Guia de ejercicios UNIDAD II - Facultad de Ingeniería

UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Corregido por:
Prof. AOUAD Jamil
Prof. LAURENTÍN María
Prof. MORENO Guillermo
Elaborado por:
Prep ACUÑA Gabriela
Prep.
1
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
GUÍA DE EJERCICIOS
UNIDAD II
Corregido por:
Prof. AOUAD Jamil
Prof. LAURENTÍN María
Prof. MORENO Guillermo
Elaborado por:
Prep. ACUÑA Gabriela
2011
2
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 1. NOTACIÓN SIGMA
Es una notación que se usa para facilitar la escritura de la suma de muchos términos.
>≤=
:
:
Donde:
=: límite superior de la suma
>: límite inferior de la suma
?: índice de la suma
89 : i-ésimo término de la suma
7 89 ,
9;<
7 89 = 8< + 8<CD + ⋯ + 8:FD + 8:
9;<
Para representar al índice de la suma puede utilizarse cualquier otra letra j, k, l...
Ejemplo 1.1
A continuación se presentan algunos ejemplos de cálculo de sumatorias
Calcular la suma de las siguientes sumatorias:
a.
b.
c.
L
72? + 2 = G21 + 2H + G22 + 2H + G23 + 2H = JK
?=1
K
7
9;T
U
1
1
1
1
1
JQRJ
=
+
+
+
=
? + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 LRQS
7 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = K G∗∗H
?=1
Ejemplo 1.2
Escriba la suma en notación sigma:
a.
b.
1
1
1
1
J
+
+
+ ⋯+
=7
2 22 23
210
XY
JS
Y;J
XS
G∗∗∗H
XJ
ln2 + ln3 + ln4 + ⋯ + ln21 = 7 [\Y + J ó bien 7 [\Y G∗∗∗H
Y;J
Y;X
Existen sumatorias cuya resolución es más compleja, es por ello que existen propiedades y fórmulas
que nos permiten calcular su suma. A continuación se presentan algunas propiedades y fórmulas
de la suma.
G∗∗H Ejercicio recopilado del libro PURCELL E., VARBERG D. & RIGDON S. 2001
G∗∗∗H Ejercicio recopilado del libro STEWART, James. 2008.
3
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA PROPIEDADES DE LA SUMATORIA:
SUMATORIA:
1. Sea 89 el i-ésimo término de la suma. Entonces:
:
:
7 g 89 = g 7 89
9;D
9;D
2. Sean 89 y h9 i-ésimos términos diferentes entre sí de la suma. Entonces:
:
:
:
789 ± h9 = 7 89 ± 7 h9
9;D
9;D
3. Sea j < =, entonces:
:
l
9;D
:
7 89 = 7 89 + 7 89
9;D
9;D
9;lCD
4. Propiedad de la suma telescópica
:
7G? − ? − 1H = = − > − 1
9;<
FÓRMULAS DE LA SUMATORIA:
SUMATORIA:
:
1. 7 g = =g
9;D
:
2. 7 ? =
9;D
:
== + 1
2
3. 7 ? o =
9;D
:
4. 7 ? p =
9;D
:
5. 7 ? q =
9;D
== + 12= + 1
6
=o = + 1o
4
== + 16=p + 9=o + = − 1
30
En el ejemplo 1.3 se muestra la resolución de diversas sumatorias donde se aplican varias fórmulas
y propiedades de la suma.
4
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 1.3
Calcular la suma:
Ttt
a. 7? o + 1o
9;D
Solución a:
Se resuelve el producto notable y se aplica la propiedad dos 2 de la sumatoria vista anteriormente,
Ttt
Ttt
Ttt
Ttt
7 ? + 2? + 1 = 7 ? + 2 7 ? + 7 1
9;D
q
o
9;D
q
9;D
o
9;D
Es necesaria la aplicación de las siguientes fórmulas para la resolución
Ttt
7 ?q =
9;D
== + 16=p + 9=o + = − 1
,
30
fórmula 5 de la sumatoria
Se sustituyen los valores correspondientes, de manera que:
Ttt
De igual manera,
7 ?q =
9;D
Ttt
500501G6500p + 9500o + 499H
= 6,2813. 10Do
30
7 ?o =
9;D
== + 12= + 1
,
6
Ttt
7 ?o =
9;D
Además,
:
5005011001
= 83583500
6
7 g = =g,
9;D
Se aplica entonces esta fórmula,
fórmula 3 de la sumatoria
fórmula 1 de la sumatoria
Ttt
7 1 = 500
9;D
Entonces,
Ttt
7 ? q + 2? o + 1 = 6,2813. 10Do + 283583500 + 500
9;D
5
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Finalmente,
uSS
7YX + JX = Q, XKJU. JSJX
Y;J
pt
b. 7? p − 4v
9;T
Solución b:
Se aplica la primera propiedad de la suma, de manera que:
pt
pt
pt
7? p − 4v = v w7 ? p − 7 4x
9;T
9;T
9;T
Ahora bien, para poder aplicar las fórmulas de la suma es necesario que estas comiencen en uno 1,
para lo cual se realiza la siguiente operación:
pt
pt
q
7 ?p = 7 ?p + 7 ?p ,
9;D
9;D
Propiedad 3 de la sumatoria
9;T
Como lo que se quiere es la suma de ? = 5 hasta ? = 30, entonces:
pt
q
7 ? = 7 ? − 7 ?p
9;T
De igual manera,
Por lo tanto,
pt
p
9;D
pt
p
9;D
pt
q
74 = 74 − 74
9;T
pt
pt
9;D
pt
9;D
q
pt
q
v w7 ? − 7 4x = v yw7 ? − 7 ? x − w7 4 − 7 4xz
9;T
p
9;T
9;D
p
9;D
p
9;D
9;D
Se aplican las fórmulas correspondientes fórmulas 1 y 4 de la sumatoria y se sustituyen,
pt
pt
v w7 ? − 7 4x = v {
9;T
Finalmente,
p
9;T
302 30 + 12
4
−
424 + 12
4
− 430 + 44|
LS
7YL − U} = XJQSXJ}
Y;u
6
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Otra alternativa:
Para lograr que la suma comience en uno 1 se realiza el siguiente cambio de variable:
Entonces,
si
?=5 ⟹ j=1
si ? = 30
Se sustituye en la suma,
Entonces,
j =?−4
límite inferior de la suma
⟹ j = 26
pt
límite superior de la suma
o
7? − 4v = v 7Gj + 4p − 4H
9;T
p
l;D
o
o
v 7Gj + 4p − 4H = v 7j p + 12j o + 48j + 60
l;D
l;D
Se aplican las propiedades y fórmulas correspondientes, de manera que:
o
v 7Gj + 4p − 4H = v €{
l;D
26o26 + 1o
2626 + 1226 + 1
2626 + 1
| + 12 {
| + 48 
‚ + 6026ƒ
4
6
2
XU
} 7G„ + UL − UH = XJQSXJ}
„;J
Como era de esperarse el resultado es el mismo.
Esta alternativa de resolución de sumas mediante cambio de variable es recomendada para cuando
se tienen sumatorias donde el límite inferior es negativo.
7
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios propuestos
1. Calcular la suma de las siguientes sumatorias
a.
b.
c.
d.
e.
:
7
9;D
‰t
7?
−1
=o
7 ?? + 3o
9;Fo
Ttt
7 Š√2? + 1 − √2? − 1Œ
9;DD

7
l;Fq
:
j
j+2
7 109CD − 109
9;D
2. Encuentre el número n tal que
a.
:
7 ? = 78
9;D
Dt
Dt
b.
:
7
9;D
2? o
= 305
== + 1
Dt
3. Si se sabe que 7 j = 380 y además 7 j = 49 , determinar el valor de: 7j − 1o
l;p
pt
o
l;q
4. Si se sabe que 7G?? + 3 + H = 10940 , determinar el valor de “Z”
l;D
9;D
8
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 2. PARTICIÓN: se llama partición del intervalo G8, hH, al conjunto que cumpla con las siguientes
condiciones:
i. Conjunto finito, t = 8 y : = h
ii. Conjunto ordenado, t < D < o < ⋯ < :FD < :
Es así como,
Ž = t , D , o , … , 9FD , 9 , … , :FD , : ‘
t = 8
2.1.
