Flujo Gradualmente Variado

X.1
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA
PRÁCTICA X
X
X.1
ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
OBJETIVOS
Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado y la influencia de los
controles que lo generan.
Aplicar modelos matemáticos desarrollados para el cálculo de perfiles de flujo
gradualmente variado, contrastándolos con las mediciones realizadas en el
laboratorio.
Analizar perfiles de flujo experimentalmente y compararlos con los resultados
teóricos.
X.2
GENERALIDADES
El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o gradualmente variado.
En el primer caso (rápidamente variado) la profundidad de flujo cambia abruptamente en
una distancia comparativamente corta, por ejemplo en un resalto hidráulico. En el otro
caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo
gradualmente variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causas
que retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que se
manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo, respectivamente.
X.2.1 Flujo variado retardado
Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende aumenta la profundidad
(Figura X.1.a), en el sentido de la corriente. Algunas causas que retardan el flujo son:
disminución brusca de la pendiente del canal; interposición de obstáculos en el lecho del
canal como vertederos, presas, compuertas de control. Para condiciones iniciales de flujo
uniforme lento, se tendrá flujo gradualmente variado; para flujo uniforme rápido se
presentará un resalto hidráulico al pasar a condiciones de remanso.
X.2.2 Flujo variado acelerado
Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende la profundidad disminuye
(Figura X.1.b), en sentido de la corriente; ocurre cuando la pendiente del canal aumenta
bruscamente o cuando existe una caída vertical.
a) Retardado.
Figura X.1
Flujo gradualmente variado.
b) Acelerado.
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X.3
X.2
PERFILES DE FLUJO VARIADO
En el análisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el comportamiento de los
perfiles de la lámina de agua. Esto se puede hacer con un análisis del comportamiento de la
pendiente de la superficie del agua en función de las variables geométricas e hidráulicas del
flujo, como se analizará a continuación.
Figura X.2
Variables hidráulicas en flujo gradualmente variado.
En cualquier sección transversal la energía total H está dada por la expresión:
V2
H
Y Z
2g
en donde:
H
V
Y
Z
(X.1)
: energía total.
: velocidad de flujo.
: energía de presión (P/ ).
: posición respecto al plano de referencia.
Derivando la ecuación (X.1) con la distancia longitudinal y considerando un sistema de
referencia (x,Y) con incrementos positivos hacia la derecha y hacia arriba respectivamente,
se obtiene:
dH d V 2 2 g dY dZ
(X.2)
dx
dx
dx dx
en donde:
B
:ancho de la superficie libre del agua.
A
: área mojada.
dH
Sf
: es el cambio de energía respecto a la distancia x, es decir la pendiente de
dx
fricción; siempre negativa para el sistema de referencia especificado.
X.3
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d V 2 2g
dx
Q 2 dA dY
gA3 dY dx
dZ
dx
: es el cambio de elevación del fondo del canal con respecto a la distancia, o
S0
Q 2 B dY
gA3 dx
FR2
dY
: es el cambio en la energía cinética
dx
respecto a la distancia.
pendiente del fondo; para el sistema de referencia especificado es negativa
cuando decrece en el sentido de flujo.
FR
V
gYh
: número de Froude.
A
: profundidad hidráulica.
B
Sustituyendo en la ecuación (X.2) y despejando para el cambio en la profundidad con la
distancia se tiene:
dY S0 S f
(X.3)
dx 1 FR2
que describe la variación de la profundidad de flujo en un canal de forma arbitraria como
función de S0 , S f y FR2 .
Yh
Para el cálculo de los perfiles de flujo es útil determinar la relación entre las pendientes de
fondo (S0), de fricción (Sf) y del número de Froude FR . Por las características del flujo
uniforme se tiene que Y=Yn, S0= Sf y en la condición de flujo crítico FR 1 . De lo anterior
y un análisis del comportamiento y la interacción de las variables hidráulicas se puede
establecer el siguiente juego de desigualdades.
