Escuela Superior Politécnica del Litoral Instituto de Ciencias

Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
SOLUCIÓN y RÚBRICA
Examen de la Primera Evaluación de Álgebra Lineal
05 de julio de 2012
Rúbrica para todos los temas:
Deficiente
Regular
Bueno
Excelente
Vacı́o, evaluación incompleta o incorrecta del valor de verdad de la
proposición o desarrollo de incoherencias
Comprensión parcial del problema con errores conceptuales
Comprensión y planteamiento correcto con errores de procedimiento
Planteamiento y procedimiento correctos
0-1
2-5
6-9
10
Ponderaciones:
puntos:
P1
P2
10
5
P3
a b
5 5
P4
a b
10 10
a
8
P5
b c
8 4
P6
Total
5
70
1. (10 pts) Demuestre:
Sea S = {v1 , v2 , ..., vn } un subconjunto linealmente independiente de vectores del espacio
vectorial V y sea x un vector de V que no puede ser expresado como una combinación lineal
de los vectores de S, entonces {v1 , v2 , ..., vn , x} también es linealmente independiente.
La proposición puede escribirse como: (S es L.I.) ∧ (x ∈
/ gen{S}) ⇒ (S ∪ {x} es L.I. )
Sea la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn + kx = 0. Como x ∈
/ gen(S) entonces
k = 0, sino fuera ası́ dividiendo para k toda la expresión dada, se tendrı́a x ∈ gen(S).
Entonces la combinación lineal dada se reduce a k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn = 0 y como S
es L.I. se tiene que k1 = k2 = · · · = kn = 0, por lo tanto se ha demostrado que la única
solución de k1 v1 +k2 v2 +· · ·+kn vn +kx = 0 es k1 = k2 = · · · = kn = k = 0 y S ∪{x} es L.I. 2. (5 puntos) Rectifique o ratifique la siguiente DEFINICIÓN:
Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinación lineal de los vectores de S y los escalares de la combinación lineal son todos ceros.
0
2
1
2
1
, entonces la
=
+0
} es L.D. pero se cumple que 0
,
El conjunto {
0
4
2
4
2
definición podrı́a escribirse como:
Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinación lineal de los vectores de S solo si los escalares de la
combinación lineal son todos ceros.
3. (10 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA,
justificando formalmente su calificación.
a) Sea V un espacio vectorial tal que H ⊆ V . Si H es un subespacio vectorial de V entonces
H C es subespacio de V. (FALSO)
Si H es S.E.V. de V entonces 0V ∈ H pero H c = V \ H entonces 0V ∈
/ H c y por lo
tanto H c no puede ser S.E.V. de V.
b) Sea V = M3×3 y W = {A ∈ M3×3 /aij = 0, i + j 6= 4}, entonces W es un subespacio de
V . (VERDADERO)


0 0 a
W = {0 b 0 |a, b, c ∈ R}
c 0 0
W no es vacı́o,
 al menos tendrá un vector, por ejemplo: si a = b = c = 0, se
 porque
0 0 0
tiene v = 0 0 0 y v ∈ W
0 0 0

 
 
 

0 0 a′
0
0
a1 + a2
0 0 a2
0 0 a1
 0 b1 0  +  0 b2 0  =  0
b1 + b2
0  =  0 b′ 0  ∈ W
c′ 0 0
c1 + c2
0
0
c2 0 0
c1 0 0

 
 

0 0 a′
0 0 ka
0 0 a
Sea k ∈ R, k 0 b 0 =  0 kb 0  =  0 b′ 0  ∈ W
c′ 0 0
kc 0 0
c 0 0
4. (20 puntos)Sea V = P3 . Considere el conjunto de todos los subespacios de V tal que
H(a) = gen 1 + ax + x2 + x3 , 1 + ax + (1 − a)x2 + x3 , x + (2a)x2 + 2x3 , 1 + (1 + a)x + (1 + a)x2 + 3x3 .
a) Determine el valor de a para que dimH = 2

1
a
1
1
a
1
−
a

0
1
2a
1 1+a 1+a


1
1
0
1
 ∼ ··· ∼ 
0
2
3
0

0 −2a2 + 1 −2a + 1
1
0
2 

0
a
0 
0
0
0
∴ si a = 0 ⇒ dimH = 2
b) Halle una base y la dimensión de los subespacios H(0) ∩ H(1) y H(0) + H(1)
Por el literal anterior dimH(0) = 2 y H(0) = gen{1+x2 +x3 , x+2x3 }, además ubicando
los coeficientes de los vectores de H(1) = gen{1 + x + x2 + x3 , 1 + x + x3 , x + 2x2 +
2x3 , 1 + 2x + 2x2 + 3x3 } como filas de una matriz, se tiene:

1
1

0
1
1
1
1
2
1
0
2
2


1
1


0
1
∼ ··· ∼ 
0
2
0
3
1
1
0
0
1
2
1
0

1
2
 ⇒ H(1) = {1+x+x2 +x3 , 1+x+x3 , x+2x2 +2x3 }
0
0
y dimH(1) = 3
Se hallan las condiciones de H(0):
a + bx + cx2 + dx3 = k1 (1 + x2 + x3 ) + k2 (x + 2x3 )
= k1 + k2 x + k1 x2 + (k1 + 2k2 )x3
⇒

k1



k2
k1



k1 + 2k2
=
=
=
=
a
b
⇒ a = d − 2b, c = d − 2b
c
d
Se hallan las condiciones para H(1):
a + bx + cx2 + dx3 = k1 (1 + x + x2 + x3 ) + k2 (1 + x + x3 ) + k3 (x + 2x2 + 2x3 )
= (k1 + k2 ) + (k1 + k2 + k3 )x + (k1 + 2k3 )x2 + (k1 + k2 + k3 )x3

k1 + k2



k1 + k2 + k3
⇒
k
+ k3

1


k1 + k2 + 2k3
=
=
=
=

1
a

1
b
⇒
1
c
1
d
1
1
0
1
0
1
2
2
|
|
|
|


1
a


0
b
∼ ··· ∼ 
0
c
0
d

1 0 |
a
0 1 |
b−a 

1 −2 |
a−c 
0 0 | a − 2b + d
⇒ a = 2b − d
Como se puede escribir H(1) = {(2b − d) + bx + cx2 + dx3 |b, c, d ∈ R}, entonces otra
base de H(1) = {2 + x, x2 , −1 + x3 }
Se hallan las condiciones de H(0) ∩ H(1):

a =
c



a = d − 2b
⇒
⇒ a = 0, c = 0, d = 2b ⇒ H(0) ∩ H(1) = {bx + 2bx3 |b ∈ R}
c
=
d
−
2b



a = 2b − d
⇒ Base(H(0) ∩ H(1)) = {x + 2x3 } y dim((H(0) ∩ H(1)) = 1
Se hallan las condiciones de H(0) + H(1):
H(0) + H(1) = gen{B(H(0)) ∪ B(H(1))} = gen{1 + x2 + x3 , x + 2x3 , 2 + x, x2 , −1 + x3 }

1
0

2

0
−1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0


1
1


2
0

0 ∼ · · · ∼ 
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0

1
2

2

1
0
⇒ Base(H(0) + H(1)) = {1 + x2 + x3 , x + 2x3 , 2 + x, x2 } y dim((H(0) + H(1)) = 4
5. (20 puntos) Sea T : R2 → R2 una transformación lineal, definida por:
2x + y
x
=
T
7y − 6x
y
a) Considere el paralelogramo P con vértices A(0, 0), B(1, 2), C(2, 5), D(1, 3). En el plano
cartesiano mostrado a continuación, grafique el paralelogramo P y a su imagen mediante
T , T (P ).
0
0
=
T (A) = T
0
0 1
4
T (B) = T
=
2 8 2
9
T (C) = T
=
23
5
5
1
=
T (D) = T
15
3
b) ¿Es T (P ) también un paralelogramo?
Sı́ es un paralelogramo. Sea m(XX ′ ) la pendiente del segmento de recta XX ′ . De
acuerdo al gráfico de T (P ), se tiene m(T (A)T (B)) = 84 = 2 = 23−15
= m(T (D)T (C)).
9−5
15
23−8
También m(T (A)T (D)) = 5 = 3 = 9−4 = m(T (B)T (C))
c) Determine todos los subespacios W de R2 tales que ∀x ∈ W, T (x) ∈ W
0
} y R2 , además
Es claro que dos subespacios que cumplen con la condición son {
0
1
x
}
|m, x ∈ R} ⇒ base(W ) = {
otro W debe ser de la forma W = {
m
mx
24
T (C)
23
b
22
21
20
19
18
17
16
T (D)
15
b
14
13
12
11
10
9
8
b
T (B)
7
6
C
5
b
4
D
3
b
2
b
B
1
0
T (A)
⇒T
x
mx
=
⇒ 2x + mx =
b
A0
2x + mx
7mx − 6x
7mx−6x
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x + mx = k
1
⇒
=k
7mx − 6x = km
m
⇒ m2 x − 5mx + 6x = 0 ⇒ m2 − 5m + 6 = 0 siempre que x 6= 0,
⇒ (m − 3)(m − 2) = 0
0
x
x
}
|x ∈ R, x 6= 0}, y {
|x ∈ R, x 6= 0}, {
∴ Los subespacios W’s son {
0
3x
2x
6. (5 puntos) Sean 
β1 
= {v1 , v2 , v3 } y β1 = {v1 − v2 , v2 + v3 , 2v1 } dos bases de un espacio V . Si
1
[E]β1 = [F ]β2 = 1, determine [5E − 2F ]β2
1
 
1

Como [E]β1 = [F ]β2 = 1
1
E = v1 + v2 + v3 y F = (v1 − v2 ) + (v2 + v3 ) + (2v1 ) = 3v1 + v3
⇒ E = k1 (v1 − v2) + k2 (v2 + v3 ) + k3 (2v1 ) = (k1 + 2k2 )v1 + (−k1 + k2 )v2 + k2 v3


 
0
+ 2k3 = 1
 k1 +
 k1 = 0
−k1 + k2
= 1 ⇒
k2 = 1 ⇒ [E]β2 =  1 
⇒


1
k2
= 1
k3 = 21
2
 
   
0
1
−2





3
∴ [5E − 2F ]β2 = 5 1 − 2 1 =
1
1
1
2
2