D
o
…
9FD
9
…
:FD
Figura 1.1. Partición del intervalo G8, hH
: = h
LONGITUD DEL SUBINTERVALO ∆“Y :: es la distancia que existe entre los extremos de un
subintervalo. Siendo un subintervalo del intervalo G8, hH:
Gt , D H ; GD , o H ; … G9FD , 9 H ; … G:FD , : H
Entonces, las longitudes de los subintervalos serán:
∆D = D − t
∆o = o − D
.
.
.
∆9 = 9 − 9FD
.
.
.
∆: = : − :FD
Cuando las longitudes de los subintervalos son diferentes se dice que la partición es irregular, esto
es:
t = 8
D = 8 + ∆D
o = 8 + ∆D + ∆o
.
.
.
: = 8 + ∆D + ∆o + ⋯ + ∆:
Tal y como se muestra en la figura 1.1
9
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Sin embargo,
h − 8 = ∆D B ∆o B ⋯ B ∆9FD B ∆9 B ∆:FD B ∆:
Por otra parte, cuando las longitudes de los subintervalos son iguales se dice que la partición es
regular, esto es:
∆D A ∆o A ⋯ A ∆9FD A ∆9 A ⋯ A ∆:FD A ∆: A ∆ A
Siendo “n” el número de subintervalos de la partición:
Entonces,
hm8
=
t A 8
D A 8 B ∆
o A 8 B 2∆
.
.
.
: A 8 B =∆
2.2.
DIÁMETRO O NORMA DE UNA PARTICIÓN ‖—‖:: es la máxima longitud de un intervalo
2.3.
AFINO DE UNA PARTICIÓN: es una partición que se forma al agregar nuevos elementos a
para una partición dada. Es decir,
‖Ž‖ A >á∆9 una partición ya establecida. Se dice entonces que ŽD es afino de Ž si:
Ž ⊂ ŽD
Figura 2.1. Representación de un afino de P
10
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 2.1
Para cada uno de los siguientes conjuntos determinar:
a. Cuáles son particiones del intervalo G−2,8H
b. Si se trata de una partición regular o irregular
c. Norma de la partición
d. Existencia de un afino de la partición
ŽD = −2,0, −3,6,8‘;
Žq = −2, −1,5,7,8‘;
Solución a:
Žo = −2,0,2,4,6,8‘;
ŽT = −2,0,1,2,3,4,6,8‘ ;
Žp = 4,5,7,8‘;
1
7
Ž = ™−2, −1,0, , 1,2,3, , 4,6,8š
2
2
ŽD no es partición deG−2,8H debido a que el conjunto no está ordenado en forma creciente.
Žp no es partición deG−2,8H debido a que el primer termino no corresponde con el extremo inferior
del intervalo.
Žo , Žq ŽT y Ž son particiones de G−2,8H debido a que se cumple que, el primer y último elemento de
cada partición corresponden con los extremos del intervalo y están ordenados de forma creciente.
Solución b:
Sea ›X = −X, S, X, U, Q, K‘
∆D = 0 − −2 = 2
∆o = 2 − 0 = 2
Debido a que,
Entonces,
∆p = 4 − 2 = 2
∆q = 6 − 4 = 2
∆D = ∆o = ∆p = ∆q
Žo es una partición regular
Sea ›U = −X, −J, u, œ, K‘‘
∆D = −1 − −2 = 1
∆o = 5 − −1 = 4
∆p = 7 − 5 = 2
11
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA ∆q = 8 − 7 = 1
Debido a que,
Entonces,
∆D = ∆q ≠ ∆o ≠ ∆p
Žq es una partición irregular
Sea
›u = −X, S, J, X, L, U, Q, K‘‘
∆D = 0 − −2 = 2
∆o = 1 − 0 = 1
∆p = 2 − 1 = 1
∆q = 3 − 2 = 1
∆T = 4 − 3 = 1
∆ = 6 − 4 = 2
∆ž = 8 − 6 = 2
ŽT es una partición irregular
J
œ
Sea ›Q = ™−X, −J, S, , J, X, L, , U, Q, Kšš
X
X
∆D = −1 − −2 = 1
∆o = 0 − −1 = 1
1
1
−0=
2
2
1 1
∆q = 1 − =
2 2
∆p =
∆T = 2 − 1 = 1
∆ = 3 − 2 = 1
7
1
−3=
2
2
7 1
∆‰ = 4 − =
2 2
∆ž =
∆Ÿ = 6 − 4 = 2
∆Dt = 8 − 6 = 2
Ž es una partición irregular
Basta con que una de las longitudes del subintervalo difiera de las demás para concluir que la
partición es irregular.
12
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Solución c:
‖Žo ‖ A >á∆9 A 2
‖Žq ‖ A >á∆9 A 4
‖ŽT ‖ A >á∆9 A 2
‖Ž ‖ A >á∆9 A 2
Solución d:
Si se observan las particiones,
Žo A m2,0,2,4,6,8‘;
ŽT A m2,0,1,2,3,4,6,8‘ ;
1
7
Ž A ™m2, m1,0, , 1,2,3, , 4,6,8š
2
2
Se encuentra que de Žo derivan ŽT y Ž por lo tanto estas particiones son afinos de Žo. En la figura
2.2 se observa la inclusión de los nuevos elementos a la partición Žo lo que genera a ŽT, se dice
entonces que Žo está incluido en ŽT .
Figura 2.2. Representación del afino P5
De igual manera en la figura 2.3 se observa que se incluyen nuevos elementos a la partición ŽT lo
que genera a Ž, y por lo tanto se dice que ŽT está incluido en Ž.
Figura 2.3. Representación del afino P6
Entonces Žo ⊂ ŽT ⊂ Ž
13
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 3. SUMA DE RIEMANN
Sea continua en G8, hH, con
¢ 0 para toda en G8, hH. Si
el
i-ésimo
ésimo
subintervalo
está
denotado por G9FDD , 9 H entonces,
¡9 es un valor tal que:
9FD ≤ ¡9 ≤ 9
Por lo tanto, la suma e Riemann
viene dada por:
Figura 3.1.
.1. Suma de Riemann donde
toma valores positivos
:
7 ¡9 ∆9
9;D
Figura 3.2.. Suma de Riemann donde
toma valores positivos y negativos
La suma de Riemann representa geométricamente la aproximación del área de la región encerrada
entre el eje x, la curva A y las rectas = 8 y = h,, siempre y cuando se trate de una función
positiva en G8, hH,, tal como se observa en la figura 3.1.
3.1. En los casos donde la función toma valores
negativos, positivos y ceros la suma de Riemann representa la diferencia de las áreas por encima y
por debajo del eje x, como se observa en las figura 3.2.
A continuación se resuelven algunos ejemplos de sumas de Riemann
14
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 3.1:
Calcular la
Calcular
la suma
suma de
de Riemann
Riemann para
para A o B B 1,, cuya partición del intervalo Gm10, 5H está
definida por Ž A m10, m8, m6,
m m2, m1, 1, 3, 5 ‘ si ¡9 A 9
Solución:
La función a la cual se le calculará la suma de Riemann es una parábola, la
l figura 3.1.a muestra la
gráfica
áfica de la misma, así como también la representación de la suma de Riemann para cuando
¡9 A 9 ; como es de observarse, el hecho de que ¡9 cumpla con esta condición significa que la
función será evaluada en los extremos superiores de cada subintervalo obteniéndose rectángulos
tanto como por encima como por debajo de la función.
Figura 3.1.a. Suma de Riemann
15
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Para la resolución del ejercicio es de mucha ayuda realizar una tabla semejante a la tabla 3.1, donde
se presenta la longitud de cada subintervalo y el valor de la función evaluado en cada ¡9 .
Tabla 3.1. Resolución del ejemplo 3.1
Y
“YFJ
“Y
∆“Y
£¤Y 3
-6
-2
4
3
1
2
4
5
6
7
-10
-8
-2
-1
1
-8
-6
-1
1
3
3
5
2
2
1
2
2
2
57
31
1
3
13
31
La columna ?, indica el número de subintervalos de la partición, la columna 9FD representa los
extremos inferiores de cada subintervalo y la columna 9 , representa a los extremos superiores de
cada subintervalo de la partición. Esta tabla organiza la información necesaria para el cálculo de la
suma de Riemann, de manera de que solo se sustituyen los datos encontrados en ella en la
definición de suma de Riemann.
Los punto rojos en la figura 3.1.a representan los valores de ¤Y evaluados en la función, así como la
altura de cada rectángulo en cada subintervalo de la partición.