Sf > S0 corresponde a Y < Yn y Sf < S0 corresponde a Y > Yn.
FR > 1 corresponde a Y < Yc y FR < 1 corresponde a Y > Yc.
Estas desigualdades dividen el canal en tres secciones en la dimensión vertical como se
puede observar en la Figura X.3. Por convención, estas zonas se numeran del 1 al 3
empezando por la porción superior. Los perfiles en canales con pendientes menores que la
crítica, se denominan perfiles de pendiente suave (M); los perfiles en canales de pendiente
mayor que la crítica se denominan de pendiente fuerte (S); los perfiles en canales con
pendiente igual a la pendiente crítica se llaman (C), los perfiles en canales con pendiente
negativa se denominan adversos (A) y los perfiles en canales horizontales se denominan
(H). Para cada zona y para cada tipo de pendiente del canal, la pendiente del nivel del agua
puede ser positiva o negativa, presentándose flujo retardado o acelerado respectivamente.
Por ejemplo para un canal de pendiente suave o subcrítica:
0 , se forma remanso, perfil M1.
Zona 1: Y>Yn>Yc ; S0>Sf, FR <1; por tanto dY
dx
0 , se forma caída, perfil M2.
Zona 2: Yn>Y>Yc ; S0<Sf, FR <1; por tanto dY
dx
0 , se forma remanso, perfil M3.
Zona 3: Yn>Yc >Y; S0<Sf, FR >1; por tanto dY
dx
X.4
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Con un análisis similar al anterior para cada zona y cada pendiente se tienen diversas
situaciones, presentadas en la Figura X.3.
Zona 2 Yn≥Y≥Yc; Yc≥Y≥Yn
Zona 3 Y<Yn; Y<Yc
Caída-subcrítico
Remanso-supercrítico
Remanso-subcrítico
Caída-subcrítico
Remanso-supercrítico
Remanso-subcrítico
Crítico
Remanso-supercrítico
Remanso- subcrítico
Caída -supercrítico
Remanso-supercrítico
Pendiente Adversa
S0<0
Pendiente pronunciada
S0>Sc >0 Yn<Yc
Pendiente crítica
S0=Sc>0 Yn=Yc
Pendiente Moderada Pendiente Horizontal
0<S0<Sc Yn>Yc
S0=0, Yn>Yc
Zona 1 Y>Yn; Y>Yc
Figura X.3
Remanso-supercrítico
Caída-subcrítico
Sistema de clasificación de perfiles de flujo gradualmente variado.
Modificado de Chow, V. T, 1994.
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X.4
X.5
Métodos de cálculo
Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuación (X.3); sin
embargo, la pendiente de fricción en flujos reales no es conocida y se debe determinar a
partir de alguna ecuación de resistencia al flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunas
suposiciones, entre ellas:
Se consideran tramos de análisis relativamente pequeños, de tal forma que se pueda
considerar flujo uniforme y así determinar la pendiente de fricción utilizando una
ecuación de resistencia al flujo, usualmente Manning.
La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad de flujo vertical es
aproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo, es decir que no se
requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.
El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y constante en
todo el tramo en consideración.
Para conocer la variación de la profundidad del flujo gradualmente variado en relación con
la longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o aguas abajo de la sección de control, se
emplean métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: el método
tramo a tramo y el de integración gráfica. Estos métodos son aplicables a canales
prismáticos y no prismáticos.
X.4.1 Método tramo a tramo
En este método se divide el canal en tramos cortos y se hacen los cálculos etapa por etapa.
Es un método simple aplicado a canales prismáticos.
En la Figura X.2 se puede plantear la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2.
V12
V22
Z 1 Y1
Z 2 Y2
Sf x
(X.4)
2g
2g
en donde:
Vi 2
Z1 Z 2 S 0 x
y
E i Yi
(X.5)
2g
reemplazando la ecuación (X.5) en la ecuación (X.4) y despejando para x se obtiene
E2 E1
x
(X.6)
S0 S f
x
E1
E2
S0
Sf
: longitud de cada tramo.
