dimensión y rango - algebralinealita

DIMENSIÓN Y RANGO
La dimensión de un subespacio H diferente de cero, denotada mediante dim H, es el número de vectores
que hay en cualquier base de H. La dimensión del subespacio cero {0} es, por definición, cero.
Nota: El subespacio cero no tiene base, porque el vector cero forma por sí mismo, un conjunto
linealmente dependiente.
Ejercicio. Determine la dimensión del subespacio H en R-3 generado por los vectores v1, v2 y v3.
Primero encuentre una base para H.
(1)
Las primeras 2 columnas de A son columnas pivote y forman una base para H. Por lo tanto, dim H=2.
El espacio R-n tiene dimensión n. Cada base para R-n consiste en n vectores.
Para encontrar la dimensión de Nul A, basta con identificar y contar el número de variables libres de
Ax=0.
Definición. El rango de una matriz A, denotado mediante rango A, es la dimensión del espacio columna
de A.
Como las columnas pivote de A forman una base para Col A, el rango de A es simplemente el número
de columnas pivote en A.
Ejercicio. Determine el rango de la matriz
(2)
La matriz A tiene tres columnas pivote, así que el rango A=3.
En Maple, el rango se obtiene con la función rank
3
Definición. El rango de A es la dimensión del espacio columna de A.
Es decir, el rango de A es el número de posiciones pivote en la forma escalonada de A.
Ejercicio 2. Encuentre una base para Col B, donde B.
(3)
Cada columna de B que no es pivote es una combinación lineal de las columnas pivote y como hemos
dicho, las columnas pivote de B forman una base para Col B. Entonces S={b1, b3, b5}
La dimensión de Nul A es el número de variables libres incluidas en la ecuación Ax=0, y la dimensión de
Col A es el número de columnas pivote de A.
Ejercicio 3. Encuentre las dimensiones del espacio nulo y del espacio columna de
Para obtener el espacio nulo de A, escalonamos Ax=0
(4)
Vemos que las variables libres son x2,x4,x5, por lo tanto la dimensión de Nul A es 3.
Vemos además que el número de columnas pivote son 2, por lo tanto la dimensión de Col A es 2.
Teorema. El teorema del rango.
Las dimensiones del espacio columna y del espacio fila de una matriz A de m x n son iguales. Esta
dimensión común, el rango de A, también es igual al número de posiciones pivote incluidas en A y
satisface la ecuación
rango A + dim Nul A = n