De acuerdo a la partición asignada la definición de la suma de Riemann queda como:
ž
¥¦ = 7 ¡9 ∆9
9;D
¥¦ = ¡D ∆D + ¡o ∆o + ¡p ∆p + ¡q ∆q + ¡T ∆T + ¡ ∆ + ¡ž ∆ž
Se sustituyen los datos necesarios de la tabla 3.1
Entonces,
¥¦ = 572 + 312 + 34 + 11 + 32 + 132 + 312
¥¦D = XKL
Es posible cambiar el punto de evaluación de la función, es decir de ¡9 , de manera que la suma de
Riemann se verá afectada por dicha elección cambiando su valor final. Para verificar lo mencionado
16
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA anteriormente se calcularan dos sumas de Riemann para la misma función pero con ¡9 A 9FD y
¡9 A
§¨ C§¨©ª
o
repitiendo el mismo procedimiento.
Se le agregan varias columnas más a la tabla 3.1 las cuales nos permitirán conocer las imágenes de
la función cuando se evalúan los diferentes ¡9
Tabla 3.1.2. Resolución del ejemplo 3.1 con nuevos ¤Y
Y
“YFJ = ¤X
“Y = ¤J
∆“Y
¤L;“YC“Y©J⁄X
£¤J £¤X £¤L 3
-6
-2
4
-4
3
31
13
1
2
4
5
6
7
-10
-8
-8
-6
-2
-1
-1
1
1
3
3
5
2
-9
2
-7
1
−3⁄2
2
4
2
0
2
2
57
31
1
3
13
31
91
57
43
3
7⁄4
13
21
1
3
Se sustituyen los valores correspondes en las igualdades siguientes, de manera que:
¬›X con ¤Y = “YFJ
73
1
7
ž
¥¦ = 7 ¡9 ∆9
9;D
¥¦ = 912 + 572 + 314 + 31 + 12 + 32 + 132
¬›L con ¤Y =
“Y + “YFJ
X
¥¦ = Uuœ
ž
¥¦ = 7 ¡9 ∆9
9;D
¥¦ = 732 + 432 + 134 +
¥¦ =
7
1 + 12 + 72 + 212
4
JLœu
U
En las figuras 3.1.b y 3.1.c se observan como varía la suma de Riemann de acuerdo a la escogencia
del ¡9 para una misma función.
17
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Figura 3.1.b. Suma de Riemann ¡9 A 9FD
Figura 3.1.c. Suma de Riemann ¤Y A “Y B “YFJ ⁄X
18
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 3.2:
Dada la función
= | o − 1|
y
1 1 3
Ž = ™−1, m , , , 2š
2 2 2
determinar la suma de Riemann si ¡9 A 9FD B
Solución:
D
o
perteneciente al intervalo G−1, 2H,
o
si § ¯ FD°t
Se define la función como: A ™ m 1o ® si § ¯ FD±t ; entonces
1m
o
si § ∈ F´,®FDH®∪GD,®C´
A ² m 1o ®
§ ∈ FD,D
1 m si
Figura 3.2. Suma de Riemann ¤Y = “YFJ +
J
X
La figura 3.2 muestra la representación gráfica de la suma de Riemann para ¡9 = 9FD +
puntos rojos corresponden al valor de esos ¡9 evaluados en la función
D
o
y los
19
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Nuevamente se realiza una tabla para recopilar toda la información necesaria para la resolución del
ejercicio.
Tabla 3.2. Resolución del ejemplo 3.2
Y
“YFJ
1
“Y
4
£¤Y 1
1
0
−1⁄2
1⁄2
3⁄2
2
1⁄2
1⁄2
1⁄2
3
¤Y = “YFJ + J⁄X
-1
−1⁄2
2
∆“Y
1
3⁄2
Se sustituyen los valores correspondientes en la igualdad siguiente:
−1⁄2
0
2
3⁄4
1
3
q
¥¦ = 7 ¡9 ∆9 = ¡D ∆D + ¡o ∆o + ¡p ∆p + ¡q ∆q
9;D
Finalmente,
¥¦ =
3 1
1
¶ · + 11 + 01 + 3 ¶ ·
4 2
2
¥¦ =
XL
K
Ejemplo 3.3:
1 1 5 8
o si § ¸ D
Ž = ™−1, − , , , , 3š
= ™ 4 − ®
y
sea
§
¹
D
si
2 4 4 3
2 + 1
una partición del intervalo G−1, 3H. Determinar la suma de Riemann, tomando un punto ¡9 tal que:
Sea la función definida por:
a.
b.
¡9 = ? − 2
¡9 = 9FD +
Solución:
∆§¨
q
Para la resolución del ejercicio se construye la gráfica de la función y la tabla de datos que contienen
a los elementos de la partición, la longitud del subintervalo, los distintos ¡9 donde será evaluada la
función y las imágenes de la función
20
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Figura 3.3.a. Suma de Riemann º9 A ? m 2
Figura 3.3.b. Suma de Riemann º9 A 9FD B
∆§¨
q
21
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Tabla 3.2. Resolución del ejercicio 3.3
Y
“YFJ
2
− 1⁄2
4
5⁄4
1
3
5
“Y
∆“Y
¤Y = Y − X
3⁄4
0
-1
− 1⁄2
1⁄2
1⁄4
5⁄4
1
8⁄3
1⁄4
8⁄3
17⁄12
1⁄3
3
¤Y = “YFJ +
− 7⁄8
-1
∆“Y
U
− 1⁄4
3⁄4
1
13⁄8
2
11⁄4
3
£J ¤Y £X ¤Y 3
207⁄64
3
55⁄16
4
5
7
63⁄16
87⁄64
13⁄2
Se sustituyen los valores correspondientes, tal y como se ha hecho en los ejercicios anteriores
a. RP con º9 = ? − 2
T
¥¦ = 7 º9 ∆9 = ºD ∆D + ºo∆o + ºp∆p + ºq∆q + ºT∆T
9;D
b. ¥¦ con º9 = 9FD +
1
3
17
1
¥¦ = 3 ¶ · + 4 ¶ · + 31 + 5 ¶ · + 7 ¶ ·
2
4
12
3
∆§¨
q
¥¦ =
¥¦ =
XSL
JX
207 1
63 3
55
87 17
13 1
1 +
¶ ·+
¶ ·+
¶ ·+
¶ ·
64 12
64 2
16 4
16
2 3
¥¦ =
RXRL
œQK
22
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 4. SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR
Sea una función definida
en GG8,, hH y Ž una paritición
del intervalo.
Ž = ¼t , D , … , 9FD, 9 , … : ¿
:
¾ A 7 À9 ∆9
¾Ž,
9;D
Siendo À9
el máximo
absoluto de en G9FD , 9 H,
es decir,
À9 A Á9 Figura 4.1. Suma superior
Sea una función definida
en G8, hH y Ž una paritición
del intervalo.
Ž A ¼t , D , … , 9FD,9 , … : ¿
:
½Ž, A 7 >9 ∆9
9;D
Siendo >9 el mínimo
absoluto de en G9FD , 9 H,
es decir,
>9 A <9 Figura 4.2. Suma inferior
Las sumas superior e inferior son sumas de Riemann que cumplen con ciertas condiciones. En la
suma superior existe un máximo dentro de cada subintervalo, este máximo delimita la altura de los
rectángulos de cada subintervalo y por lo tanto su cálculo corresponde a la aproximación por exceso
de la suma de Riemann; mientras que el cálculo de la suma inferior corresponde a la aproximación
por defecto de esta, ya que existe un mínimo dentro de cada subintervalo de la partición que
delimita la altura
ltura de los rectángulos de cada subintervalo.
23
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA A continuación
A
continuación se
se resuelven
resuelven algunos
algunos ejemplos
ejemplos de
de suma
suma superior
superior ee inferior.
inferior.
Ejemplo 4.1:
Calcular la
Calcular
la suma
suma superior
superior ee inferior
inferior para
para A o B B 1,, cuya partición del intervalo Gm10, 5H
está definida por Ž A m10, m8, m6, m2, m1, 1, 3, 5 ‘
Solución:
Inicialmente es recomendable realiza
realizar la gráfica de la función para visualizar mejor los puntos
críticos de la misma. En la figura 4.1.a se observa la gráfica de la función y la representación de la
suma superior, los máximos
imos absolutos de cada subintervalo, antes de llegar al vértice, corresponden
a los extremos inferiores de cada subintervalo,
subintervalo y los puntos
os máximos de cada subintervalo luego del
vértice, corresponden a los extremos superiores de cada subintervalo.
