1 Indique en cuáles de las siguientes opciones el el primer vector sı

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Indique en cuáles de
combinación lineal de los



6
1) b =  1 , a1 = 
1
las siguientes opciones el el primer vector
restantes:






5
1
−11
5  , a2 =  3  , a3 =  −13  , a4 = 
1
1
−3
sı́ es una

42
56 
14








40
6
2
4
2) d =  44 , e1 =  1  , e2 =  1  , e3 =  6 
4
4
38
5









−1
1
1
−4
11
3) f =  −4 , g1 =  4  , g2 =  4  , g3 =  −16  , g4 =  44 
−7
6
5
−21
62


 
 
 
5
2
4
15
4)  35  ,  6  ,  4  ,  3 
4
3
1
21


 
 

3
6
1
5)  4  ,  4  ,  2 
4
6
4
Solución
El resultado fundamental 1 en Álgebra Lineal dice que:
Siendo b,a1 ,a2 ,. . . ,ak vectores en Rn : El vector b es combinación
lineal de los vectores a1 ,a2 ,. . . , ak si y sólo si es consistente el
sistema [a1 a2 · · · ak |b].
Observe que sólo requiere la consistencia, no importa si la solución es única o
infinitas. Esto sólo hace referencia si la manera de obtener b es única o existen
infinitas maneras de obtenerlo. Apliquemos el resultado a cada inciso; en cada
caso formamos la aumentada y reducimos.
1) Tenemos que

c1 c2
c3 c4
 5
1 −11 42 6


3 −13 56 1
 5

 1
1 −3 14 1
a1 a2
a3 a4 b


c1



 rref  1
 −−−→ 

 0

0
c2
0
1
0
c3
2
−1
0

c4

7 0 

7 0 
0 1
Como el sistema es inconsistente, concluimos que no existen escalares
c1 , c2 , c3 y c4 que cumplan
c1 · a1 + c2 · a2 + c3 · a3 + c4 · a4 = b
Ası́ b no es combinación lineal de a1 , a2 , a3 , y de a4 .
2) Tenemos que







c1
6
1
5
e1
c2 c3
2 4
1 6
4 4
e2 e3


c1

6 

 rref  1
1  −−−→ 

 0
1 
0
d
c2
0
1
0

c3

0 2 

0 0 
1 7
Como el sistema tiene solución, de hecho es única; el vector d sı́ es combinación lineal de e1 , e2 y de e3 . Se puede comprobar que
d = 2 · e1 + 0 · e2 + 7 · e3
3) Tenemos que



c1 c2
c3 c4

 1
1 −4 11 −1 


 rref 

4 −16 44 −4  −−−→ 
 4



 6
5 −21 62 −7 
g1 g2
g3 g4
f
c1
1
0
0
c2
0
1
0
c3
−1
−3
0

c4

7 −2 

1 
4
0
0
Como el sistema es consistente, el vector f sı́ es combinación lineal de g1 ,
g2 , g3 y de g4 . De hecho, si hacemos las variables libres cero (c3 = 0,
c4 = 0) podemos verificar
f = −2 · g1 + 1 · g2 + 0 · e3 + 0 · e4
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