1 ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es

¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente?







1
2
−1 





 1 



−1 + b 
 , a2 =  4  , a3 = 

A = a1 = 
 −2 
 0 


2 − 2 b + b2 




1
4
−1 − 11 b + 3 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para b = 0 y para b=
2 No existe valor de b.
3 Hay mas de dos valores de b.
4 Sólo para el valor b=
Solución
Nuestro resultado clave 3 es:
Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente (dependiente) si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única
(resp. infinitas soluciones).


Formemos la aumentada
1 2
−1 0
 1 4
−1 + b 0 

[a1 a2 a3 |0] = 
 −2 0
2 − 2 b + b2 0 
1
4
−1 − 11 b + 3 b2
0
Como la matriz tiene variables; no es conveniente reducir. Escalonemos solamente mediante las operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
R2
R3
R4
R3
R4
→ R2 − 1 R1
→ R3 + 2 R1
→ R4 − 1 R1
→ R3 − 2 R2
→ R4 − 1 R2
y matriz queda:
1 2
−1
 0 2
b

2
 0 0
b − 4b
0 0 3 b2 − 12 b


0
0 

0 
0
Vemos que las columna 1 y 2 tiene pivote numérico, es decir, sin la variable b. Por
tanto, no es posible escoger un valor de b que haga cero uno de estos pivotes.
Ası́, el conjunto es linealmente dependiente si y sólo si la tercera columna no
tiene pivote. Pero hay dos posiciones que pueden dar origen a pivote: tanto en el
renglón 3 como en el 4. Para no tener pivote en esas localidades ambos tienen
que ser cero:
b2 − 4 b = 0 → b = 0 y b = 4
2
2 b − 12 b = 0 → b = 0 y b = 4
Por lo tanto, sólo hay dos valores de b para los cuales el conjunto es linealmente
dependiente. Por el formato de la respuesta que se pide: indicamos primero 1
que corresponde a la opción y después 4, que es el número que llena el espacio
que se da 1,4