Figura 4.1.a. Suma superior
24
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA En la figura 4.1.b se observa la representación de la suma inferior, en este caso los mínimos
absolutos de cada subintervalo, antes de llevar al vértice, corresponden a los extremos superiores
de cada subintervalo y, luego del vértice, los mínimos corresponden
corresponden a los extremos inferiores de
cada subintervalo. Entre el subintervalo Gm1,1H se encuentra el vértice de la parábola que
corresponde al mínimo absoluto de ese subintervalo, pero si se observa la partición ese punto no
está incluido como elemente de la partición, sin embargo debe tomarse en cuenta como único
punto mínimo del subintervalo “ÃY y evaluarse en la función.
Figura 4.1.b. Suma inferior
Se realiza una tabla semejante a la construida en los ejercicios de suma de Riemann, solo que con
información
“ÂY
referente
y mínimos “ÃY
ÂY y ÃY .
a
los
puntos
donde
la
función
toma
valores
máximos
en cada subintervalo, así como la evaluación de estos puntos en la función
25
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Tabla 4.1 Resolución del ejercicio 4.1
Y
“YFJ
“Y
∆“Y
“ÂY
“ÃY
ÂY
ÃY
3
-6
-2
4
-6
-2
31
3
1
2
4
5
6
7
-10
-8
-2
-1
1
3
-8
-6
-1
1
3
5
2
2
1
2
2
2
-10
-8
-2
1
3
5
La igualdad para el cálculo de la suma superior es la siguiente:
-8
-6
-1
− 1⁄2
1
3
91
57
3
3
13
31
57
31
1
3⁄4
3
13
ž
¾Ž, = 7 À9 ∆9 = ÀD ∆D + Ào∆o + Àp ∆p + Àq ∆q + ÀT ∆T + À ∆ + +Àž ∆ž
9;D
Se sustituyen los valores correspondientes,
¾Ž, = 912 + 572 + 314 + 31 + 32 + 132 + 312 = uJœ
La igualdad para el cálculo de la suma inferior viene dada por:
ž
½Ž, = 7 >9 ∆9 = >D ∆D + >o ∆o + >p ∆p + >q ∆q + >T ∆T + > ∆ + >ž ∆ž
9;D
Se sustituyen los valores correspondientes,
3
UUu
½Ž, = 572 + 312 + 34 + 11 + 2 + 32 + 132 =
4
X
Como es de apreciarse la función a la cual se le cálculo la suma superior e inferior es la misma
función del ejemplo 3.1, esto nos permitirá comparar estas sumas con la suma de Riemann por lo
tanto al observar los valores de las sumas y las figuras correspondientes se concluye que
½Ž, < ¥¦ Ž, < ¾Ž, 26
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 4.2:
≤ −2
o + 3 si
Sea = Ä 7 ® si m2 < < 2
¢2
B 5 si
y sea P A ²-5, - , -2, - , 1, , 4ÅÅ una partición del
7
2
1
2
5
2
H
Intervalo G−5, 4H determinar la suma superior G¾Ž, H e inferior G½Ž, H
Solución:
Las figuras 4.2.a y 4.2.b representan la suma
suma superior
superior ee inferior
inferior de
de la
la función
función dada.
dada.
Es
Es
recomendable realizar
recomendable
realizar la
la grafica
grafica de
de la
la función
función para
para ubicarse
ubicarse en
en la
la definición
definición de
de las
las sumas
sumas yy observar
observar
los máximos y los mínimos de la misma.
Figura 4.2.a Suma superior
27
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Figura 4.2.b Suma inferior
Se realizan igualmente una tabla de apoyo en la resolución del ejercicio, semejante a la tabla 4.1.
Tabla 4.2. Resolución del ejercicio 4.2
4
Y
“YFJ
3
1
2
4
5
6
“Y
∆“Y
“ÂY
-2
-0,5
1,5
1,5
-3,5
2,5
4
1,5
2,5
-5
-3,5
-0,5
1
-3,5
1
-2
2,5
1,5
1,5
1,5
“ÃY
-5
-3,5
-0,5
-1
-2
4
ÂY
28
15,25
7
7
-2
15,25
2
7,5
-0,5
2,5
ÃY
7
9
7
7
7
7,5
28
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Se sustituyen los valores correspondientes en las igualdades:

¾Ž, = 7 À9 ∆9 = ÀD ∆D + Ào ∆o + Àp ∆p + Àq ∆q + ÀT ∆T + À ∆
9;D
= 281,5 + 15,251,5 + 71,5 + 71,5 + 7,51,5 + 91,5 = 110,625

½Ž, = 7 >9 ∆9 = >D ∆D + >o ∆o + >p ∆p + >q ∆q + >T ∆T + > ∆
9;D
= 15,251,5 + 471,5 + 7,51,5 = 76,125
Ejemplo 4.3:
Si = | p − 2|, calcular la suma superior e inferior si se tiene una partición Ž = ²−2, 0, o , 1, 2, 3Å
perteneciente al intervalo G−2, 3H
Solución:
Se define la función:
D
p
si § Æ Fo§ ° t
| p − 2| = ™ − 2p ®
Æ
2 − si § Fo§ ±t
Se realiza el estudio del comportamiento de la función mediante los métodos aprendidos en la
cátedra de análisis matemático I, para obtener:
p
si § ∈ ÇF√o,tÈ∪Ç√o,® C´
| p − 2| = ™ − 2p ®
2 − si § ∈ ŠF´,F√oŒ∪Št,√oŒ
Los puntos rojos de las figuras 4.3.a y 4.3.b corresponden a los valores mínimos y máximos de la
función en cada subintervalo.
29
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Figura 4.3.a Suma superior
Figura 4.3.b Suma inferior
30
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Tabla 4.3. Resolución del ejercicio 4.3
Y
“YFJ
“Y
∆“Y
“ÂY
2
0
1⁄2
1⁄2
1⁄2
1
2
1
1
−2
3
1⁄2
5
2
4
0
1
2
“ÃY
ÂY
ÃY
0
7⁄8
0
−2
−√2
1⁄2
É2⁄3
1⁄2
Š4√6Œ⁄9
7⁄8
1
3
2
21
4
3
2
√2
4
4
0
0
Se vacía la información de la tabla 4.3 en las igualdades correspondientes y se calculan las sumas
T
¾Ž, = 7 À9 ∆9 = ÀD ∆D + Ào∆o + Àp ∆p + Àq ∆q + ÀT ∆T
9;D
7 1
¾Ž, = 42 + ¶ · +
T
8 2
4 √6 1
9
¶ · + 41 + 211 = LL, RKJK
2
½Ž, = 7 >9 ∆9 = >D ∆D + >o ∆o + >p ∆p + >q ∆q + >T ∆T
9;D
1
½Ž, = 02 + 0 ¶ · +
2
7 1
œJ
¶ · + 01 + 41 =
8 2
JQ
31
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios Propuestos
1. Sea A |3 o B 4| y la partición Ž A ²m2, 0, 1, , 3, , 4Å , del intervalo G−2, 4H determinar:
q
p
a. El diámetro de la partición
ž
o
b. La suma de Riemann, tomando en cada subintervalo un punto º9 =
2. Sea Ê la función definida por: Ê = ²
partición de G−1, 6H. Determinar:
a. La suma de Riemann para ¡9 = 9
2 − | − 5|® si § ° o
si § ± o
−2 − 1
;
§¨©ª C p§¨
q
y sea Ž = −1, 0, 1, 3, 4, 6‘ una
b. La suma de las áreas de los rectángulos inscritos
c. La suma de las áreas de los rectángulos circunscritos
3. Sea la función definida como: = ™ 9o− ® si
+7
o
o
si
ɬ¸D
D p
y sea Ž = ²−2, −1, − , , 2Å una
§°D
o o
partición de G−2, 2H. Calcular Ì empleando una aproximación a través de ¾Ž, a. La suma de Riemann empleando ¡9 =
p§¨
o
Fo
4. Sea = 3 − |3 − | y Ž = ²0, , , 4, 6Å una partición del intervalo G0, 6H. Determinar
b. La suma inferior
D ž
o o
c. Si a la partición anterior se le agregar los elementos
T
o
y 3 calcular la suma inferior para la
nueva partición y comparar los resultados obtenidos en b y c
32
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 5. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
Sea una función continua e integrable en el intervalo G8, hH y 9FD ≤ ¡9 ≤ 9 sea
entonces:
:
Ì = lim 7 ¡9 ∆9
‖¦‖⟶t
9;D
Al disminuir la norma de la partición a su vez aumenta el número de subintervalos de
manera que:
:
Ì = lim 7 ¡9 ∆9 ;
:⟶´
9;D
8≤h
Por lo tanto, la integral definida no es más que el valor exacto de la diferencia de las áreas
Teorema de integrabilidad. Si es acotada en G8, hH y si es continua, excepto en un número finito
de puntos, entonces es integrable en G8, hH. En particular, si es continua en todo el intervalo
G8, hH, integrable en dicho intervalo.
