López Dóriga y el esclavo Queletzú Paulina Aspra Polo Descubrí que tengo algo en común con López Dóriga, vivimos tranquilamente sin hacer una raíz cuadrada después de pasar por la primaria. Entiendo que él y @Esepinchewey tuiteén sobre la futilidad de aprender a hacerlas. Pero entonces ¿por qué nos joroban tanto en la primaria para que aprendamos cosas que muchos no utilizaremos el resto de nuestras vidas? ¿Si no aprendiéramos matemáticas en la primaria seríamos los mismos? ¿Aprender a hacer una raíz cuadrada deja huella en nosotros? ¿Lo que aprendemos con el teorema de Pitágoras nos hace ver el mundo de otra manera? ¿El aprendizaje de matemáticas básicas repercute en el desarrollo de nuestro cerebro? López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 1 Cuenta oficial de Joaquín López Dóriga del 13 de Julio de 2013 Contar como un caballo Cuando nacemos sabemos contar, los bebés humanos pueden distinguir a partir de los seis meses entre grupos de objetos más y menos numerosos. A esa edad nuestras capacidades son iguales que las de los monos Rhesus, lémures adultos, palomas, caballos y los delfines; todos ellos pueden hacer esto aunque su rapidez disminuye cuando la diferencia de cantidades es pequeña. Entonces López Dóriga y yo pudimos habernos evitado toda la primaria y podríamos contar tan bien como un caballo. El número encarnado. Se comienza a contar con los dedos; es algo tan instintivo que lo seguimos haciendo toda la vida y casi siempre comenzamos con el pulgar o el índice. La relación entre el acto de contar y las manos es muy estrecha, ambos son controlados por la corteza parietal izquierda. Aquí cabe preguntar si nuestra corteza parietal izquierda está programada genéticamente para controlar tanto el movimiento de las manos como la acción de contar o es el hecho de contar lo que las enlaza. En un intento de comprender mejor el funcionamiento del cerebro se identificaron ciertas zonas neuronales de la corteza cerebral con funciones determinadas, sin embargo muchas de ellas dependen de áreas sin relación precisa con una función. Por ejemplo del lóbulo parietal izquierdo también dependen funciones como reconocer nuestra propia cara en un espejo, diferenciarla del rostro de otros individuos e incluso la religiosidad. En la cultura nahua el desarrollo del sistema matemático estaba inmerso en un contexto religioso. Se utilizaba un instrumento similar al ábaco llamado Nepohualtzitzin, palabra compuesta por Ne la persona, pohualli cuenta y tzitzin trascender y se interpreta como la persona que tiene el conocimiento de la cuenta para trascender al origen de la creación. López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 2 La corteza de Napoleón La corteza parietal izquierda tiene un papel importante en nuestra percepción espacial de los objetos, por ejemplo en saber si están de cabeza o no. Algunos conceptos, como el teorema de Pitágoras, enlazan también la percepción espacial con el razonamiento lógico. Por ejemplo, los egipcios utilizaron este teorema para construir la pirámide de Kefrén en el siglo XXVI a. C. Los chinos también hicieron demostraciones geométricas de c2=a2+b (ver en Cienciorama “Pruebas y demostraciones”) y con base en su conocimiento de los triángulos diseñaron un juego, el tangram, compuesto por cinco triángulos, un cuadrado y un romboide. Uno de los jugadores más hábiles de tangram fue Napoleón Bonaparte, no es extraño que un genio militar como él tuviera habilidades espaciales excepcionales, y se ha comprobado que la actividad de la corteza parietal aumenta cuando formamos figuras como un pato o un soldado, con las piezas sueltas del tangram. Modificado de la obra “Napoleón atravesando los Alpes” de Jaques Louis David realizada alrededor de 1801. López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 3 La habitación simbólica Pero hay una cosa que ni las palomas ni los caballos hacen, no saben que 2014 es mayor que 1994, que tener 21 años es muy diferente a 17 y que preferiríamos pesar 58 a 65 kg. Si yo le pido a un chimpancé que señale cuál número es más grande entre 88 y 92 tendrá gran dificultad para contestar sin haber tenido un arduo