 2( y − t )

− 2( z − u )
=
=
=
=
=
=
− 2λ1 ( x − 2)
(1)
− 0,5λ1 ( y − 2) (2)
λ1
(3)
λ2
(4)
λ2
(5)
λ2
(6)
Usamos este sistema de ecuaciones, juntamente con las restricciones, para despejar las
incógnitas. De esta manera, combinando (3), (6) y (4) es:
λ1 = - λ2 = 2(x - s)
Introduciendo este valor de λ1 en (1), sale que:
1 = -2(x - 2) ⇒ x = 1,5
Combinando de manera similar (3), (6), (5) y (2) podemos despejar:
y=0
Y, finalmente, introduciendo esto en la ecuación del paraboloide, tenemos:
z = 7,5
El punto buscado es, pues:
(x; y; z) = (1,5; 0; 7,5)
Estrictamente, ya hemos resuelto el ejercicio: hemos encontrado el punto del
paraboloide dado más próximo al plano dado. Queda para el lector despejar, del mismo
sistema de ecuaciones, el punto del plano más cercano al paraboloide, esto es, hallar los
valores de s, t y u, así como la distancia entre ambos puntos.