Para facilitar el cálculo y la comprensión
de algunas integrales definidas se presentan a
continuación las propiedades y teoremas de la integral definida.
Propiedades de la integral
integral definida
1. Si se define en A 8, entonces:
2. Si es integrable en G8, hH, entonces:
Ì A 0
Ì = − Ì 3. Si es integrable en G8, hH y C es número real, entonces:
Ì g = g Ì 33
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 4. Sean y Ê integrables en G8, hH, entonces:
ÌG i ÊH A Ì i Ì Ê
5. Si es integrable en GG8,, hH y j ∈ ¥, entonces:
l
Ì A Ì B Ì l
Figura 5.a. Representación gráfica de propiedad 5
6. Sean y Ê integrables en G8, hH y ¢ Ê, entonces:
Ì ¢ Ì Ê
7. Sea integrable y no negativa en G8, hH, entonces:
Figura 5.b.. Representación gráfica de propiedad 6
Ì ¢ 0
34
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 8. Si es integrable en GG8,, hH y > ] ] À
H, siendo À y >
para todo en G8, hH,
los valores máximo y mínimo de la función
respectivamente,, entonces:
] Àh m 8
>h m 8 ] Ì Figura 5.c.. Representación gráfica de propiedad 8
A continuación
A
continuación algunos
algunos ejemplos
ejemplos en donde se aplican las propiedades de la integral definida así
como la
como
la resolución
resolución de
de las
las mismas
mismas por
por definición.
definición.
Ejemplo 5.1:
Sea una función continua en Gm2, 5H,, determinar el valor de la integral en el intervalo G0,3H si se
sabe que:
T
T
Ì = 9 ;
Ì A 4 ;
t
Fo
Solución:
p
Ì A 12
Fo
La figura
La
figura 4.1.a
4.1.a muestra
muestra la
la aplicación
aplicación de
de la
la propiedad
propiedad aditiva
aditiva de
de intervalos.
intervalos. La
La región
región denotada
denotada con
con el
el
color más
color
más claro
claro representa
representa lo
lo que
que se
se le
le sustrajo
sustrajo al
al intervalo
intervalo Gm2, 5H mientras que la región oscura
representa el valor de la integral definida a calcular
T
T
p
Fo
Fo
Ì A Ì m Ì
Ì p
T
Ì A 9 m 12 A m3
p
Figura 5.1.a
35
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA De igual manera en la figura 4.1.b la región denotada con el color más claro representa lo que se le
sustrajo al intervalo G0, 5H mientras que la región oscura representa el valor de la integral definida a
calcular. Por lo tanto:
T
p
T
Ì A Ì B Ì t
t
T
p
p
T
Ì A Ì m Ì t
t
p
Figura 5.1.b
p
Ì A 4 m m3 A 7
t
Finalmente,
L
Ì £“Γ A œ
S
Ejemplo 5.2:
A partir de la definición de integral definida determinar el valor de las siguientes integrales con
¡9 A 9
a.
p
Ì8 m FD
p Solución a:
t
b. Ì| B 3|
FT
T
m5 B 3
si
§±D
c. Ì siendo A Ä22 m 3® si D ¸ § ¸ q
FD
o m 9
si
§¹q
Se divide el intervalo en n subintervalos de igual longitud
Por lo tanto,
∆ A
hm8
=
∆D A ∆o A ∆p A ⋯ A ∆9 A ∆
Se necesita un ¡9 el cual como lo dice el enunciado es 9 que se obtiene:
D A t B ∆
o A t B 2∆
p A t B 3∆
.
.
.
36
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 9 A t B ?∆
entonces,
∆ =
3 − −1 4
=
=
=
9 = −1 +
4?
=
Se sustituyen los valores correspondientes en la definición de integral definida
p
Ì8 − FD
:
:⟶C´
:⟶C´
9;D
lim 7 {8 − Ï
9;D
:
= lim 7 ¡9 ∆9
lim 7 {8 − ¶
:⟶C´
:
p 9;D
p
4?
4
− 1· | ¶ ·
=
=
64? p 48? o 12?
4
− o +
− 1Ð| ¶ ·
p
=
=
=
=
Simplificando y agrupando términos semejantes
36 48? 192? o 256? p
lim 7 Ï − o +
−
Ð
:⟶C´
=
=
=p
=q
:
9;D
1
48
192
256
lim w 7 36 − o 7 ? + p 7 ? o − q 7 ? p x
:⟶C´ =
=
=
=
:
9;D
:
9;D
:
9;D
Se aplican las formulas que se encuentran en el apéndice A
:
9;D
36= 48== + 1 192== + 12= + 1 256=o = + 1o
lim Ï
−
+
−
Ð
:⟶C´
=
2=o
6=p
4=q
Se hacen las simplificaciones correspondientes para evaluar los límites para finalmente obtener el
valor de la integral definida
Ñ = JX
37
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Solución b:
Si se sabe que:
| B 3| A ²
Entonces,
Por lo tanto,
B 3 ® si
m m 3 si
| B 3| A ²
t
B 3 ® si
m m 3 si
§Cp ° t
§Cp± t
§ ° Fp
§± p
t
t
Fp
Fp
Fp
Fp
Ì| B 3| A Ì m B 3 B Ì B 3 A Ì B 3 m Ì B 3
FT
FT
Ò A ÒD m Òo
FT
La integral definida queda dividida en dos integrales por lo tanto, se resolverá cada una por
separado, entonces para la primera integral se tiene:
9 A m3 B
:
3?
=
ÒD A lim 7 ¶m3 B
:⟶C´
9;D
:
3?
3
· B 3‚ ¶ ·
=
=
ÒD A lim 7
:⟶C´
ÒD A lim
:⟶C´
Por lo tanto,
9;D
9?
=o
:
9
7?
=o
9;D
9== B 1
:⟶C´
2=o
ÒD A lim
Para la segunda integral definida se tiene:
ÑJ A
R
X
9 A m5 B
:
5?
=
Òo A lim 7 ¶m5 B
:⟶C´
9;D
2?
2
· B 3‚ ¶ ·
=
=
38
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA :
Òo A lim 7 ¶
:⟶C´
9;D
:
4? 4
m ·
=o =
:
4
1
Òo A lim w o 7 ? m 7 4x
:⟶C´ =
=
Òo A lim ¶
:⟶C´
9;D
9;D
4== B 1 4=
m ·
2=o
=
2= B 1
m lim 4
:⟶C´
:⟶C´
=
Òo A lim
Se suma algebraicamente
ÒA
Finalmente,
Solución c:
ÑX A mX
9
m m2
2
JL
X
ÑA
Como se trata de una función definida por intervalos se tiene:
T
D
FD
FD
q
T
Ì A Ì3 m 5 B Ì 22 m 3 B Ì o m 9
Primera integral:
q
D
Ò A ÒD B Òo B Òp
9 A m1 B
:
2?
=
ÒD A lim 7 3 ¶m1 B
:⟶C´
9;D
:
ÒD A lim 7 ¶
:⟶C´
ÒD A lim
:⟶C´
9;D
2?
2
· m 5‚ ¶ ·
=
=
m16 12?
B o·
=
=
:
:
9;D
9;D
12
1
7 ? m 7 16
=o
=
39
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 12== B 1 16=
m
:⟶C´
2=o
=
ÒD A lim
Segunda integral:
ÑJ A mJS
9 A 1 B
:
3?
=
Òo A lim 7 2 2 m 3 ¶1 B
:⟶C´
9;D
:
Òo A lim 7 ¶
:⟶C´
Òo = lim
:⟶C´
m6 54?
m o·
=
=
54
1
7? − 76
=o
=
Òo = lim −
:⟶C´
9;D
3?