entrenamiento previo, y algunas veces son incapaces de hacer una relación entre el símbolo 8 y ocho manzanas. Los humanos han creado los números como símbolos que denotan cantidades y no propiedades físicas de los objetos, como el color o la forma. Si en el lenguaje humano se establecen relaciones entre números o palabras que tienen significados ¿por qué aprender a hablar es tan fácil y entender y crear representaciones matemáticas, más allá de las diferencias entre cantidades mayores o menores, resulta tan difícil? Keith Devlin, un matemático británico que actualmente trabaja en la Universidad de Stanford, describe su pensamiento matemático como una “casa de pensamiento simbólico”. Cuando Devlin se enfrenta a un nuevo problema matemático, traza los planos de una casa metafórica basándose en principios que otros matemáticos han establecido antes. Después de construir y amueblar la casa se muda metafóricamente también, y aunque al principio no está muy familiarizado con su distribución, a medida que pasa el tiempo aprende a moverse sin revisar contantemente los planos. Para Devlin resolver un problema es colocar los muebles hasta encontrar la solución. Es sabido que los matemáticos andan en las nubes todo el tiempo, más bien están como Devlin en una habitación abstracta. A decir de los matemáticos es una casa en la que no se habla con palabras, el mismo Einstein afirmaba que el lenguaje escrito o hablado no formaba parte de su proceso de pensamiento cuando resolvía problemas: “Las entidades psicológicas que sirven como bloques de construcción del pensamiento son ciertos signos o imágenes, más o menos claros, que puedo recombinar y reproducir a voluntad”. El problema con algunos de los mortales que no nos dedicamos a las matemáticas es que vemos esas entidades como algo incomprensible. Es común que cuando aprendemos cálculo básico nos enseñen una serie de reglas o pasos que debemos seguir, incluso algunos profesores, no todos, aceptan que se llegue por distintos métodos a una misma solución. Pero si resolver un problema depende de nuestro arreglo diferente de ideas, debemos entender primero y no memorizar las fórmulas automáticamente. López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 4 Permuto cerebro Cuando murió Einstein su cerebro se conservó con la esperanza de encontrar el origen de su genio; una de las diferencias con respecto a los cerebros comunes era la anatomía de su corteza parietal. Se ha observado en los matemáticos vivos que la materia gris de su corteza parietal inferior es más gruesa. De la misma manera los músicos de orquesta tienen más materia gris de lo común en el área de Broca. Otro estudio realizado en taxistas londinenses encontró que tienen más materia gris en el hipocampo posterior derecho. Entonces la práctica hace al maestro ¿y al alumno? Un estudio realizado en Brasil, reveló que niños de entre 10-12 años de edad que no fueron a la escuela, tienen las mismas capacidades en ejercicios de sumas y restas que los que sí fueron. En otro estudio realizado con niños chinos, se encontró que el único déficit de los niños que no fueron a la escuela, estaba en un ejercicio de combinaciones sin repeticiones que debían resolver mediante un ejercicio de abstracción mental. Pidieron a los niños que con seis colores diferentes hicieran pares de colores que no se repitieran, y que después pensaran por un momento en un sistema o truco que les facilitara encontrar todos los pares posibles. La tarea se puede resolver de dos maneras: mantener constante un color y hacer los primeros cinco pares, y así sucesivamente. La segunda es encontrar los 15 pares y procurar que no se repitan. López Dóriga, el esclavo de Menón. “¿La sabiduría es un don de la naturaleza o fruto de la educación?” alguna vez se lo preguntó Menón a Sócrates. Sócrates invitó a un esclavo de Menón y le planteó el siguiente problema: “un cuadrado de lado 2 posee un área de 4 ¿cuánto tendría que medir de lado un cuadrado con área igual a 8?”