: energía específica para la sección inicial del tramo.
: energía específica para la sección final del tramo.
: pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cms/cms).
: pendiente de fricción, también denominado gradiente hidráulico medio del tramo.
Se calcula para la profundidad media del tramo dada por:
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Ym
Y1
Y2
Y1 Y2
2
X.6
(X.7)
: profundidad del agua en la sección inicial del tramo.
: profundidad del agua en la sección final del tramo.
Para el sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S:
2
Sf
Q*n
2
Am * Rm3
(X.8)
Para el sistema C.G.S.
2
Sf
Q*n
2
4.64 Am * Rm3
Am
Rm
Q
n
: área de la sección media de profundidad Ym.
: radio hidráulico de la sección media de profundidad Ym.
: caudal.
: coeficiente de rugosidad del canal según Manning.
(X.9)
Para aplicar este método se debe conocer la profundidad de la sección inicial y la clase de
variación. Tomando incrementos o decrementos Y, la profundidad siguiente será
Y2 Y1
Y.
El signo es (+) si la variación es retardada hacia aguas abajo y el signo es (-) si es
acelerada. El valor de los intervalos que se adopten ( x, Y) puede ser cualquiera, pero
entre más pequeño sea, es mayor la exactitud del método.
Figura X.4.
Esquematización del cálculo tramo a tramo.
L
: longitud total de flujo gradualmente variado.
x
X.7
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X.4.2 Método de integración gráfica
El método tiene como base la expresión diferencial presentada en la ecuación (X.3), que
cuando se consideran tramos se convierte en la siguiente expresión.
x 1 FR2
(X.10)
Y S0 S f
Para sistema técnico, internacional o M.K.S:
Sf
Q*n
A* R2/3
2
(X.11)
Para sistema C.G.S:
2
Sf
Q*n
4.64 * A * R 2 / 3
g
R
: aceleración de gravedad = 980 cm/s2 = 9.8 m/s².
: radio hidráulico.
(X.12)
Como las variables A y Sf son función de la profundidad Y, la ecuación (X.10) puede
expresarse como:
Yn
dx
(X.13)
F (Y )
x
F (Y ) * dY
Yo
dY
Puesto que esta expresión no es integrable directamente, se debe recurrir a otros métodos
aproximados como el de la integración gráfica.
Si se grafica en coordenadas rectangulares la función F(Y) se tiene una curva.
Q2B
1
gA3
F (Y )
S0 S f
(X.14)
Según la Figura X.5, la curva está limitada por F(Y0) y F(Yn). El área debajo de la curva
corresponde a la integral de la ecuación (X.13) o sea la longitud entre las secciones de
profundidades Y0 y Yn. Para encontrar esta área numéricamente se procede así:
Se divide el área en trapecios de bases F(Y1) y F(Y2) y altura
El área de cada trapecio
L
x
A
x
F (Y1 ) F (Y2 )
2
Y
Y
Y2 Y1 .
F (Ym ) Y .
: longitud total de flujo gradualmente variado.
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X.8
Como en el método anterior, se parte de una sección de profundidad conocida y se debe
conocer también la clase de variación según la cual se suma o resta Y. Entre más pequeños
sean los intervalos x o Y adoptados, mayor será la exactitud.
Figura X.5
Método de integración gráfica.
X.4.3 Controles al flujo
Independiente del método de cálculo seleccionado es importante resaltar que para los
cómputos se debe considerar el tipo de flujo, ya sea subcrítico o supercrítico, crítico,
horizontal y adversa y localizar los respectivos controles al flujo, puesto que en flujo
subcrítico el cálculo se hace desde aguas abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.
X.5
REFERENCIAS
Ven Te Chow. Hidráulica de los Canales Abiertos. Editorial Diana 1982, México.
Vennard & Street. Elementos de Mecánica de Fluidos. Editorial CECSA, 1985. México
French, Richard. Hidráulica de Canales Abiertos. 1988. México.