3
·‚ ¶ ·
=
=
:
:
9;D
9;D
54== + 1 6=
−
2=o
=
ÑX = −LL
Tercera integral:
9 = 4 +
?
=
? o
?
1
Òp = lim 7 {¶4 + · − 9 ¶4 + ·| ¶ ·
:⟶C´
=
=
=
:
9;D
:
Òp = lim 7 Ï
:⟶C´
Òp = lim
:⟶C´
Òp = lim
:⟶C´
Sumando,
9;D
:
?o ?
1
− − 20Ð ¶ ·
=o =
=
:
:
1
1
1
7 ? o − o 7 ? − 7 20
=p
=
=
9;D
9;D
9;D
== + 12= + 1 == + 1 20=
−
−
6=p
2=o
=
ÑL = −
JXJ
Q
Ò = −10 − 33 −
121
6
40
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Finalmente,
Ejemplo 5.3:
Determinar el valor de
Si se sabe que:
ÑAm
o
Ì
t
4 o − 8 − 5
2 − 5
LœR
Q
empleando la definición con 9 =
∆ =
Además,
9FD
Entonces,
2
=
2?
=
2? − 1
=
=
9 =
¡9 =
Por definición:
§¨©ª C§¨
o
2? − 1
=
:
lim 7 ¡9 ∆
:⟶C´
9;D
2? − 1
o
2? − 1
4Ô
Õ −8Ô
Õ−5 2
=
=
lim 7 Ó
Ö¶ ·
2? − 1
:⟶C´
=
Õ−5
2Ô
9;D
:
16? o − 16? + 4 16? − 8
−
−5
=
=o
ØÖ
4? − 2
−5
9;D
=
2
lim Ó ×7
:⟶C´ =
:
2
lim Ó ×7
:⟶C´ =
:
9;D
=
16? o − 16? + 4 − 16?= + 8= − 5=o
=o
ØÖ
4? − 2 − 5=
=
2
16? o − 16?1 + = + 41 + 2= − 5=o
lim y w7
xz
:⟶C´ =
=4? − 2 − 5=
:
9;D
Se factoriza el numerador
41
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 4? B = m 24? m 5= m 2
2
lim y w7
xz
:⟶C´ =o
4? m 2 m 5=
:
9;D
Se hacen las simplificaciones correspondientes
:
2
lim y o w7 4? B = m 2xz
:⟶C´ =
:
9;D
8
2
2
lim w 7 ? B 7 1 m o 7 2x
:⟶C´ =o
=
=
lim
:⟶C´
9;D
:
:
9;D
9;D
8== B 1 2= 4=
B
m o
2=o
=
=
Ñ=Q
Ejemplo 5.4 PROPIEDAD DE ACOTACIÓN:
D
Utilice la propiedad de acotación para verificar la siguiente desigualdad: 2 ≤ Ì
Solución:
q
√
4Š1 + √ o Œ
Ý
≤
12
5
Para la aplicación de la propiedad de acotación se necesita buscar los extremos absolutos de la
función por lo tanto:
=
DÙ
o
4
o FD
¶1 + q ·
=
DÙ
o
4
Ô1 + DÙ FD
oÕ
FD
Fo
1 1 D
1 D
D
D
D
᾿ =  F Ùo Ô1 + Ùo Õ + Ùo −1 F Ùo Ô1 + Ùo Õ ‚
4 2
2
1
1
1
᾿ = Û
−
oÜ
D
D
4 2√ Ô1 + Ùo Õ
2 Ô1 + Ùo Õ
᾿ =
1
8√ Ô1 + DÙ o
oÕ
Se evalúa la función en los extremos del intervalo:
4 =
1
=>
6
16 =
1
=À
5
42
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA >h m 8 ≤ Ì ≤ Àh m 8
D
1
1
√
16 m 4 ≤ Ì
≤ 16 m 4
Ý
o
6
5
4Š1 B √ Œ
q
JQ
X≤Ì
U
√“
UŠJ B √“X Œ
U
Γ ≤
JX
u
Ejemplo 5.5 PROPIEDAD DE ACOTACIÓN:
Determinar a partir de la propiedad de acotación un intervalo cerrado al pertenezca el valor de la
integral
o
Ì ℎ
FD
si
ℎ A ™
3 m o ® ß9 FD¸ § ¸D
2 m m 1o ß9 D± § ±o
Solución:
Como ya se ha visto en los ejemplos anteriores, cuando se tiene una función definida por intervalos
la integral total será dividida de acuerdo al número de intervalos donde ella esté definida, es por
ello:
o
D
FD
FD
Ì ℎ A Ì3 m Entonces, para la primera integral se tiene:
o o
B ÌG2 m m 1o H
D
D
ÒD A Ì3 m o FD
ℎ᾿ A m2
A0
Evaluando la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo:
ℎ0 A 3
ℎm1 A ℎ1 A 2
43
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Se realiza el mismo procedimiento para la segunda integral
o
ÌG2 m m 1oH
D
Þ᾿ A m2 m 1
A1
Þ2 A 1
Þ1 A 2
Una vez estudiada las funciones en cada uno de los intervalos correspondientes se escoge el mínimo
y el máximo absoluto de la función ℎ
>A1
ÀA3
Sustituyendo,
>h m 8 ] Ì ] Àh m 8
o
1G2 m m1H ] Ì Þ ] 3G2 m m1H
FD
X
L ≤ Ì á“Γ ≤ R
FJ
Existen otros tipos de ejercicios donde se aplica la definición de integral definida y algunas
propiedades de la misma
Ejemplo 5.6:
Determinar el área de la figura anexa empleando la definición:
Ecuación de la recta:
m o A > m o >A
A
àmh
ℎ
à m h
Bh
ℎ
44
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Integral por definición:
∆ =
9 =
ℎ
=
ℎ?
=
à − h ℎ?
ℎ
lim 7 {
¶ · + h| ¶ ·
ℎ
=
=
:⟶C´
lim
:⟶C´
lim
:⟶C´
lim
:⟶C´
:
9;D
:
:
:
àℎ
hℎ
1
7? +
w7 1 − 7 ? x
o
=
=
=
9;D
9;D
9;D
== + 1
àℎ== + 1 hℎ
+
¶= −
·
=
2=
2=o
àℎ== + 1
hℎ = − 1
+ lim
¶
·
:⟶C´ =
2=o
2
Ò=
àℎ hℎ
+
2
2
Ñ=
âCãá
X
45
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios Propuestos
o
o
1. Sean y Ê dos funciones continuas en G0, 2H,, calcular : m Ì B Ì Ê si se sabe que:
D
Ì A 2,
2
t
o
Ì A 3,
D
t
t
Ì Ê A m1 ,
D
D
o
Ì Ê A 4
t
2. Aplicando la propiedad de acotación para integrales definidas, determinar un intervalo cerrado
que contenga el valor de :
t
a. Ì ä
Fo
§ Æ Fp§
b.
p
4
Ì p
B 5 B 8
c.
FD
q
Ì ℎ
Fq
7 oo B 2 B 1
ℎ A Ä 2 o m m 2
m4
½?
k m3
® ½? m3 ] ] 0
½?
æ0
3. Sea una función cuya gráfica se muestra en la figura 3.1. Verificar las igualdades siguientes:
T

8. Ì A
t
p
T
h. Ì B Ì A
t

å. Ì A
p
o
Ì || A
.
t
T
ä çÌ ç A
ä.
t
o
Ì A
.
o
Figura 3.1
46
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 4. Obtener mediante la definición de integral definida los valores de las siguientes integrales,
a.
expresar el resultado con 4 cifras significativas
pÙ
o
4 m o m 3
Ì
m1
F
b.
o
Ì| o B 6 m 3| c.
Fo
T
Ì Fp
A Ä
|3 m |
®
2
o
B1
½?
½?
½?
<1
A1
>1
5. Calcular el área de las figuras 4.1 y 4.2 mediante la definición de integral definida
47
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Figura 4.1
Figura 4.2
48
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE I
Sea continua en el intervalo cerrado G8, hH. Si ë está definida por:
§
ë A Ì ºº
Siendo un punto entre 8 y h, entonces ë es una antiderivada de Además, si se sabe:
ë ᾿ A Por lo tanto:
§
A Ì ºº
º
A continuación algunos ejemplos donde se aplica el teorema fundamental del cálculo parte I
Ejemplo 6.1:
§¯
Sabiendo que: è A Ì
Solución:
D
1
√ºŠ4º B 4√º B 5Œ
º
siendo è′ A ℎ.