. El esclavo respondió 4, pero el lector sabe que un cuadrado de lado 4 no tiene un área de 8. El esclavo reconoció su error aunque no sabía que la respuesta es 8. Sócrates dijo: “¿No está el esclavo en mejor disposición ahora ante lo que antes ignoraba? Enseñándole a dudar le hemos puesto en mejor disposición para descubrir la verdad (…) hay en él verdaderas opiniones que se hacen conocimientos cuando se las despierta con preguntas; en todo el transcurso de los tiempos su alma ha sido sabia”. López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 5 Área de un cuadrado= L 2, si despejamos: Lado de un cuadrado= área del cuadrado-. Para obtener la raíz cuadrada de cualquier número podemos acomodar los circulitos en la cuadrícula empezando siempre desde la izquierda a partir de la esquina inferior izquierda, si se llena comenzamos a llenar el piso arriba y seguimos llenando a la derecha hasta que se acaban los circulitos. Si el número es 8 tenemos 8 circulitos y entonces la raíz cuadrada en enteros es el número de círculos que están en la orilla inferior, mientras que el residuo o r es el número de circulitos de la cuadrícula que no se completó. La pregunta que planteó Menón nos persigue hasta la fecha. En 2006 un grupo de investigadores de Harvard viajó al corazón del Amazonas para encontrarse con integrantes de la tribu Mundurukú que no tienen una representación típica de la geometría pero sus capacidades para leer mapas e identificar figuras geométricas son iguales en muchos aspectos a las de los adultos norteamericanos. Aunque los Mundurukú cometen más errores en las pruebas que requieren una transformación mental de una figura en otra ¿es éste un ejemplo paralelo al del esclavo de Menón? ¿nuestros cerebros están construidos naturalmente para comprender matemáticas y geometría? Quizá ni @Esepinchewey ni López Dóriga, ni yo terminemos con una parte de nuestra corteza cerebral más grande sólo por usar la raíz López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 6 cuadrada todos los días, pero ciertamente estaremos, como el esclavo de Menón, en mejor disposición para descubrir la verdad. Esta es una de las pruebas en la que los Mundurukú tienen un peor desempeño que los adultos estadounidenses. El ejercicio consiste en identificar la figura que no encaja en el mismo patrón que el resto de las figuras. En la figura que utilizaron con los munduruku, primero identificamos que los triángulos de la esquina inferior derecha son imágenes iguales pero en diferente posición, y si quisiéramos igualar las figuras tendríamos que determinar cuál es el extremo del triangulo por el que se unen al punto, estos son los dos pasos que se nos facilitarían si vamos a la escuela. Tomado y modificado de Dehaene et al, 2006. Bibliografía recomendada Sobre el modelo Nepohualtzitzin: http://www.revista.unam.mx/vol.15/num2/art09/# Otras notas sobre el cerebro: http://www.comoves.unam.mx/numeros/articulo/118/el-cerebro-maleable http://www.comoves.unam.mx/numeros/articulo/111/la-nueva-vision-del-cerebro 1. 2. 3. Platón obras completas, edición de Patricio de Azcarate, tomo 4, Madrid, 1871. http://www.filosofia.org/cla/pla/img/azf04275.pdf Keith Devlin, The Math gene. How mathematical thinking evolved and why mathematics are like gossip, Basic Books, EU, 2000. Hanz Magnus Enzensberger, El diablo de los números, Editorial Siruela, España, 2008. Bibliografía especializada 1. 2. Miller L, Bansal R., Wickramaratne P., Hao X, Tenke C.E., Weissman M.M., Peterson B. S., “ Neuroanatomical correlates of religiosity and spirituality: a study in adults at high and low familial risk for depression“, JAMA Psychiatry, febrero 2014, 1;71(2):128-35. The exceptional brain of Albert Einstein López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 7 3. 4. 5. 6. http://www.columbia.edu/cu/psychology/courses/1010/mangels/Einstein.pdf Jacqueline J. Goodnow y Gloria Bethon, “Piaget’s tasks: the effect of schooling and intelligence”, Child Development, 1966, vol. 37, núm. 3, pp. 573-582 Geoffrey B. Saxe, “The mathematics of child Street vendors“, Child Development, 1988, vol 59, num. 5, pp.1415-1425 Dehaene S., Izard V., Pica P., Spelke E., “Core knowledge of geometry in an amazonian indigene group“, Science , enero de 2006, 20;311(5759):381-4. López Dóriga y el esclavo / CIENCIORAMA 8