X.6
TRABAJO DE LABORATORIO
A. Observaciones
a) Antes de iniciar o al finalizar con la toma de datos, se sugiere dar varias
pendientes al canal y observar los diferentes perfiles de flujo que se pueden generar
con pendiente adversa, horizontal, subcrítica y supercrítiva, los controles
correspondientes aguas arriba y aguas abajo, la formación del salto hidráulico como
ejemplo del flujo rápidamente variado, etc. Pueden usar varios tipos de controles,
como por ejemplo: la compuerta al final del canal o una presa vertedora en madera
existente en el laboratorio y que pueden colocar en puntos intermedios, la entrada al
canal.
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X.9
B. Mediciones
1. Medir las variables geométricas de la sección transversal del canal de pendiente
variable.
2. Colocar el canal con una pendiente cualquiera y ubicar una compuerta en el extremo
final.
3. Hacer circular un caudal sin que se rebose el agua.
4. Mirar la variación del perfil del agua. Si es bien notoria, continuar con el paso
siguiente; de lo contrario modificar la pendiente del canal y el caudal hasta lograr
visualizar bien la variación del perfil.
5. Quitar la compuerta para que se establezca el flujo normal. Una vez que se
estabilice medir la profundidad (Yn) del agua y aforar el caudal en el vertedero
triangular localizado en el tanque aforador del extremo final del canal.
6. Medir la cota inicial (Z1) y final (Z2) y la longitud del canal y con estos datos
calcular la pendiente (S0).
7. Colocar nuevamente la compuerta al final del canal manteniendo constante el
caudal.
8. A partir del control medir las profundidades del agua (Y) cada 20 cm.
9. Identificar el tipo de flujo (subcrítico o supercrítico)
10. Identificar el tipo de perfil, Figura X.3.
11. Anotar los datos experimentales.
X.7
INFORME
1. Con los datos de flujo uniforme: Q, Yn y S0, calcule el coeficiente n del lecho
usando la expresión de Manning para el sistema de unidades que vaya a usar (X.8) o
(X.9).
2. Calcule la profundidad crítica Yc y verifique el tipo de flujo (subcrítico o
supercrítico).
3. Determine, según el tipo de flujo, el control hidráulico o dirección de cálculo para el
perfil. Subcrítico desde aguas abajo y supercrítico desde aguas arriba.
4. Calcule la pendiente crítica Sc y verifique el tipo de perfil, Figura X.3
5. Tome como profundidad de control para iniciar los cálculos, la misma de la práctica
en el laboratorio para L=0, y dándose incrementos de Y arbitrarios, calcule las
distancias x entre secciones y la distancia total L medida en el laboratorio.
a. Empleando el método tramo a tramo.
b. Empleando el método de integración gráfica.
6. Determine aproximadamente la distancia a la cual se encontrará la profundidad
normal del flujo, L(Yn), usando cualquiera de los 2 métodos de cálculo.
7. Dibuje los perfiles teóricos (Y vs L) con los resultados de cada método e identifique
el control.
8. En el mismo gráfico, ubique los puntos experimentales medidos en el laboratorio
( x, Y).
9. Observaciones.
10. Conclusiones.
X.10
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Tabla X.1
Datos y Cálculos.
Q(cm³/s)
:_________
q(cm²/s)
:_________
Z1 (cm)
:_________
LFGVmedida (cm):_________
Datos
B (cm) :__________
Yc(cm) :__________
Z2 (cm):__________
Lmedida a Yn (cm):________
Yn
Tipo de flujo
S0
Tipo de perfil
:________
:________
:________
:________
Cálculos Método Tramo a Tramo
L (cm) Y (cm) A (cm²) V(cm/s) E(cm) Ym (cm)
Datos
L (cm) Y (cm) A (cm²) P(cm) R(cm)
Am (cm²)
Pm (cm)
Rm (cm)
Cálculos Método Gráfico
Sf FR² F(Y) F(Y)m
Y=Yi-Yi-1
Sf
x(cm) L(cm)
x(cm)
L(cm)