Determinar la función ℎ
§¯
1
èê A ℎ A Ì
º
º √ºŠ4º B 4√º B 5Œ
D
è′ A
√ o Š4 o
ᓠA
U“X
1
B 4√ o B 5Œ
2
X
B U√“X B u
49
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 6.2:
Sea
§
A Ì Êº º
Solución:
D
ßð:§
si
Ê A Ì
§
É1 B íp í
.
. Determinar el valor de ′′ì
§
A Ê A Ì Êº º
º
ê
D
′ A Ê
′′ A Ê′
′′ A Ê′ A
Se aplica la propiedad aditiva respecto al intervalo,
½ä=
í
½ä=
Ì É1 B í3 í
½ä=
å
Ê′ A Ì É1 B í3 í A Ì É1 B í3 í B Ì É1 B í3 í
Donde z es una constante, å ∈ ¥
Se invierten los límites de integración, de manera que:
å
½ä=
Ê′ A m Ì É1 B í3 í B Ì É1 B í3 í
å
Finalmente se aplica el teorema fundamental del cálculo,
Entonces,
å
Ê′ A m ÔÉ1 B 3 Õ B îÉ1 B ½ä=3 ï cos êê A îÉ1 B ½ä=3 ï cos m ÔÉ1 B 3 Õ
êê ì A îÉ1 B ½ä=ì3 ï cos ì m ÔÉ1 B ì3 Õ
£êê ñ A mJ m ÉJ B ñL
50
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo 6.3:
p§
Sean H, F y G funciones tales que:
ó
ê Aè
ê 0
B 4ë .
ê
H pasa por el punto 0, 2.
o
ë A Ì õ1 By √º º
è A Ì Éº o B 1 º
§¯
ä
Determinar la expresión de ó, si se sabe que la curva de la función
Solución:
Se ordena la integral aplicando algunas de las propiedades de la integral definida, siguiendo el
procedimiento del ejemplo 6.2.
p§
è A Ì Éº o B 1 º B Ì Éº o B 1 º
§¯
§¯
p§
è A m Ì Éº o B 1 º B Ì Éº o B 1 º
Aplicando el teorema fundamental del cálculo
Evaluando en A 0
Se obtiene,
è ê A m ÔÉ oo B 1Õ 2 B ÔÉ3o B 1Õ 3
èê 0 A m îÉ0q B 1ï G20H B ²ÉG30Ho B 1Å 3
Se realiza el mismo procedimiento para ë
o
ôê S A L
ä
ë A Ì õ1 B √º º A m Ì õ1 B √º º
ä
o
öê “ A m ÷øJ B õ√“ù ¶
J
X√“
·
51
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Se sustituyen los términos correspondientes en la ecuación
ó ê A èê 0 B 4ë ê Ordenando,
Si se sabe que,
Integrando,
1
ó ê A 3 m 4 ÷ø1 B õ√ù ¶
·
2√ ó ê A 3 m 2m1⁄2 Š1 B 1⁄4 Œ
1⁄2
1⁄2
ó A 3 m 2m1⁄2 Š1 B 1⁄4 Œ
Ì ó A Ì î3 m 2m1⁄2 Š1 B 1⁄4 Œ
1⁄2
Se aplica algunas propiedades de la integral indefinida:
1⁄2
ó B g A Ì î3 m 2m1⁄2 Š1 B 1⁄4 Œ
Entonces,
Resolviendo la integral ÒD
Resolviendo la integral Òo
ï ó B g A 3 Ì m 2 Ì FD⁄o Š1 B D⁄q Œ
ï D⁄o
ó B gp A 3ÒD m 2Òo
ÒD A Ì ÑJ A “ B úJ
Òo A Ì FD⁄o Š1 B D⁄q Œ
D⁄o
52
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Realizando el siguiente cambio de variable
1 B D⁄q A ¡ o
¡ o m 1q A 8¡ o m 1p¡¡ A Se sustituye,
Òo A ÌG¡ o m 1q HFD⁄o ¡ o D⁄o 8¡ o m 1p ¡¡
Òo A Ì 8¡ o ¡ o m 1¡
Òo A 8 Ì ¡ q ¡ m Ì ¡ o ¡‚
Entonces,
Devolviendo el cambio de variable:
Sustituyendo en ó,
ÑX A K Ó
¡T ¡p
Òo A 8 { m | B go
5
3
J⁄X u
îŠJ B “J⁄U Œ
u
ï
m
Š1 B D⁄q Œ
ó B gp A 3 B gD m 2 Ä8 y
5
ó B gp A 3 B gD m 2 Ä8 y
ó B gp A 3 B 3gD m
J⁄X L
îŠJ B “J⁄U Œ
Š1 B D⁄q Œ
5
L
T⁄o
T⁄o
ï
Ö B úX
Š1 B D⁄q Œ
m
3
Š1 B D⁄q Œ
m
3
p⁄ o
p⁄ o
z B go û
z B go û
16
16
T⁄o
p⁄o
Š1 B D⁄q Œ B
Š1 B D⁄q Œ m 2go
5
3
Se agrupan las constantes, de manera que:
g A 3gD m 2go m gp
53
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Entonces,
ó A 3 m
16
16
T⁄o
p⁄o
Š1 B D⁄q Œ B
Š1 B D⁄q Œ B g
5
3
Para hallar el valor de la constante C se evalúa la función en el punto:
2 A 30 m
Por lo tanto,
Finalmente,
2 A 30 m
16
16
T⁄o
p⁄o
Ç1 B 0D⁄qÈ B
Ç1 B 0D⁄qÈ B g
5
3
16
16
T⁄o
p⁄o
Ç1 B 0D⁄qÈ B
Ç1 B 0D⁄qÈ B g
5
3
úAm
ü“ A L“ m
X
Ju
JQ
JQ
X
u⁄X
L⁄X
ŠJ B “J⁄U Œ
B
ŠJ B “J⁄U Œ
m
u
L
Ju
54
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE II
Sea continua e integrable en G8, hH, y sea è cualquier
antiderivada de en G8, hH. Entonces:
Ì A ®è| A èh m è8
Ejemplo 7.1
Se resolverán las integrales del ejemplo 4.2 aplicando el teorema fundamental de cálculo
a.
p
Ì8 m FD
t
T
b. Ì| B 3|
p c. Ì FT
FD
Solución a:
B3 ®
| B 3| A ²
m m 3
si
§±D
o m 9
si
§¹q
p
Ò A ®{8 m
Solución b:
m5 B 3
siendo A Ä22 m 3® si D ¸ § ¸ q
si
si
¢ m3
< m3
t
Ò A Ì8 m p FD
3q
m1q
q
|ç A {83 m
| m {8m1 m
|
4 FD
4
4
p
Ñ A JX
Fp
t
Ì| B 3| A m Ì B 3 B Ì B 3
FT
FT
Ò A ÒD B Òo
Fp
55
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Primera integral:
Fp
ÒD A m Ì B 3
ÒD A m ®{ B 3|ç A m {
2
FT
Fp
o
Segunda integral:
FT
m3o
m5o
B 3m3| B {
B 3m5|
2
2
ÑJ A X
0
Òo A Ì B 3
m3
0o
m3o
o
Òo A ®{ B 3|ç A {
B 30| m {
B 3m3|
2
2
2
Fp
t
Sumando,
Ò A 2 B
Entonces,
Solución c:
Primera integral:
R
X
ÑX A
JL
X
Ñã A
T
D
FD
FD
9
2
q
T
Ò A Ì A Ì3 m 5 B Ì 22 m 3 B Ì o m 9
D
Ò A ÒD B Òo B Òp
q
56
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA D
ÒD A Ì3 m 5
FD
3 o
31o
3m1o
ÒD A ®{
m 5|ç A {
m 51| m {
m 5m1|
2
2
2
FD
D
ÑJ A mJS
Segunda integral:
q
Òo A Ì 22 m 3
D
3
34
31
Òo A 2 ®{2 m
|ç A 2 {24 m
| m 2 {21 m
|
2 D
2
2
o
q
o
o
ÑX A mLL
Tercera integral:
T
Òp A Ì o m 9
q
p 9 o
5p 95o
4p 94o
Òp A ®{ m
|ç A {
m
|m{
m
|
3
2 q
3
2
3
2
T
Sumando algebraicamente,
Entonces,
ÑL A m
JXJ
Q
Ò A m10 m 33 m
ÑAm
121
6
LœR
Q
57
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 8. TEOREMA
TEOREMA DEL
DEL VALOR
VALOR MEDIO
MEDIO
Sea continua en GG8, hH, entonces existe
al menos un número ̅ entre 8 y h tal que:
Ì A ̅
h m 8
Para
ara poder aplicar el teorema del valor medio
es necesario que la función sea continua en G8, hH
Figura 6.1.
Figura
6.1. Representación
Representación geométrica
geométrica
Del teorema
Del
teorema del
del valor
valor medio
medio
Ejemplo 8.1:
Si es
es una
una función
función definida
definida por
por A ²
̅ ∈ Gm1, 2H tal que ̅ A
o
FD 3
½? ¢ 0®
,
B 2 ½? k 0
entonces se puede asegurar que existe un
Se verifica la continuidad de la función en A 0
i.
0 A 0
iii.
lim§⟶þ© B 2 A
A2
ii.
lim§⟶þ A 0
No se
No
se cumplen
cumplen las
las condiciones
condiciones de
de continuidad
continuidad de
de la
la función
función en
en A 0 por lo tanto, no es posible
aplicar el
aplicar
el teorema
teorema del
del valor
valor medio
medio y
y por
por consiguiente
consiguiente no
no es
es posible
posible asegurar
asegurar la
la existencia
existencia de
de un
un ̅
Ejemplo 8.2:
Sea A o B 6 m 2.. Determinar
Determinar el
el valor
valor promedio
promedio de
de en Gm2,5HH y el o los valores de ̅ que lo
satisfacen
58
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Solución:
La función es continua en el intervalo ya que se trata de una función polinómica donde su dominio
son todos los números reales.
1
̅ A
Ì h m 8
T
1
̅ A
Ì o B 6 m 2
G5 m m2H
Fo
̅ A
1
Ò
7
Se aplica el teorema fundamental del cálculo para obtener el valor de la integral:
T
Ò A Ì o B 6 m 2
Fo
T
Ò A ÌG B 3o m 11H
Fo
T
T
Ò A Ì B 3 m 11 Ì o
Fo
B 3p
ç m 11®|TFo
3
Fo
T
ÒA®
ÒA
Fo
5 B 3p m2 B 3p
m
m 115 B 11m2
3
3
ÑA
Entonces,
XKS
L
1 280
̅ A ¶
·
7 3
El valor promedio de la función será,
Se calcula el o los valores promedios como:
=
£“
US
L
̅ o + 6̅ − 2 =
40
3
59
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA ̅ B 3o m 11 A
73
3
̅ B 3o A
̅ A ± ø
Entonces,
̅D A ø
40
3
73
m3
3
73
m 3 ≅ J, RLXR
3
̅o A mø
73
m 3 ≅ mœ, RLXR
3
El valor de ̅ que satisface el teorema del valor medio es ̅D ya que es el que pertenece al intervalo
Gm2, 5H
Ejemplo 8.3:
Para el intervalo dado Gm1, 4H, calcular el valor promedio de y los valores de donde la función
alcanza su valor promedio
Solución:
o
A ² m 1 ½? ≤ 1®
2 m 2 ½? > 1
Se verifica la continuidad de la función en A 1
i.
ii.
iii.
1 A 0
lim§⟶D 2 m 2 A 0
limD⟶D© o m 1 A 0
La función es continua en el intervalo por lo tanto es aplicable el teorema del valor medio para
integrales
1
̅ A
Ì h m 8
q
q
1
̅ A
Ì G4 m m1H
D
FD
q
Ì A Ì m 1 B Ì2 m 2
FD
FD
o
D
60
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Aplicando el teorema fundamental del cálculo
q
q
Ì A ®Ï
FD
p
m Ðç B ® o m 2|Dq
3
FD
D
1
m1
Ì A ¶ m 1· m 
m m1‚ B G4o m 24H m G1o m 21H
3
3
FD
o
Ì A
FD
Entonces, el valor medio de la función:
Para el intervalo G−1, 1H
̅ A
XL
L
1
23
¶ ·
G4 m m1H 3
A
£“
XL
Ju
̅ o − 1 =
23
15
̅ = ±ø
̅D = ø
38
15
38
=≅ 1,5916
15
̅o = −ø
38
=≅ −1,5916
15
En este intervalo no existen valores de ̅ que satisfagan el teorema de valor medio
Para el intervalo G1, 4H
2 − 2 =
A
“
23
15
uL
≅ J, œQQœ
LS
Por lo tanto el valor de ̅ que satisface el teorema es 1,7667
61
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 9. TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE Y TEOREMA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
PARA INTEGRALES DEFINIDAS:
DEFINIDAS:
Ejemplo 9.1:
Calcular las siguientes integrales aplicando los teoremas correspondientes:
a.
qÆ
Ì
D
É1 m Ý√
Solución a:
√
b.
qÆ
ÒAÌ
D
É1 m √
√
Se realiza el siguiente cambio de variable
q
D⁄p
A Ì FD⁄o Š1 m D⁄o Œ
D
D
Ì =5 o B 5 t
1 m D⁄o A º p
A 1 m º p o
A m6º o 1 m º pº
Si “ A J
⁄
D⁄o D p
º A Ô1 m ዺ
ºA0
Õ
Si “ A U
Sustituyendo,
º A m1
FD
Ò A Ì 1 m º p FD º m6º o1 m º p º
t
t
Ò A m Ì1 m º p FD º m6º o 1 m º p º
FD
t
Ò A 6 Ì º p º
FD
ºq
Ò A 6® ç
4 FD
t
62
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA 1
Ò A 6¶ ·
4
ÑA
Solución b:
L
X
D
Ò A Ì =5 o B 5 t
Se escogen las variables correspondientes para realizar la integración por partes:
í A =5 o B 5
í A
10
5 o B 5
A Se sustituye,
ABg
10
Ò A ® =5 o B 5|Dt m Ì ¶ o
· 5 B 5
D
t
D
Ò A ® =5 o B 5|Dt m 2 Ì
D
t
o
o B 1
D
Ò A ® =5 o B 5|Dt m 2 ÷Ì m Ì
Se encuentra la primitiva de la integral
t
t
1
ù
o B 1
Ò A ® =5 o B 5|Dt m 2®|Dt m ®8åºÊ|Dt
Se aplica el teorema fundamental del cálculo, para la resolución
Entonces,
ì
Ò A =10 m 2 î1 m ï
4
Ñã A J, KœLU
63
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios Propuestos
1. Utilizar el teorema fundamental del calculo para determinar el valor exacto de las siguientes
integrales:
Ù
p
a. Ì Étan B 1 å½ o o
b.
t
Ì
D
FDÙo
c.
√3 B 2 m o
Ì
FD
ä
pÙ
§
2. Calcular el valor de la integral en Gm2, 0H si se sabe que:
t
Ì A ℎ3
3. Si se sabe que:
a.
b. Ì A Ì
q
q
t
1
º m 1
Calcular : Ì D
4 o
1 m 8 p q
Æ
√o
§
D
p
Ì
Ì ℎ A Ì º o º
Ì A Ê᾿0 siendo
‰
‰
¯
§¯
cuando
Fo
q
m p 7§
d.
o
Ê A Ì5º m 1º
o
oÙ º
p
D
4. Determinar el valor medio de las siguientes integrales, así como los valores que satisfacen dicha
condición:
a.
T
Ì ,
FT
5
B 5
®
A o6
4 m 16 B 17
14 m 3
½?
½?
½?
<1
1≤≤3
>3
b.
D
Ì ln4 o B 4 t
5. Utilizar el teorema de cambio de variable y el teorema de integración por partes para
integrales definidas para resolver las siguientes integrales:
a. Ì
D
D
√
4Š1 B
√ o Œ
Ý
b.
Ì
Fq
Fž
B3
c.
ln ¶
· 2 m 5
o
B2
Ì § d.
ä
Fo
q
Ì É p m 12
t
Æ
6. Calcular la altura del rectángulo que tiene por base la longitud del intervalo G2,4H y área igual al
valor de la integral:

Ì Ê
Fo
o | si ≤ 4
|8
Ê A ™ m ®
2 B 2 si > 4
64
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA BIBLIOGRAFÍA
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65