1. −→r(t) = cost−→i + 3 sent−→j . 2. −→r(t) = 3 sect−→i +

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Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
Práctica Miscelánea para el Primer Parcial
Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas
MA 1003 Cálculo 3
Recopilado por Prof. Marco Alfaro C.
En los ejercicios 1-8 , dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación.
−
→
−
→
→
1. −
r (t) = cos t i + 3 sen t j .
−
→
−
→
→
2. −
r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j .
−
→
−
→
−
→
→
3. −
r (t) = t i + (2t − 5) j + 3t k .
−
→
−
→
−
→
→
4. −
r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k .
→
−
→
−
→ t−
→
5. −
r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j + k .
2
→
−
→
−
→ 3 −
→
6. −
r (t) = t2 i + 2t j + t k .
2
2
→
7. −
r (t) = t, t2 , t .
3
→
8. −
r (t) = (cos t + t sen t, sen t − t cos t, t) .
En los ejercicios 9-16, representar la curva plana mediante una función vectorial. (Hay varias respuestas
correctas)
9. y = 4 − x.
10. y = (x − 2)2 .
11. x2 + y2 = 25.
12.
x2 y2
−
= 1.
16
4
13. 2x − 3y + 5 = 0.
14. y = 4 − x2 .
15. (x − 2)2 + y 2 = 4.
16.
x2 y2
+
= 1.
16
9
En los ejercicios 17-24, trazar la curva intersección de las superficies. Representar la curva por una función
vectorial usando el parámetro dado.
Superficies
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
z = x2 + y 2 , x + y = 0
z = x2 + y 2 , z = 4
x2 + y 2 = 4, z = x2
4x2 + 4y2 + z 2 = 16, x = z 2
x2 + y 2 + z 2 = 4, x + z = 2
x2 + y 2 + z 2 = 10, x + y = 4
x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4
x2 + y 2 + z 2 = 16, xy = 4
Parámetro
x=t
x = 2 cos t
x = 2 sen t
z=t
x = 1 + sen t
x = 2 sen t
x = t (primer octante)
x = t (primer octante)
25. Probar que la gráfica de la función vectorial
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = t i + 2t cos t j + 2t sen t k
está sobre el cono 4x2 = y 2 + z 2 . Dibujar la curva.
26. Probar que la gráfica de la función vectorial
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = e−1 cos t i + e−1 sen t j +e−1 k
está sobre el cono z 2 = x2 + y2 . Dibujar la curva.
−
→
27. Encuentre la derivada de la función en P0 , en la dirección de A .
−
→
−
→
−
→
(a) f (x, y) = 2xy − 3y2 , P0 (5, 5) , A = 4 i + 3 j .
−
→
−
→ −
→
(b) f (x, y) = 2x2 + y2 , P0 (−1, 1) , A = 3 i −4 j .
√
−
→
−
→
−
→
(c) g(x, y) = x − y 2 /x + 3 arcsec (2xy) , P0 (1, 1) , A =12 i + 5 j .
√
−
→
−
→
−
→
(d) h (x, y) = arctan (y/x) + 3 arcsen (xy/2) , P0 (1, 1) , A = 3 i − 2 j .
−
→
−
→
−
→
−
→
(e) f (x, y, z) = xy + yz + zx, P0 (1, −1, 2) , A = 3 i +6 j − 2 k .
−
→
−
→ −
→
−
→
(f) f (x, y, z) = x2 + 2y2 − 3z 2 , P0 (1, 1, 1) , A = i + j + k .
−
→
−
→
−
→ −
→
(g) g(x, y, z) = 3ex cos yz, P0 (0, 0, 0) , A = 2 i + j −2 k .
−
→
−
→ −
→
−
→
(h) h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx, P0 (1, 0, 1/2) , A = i +2 j + 2 k .
28. Encuentre las direcciones en que las funciones crecen y decrecen más rápidamente en P0 .
(a) f (x, y) = x2 + xy + x2 ,
2
P0 (−1, 1) .
xy
(b) f (x, y) = x y + e sen y,
(c) f (x, y, z) = (x/y) − yz,
2
e
(d) g(x, y, z) = x + z ,
P0 (1, 0) .
P0 (4, 1, 1) .
P0 (1, ln 2, 1/2) .
(e) f (x, y, z) = ln xy + ln yz + ln xz, P0 (1, 1, 1) .
(f) h (x, y, z) = ln x2 + y2 − 1 + y + 6z, P0 (1, 1, 0) .
29. Encuentre ecuaciones para (a) el plano tangente y (b) la recta normal en el punto P0 .
(a) x2 + y 2 + z 2 = 3,
2
2
2
(b) x + y − z = 18,
2
(c) 2z − x = 0,
P0 (1, 1, 1) .
P0 (3, 5, −4) .
P0 (2, 0, 2).
(d) x2 + 2xy − y 2 + z 2 = 0,
P0 (1, −1, 3) .
(e) cos πx − x2 y + exz + yz = 4,
(f) x2 − xy − y 2 − z = 0,
(g) x + y + z = 1,
P0 (0, 1, 2) .
P0 (1, 1, −1) .
P0 (0, 1, 0).
(h) x2 + y 2 − 2xy − x + 3y − z = −4,
P0 (2, −3, 18).
30. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el
punto P0 .
(a) Superficies: x + y 2 + 2z = 4,
x = 1,
2
(b) Superficies: xyz = 1,
2
x + 2y + 3z = 6, P0 (1, 1, 1).
2
(c) Superficies: x + 2y + 2z = 4,
3
P0 (1, 1, 1).
2
2 2
y = 1, P0 (1, 1, 1/2).
(d) Superficies: x + 3x y + y + 4xy − z 2 = 0,
(e) Superficies: x2 + y 2 = 4,
3
x2 + y2 + z 2 = 11, P0 (1, 1, 3).
√ √
x2 + y2 − z = 0, P0 ( 2, 2, 4).
31. Encuentre la derivada de f (x, y) = x2 + y2 , en la dirección del vector tangente unitario de la curva
−
→
−
→
−
→
r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t − t cos t) j ,
t > 0.
32. Encuentre la derivada de f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , en la dirección del vector tangente unitario de la hélice
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = cos t i + sen t j + t k
π
4
en los puntos donde t = − , 0,
π
.
4
33. Una curva es normal a una superficie f (x, y, z) = c en un punto de intersección si el vector de velocidad
de la curva es un múltiplo escalar ∇f en el punto. La curva es tangente a la superficie en un punto de
intersección si su vector velocidad es, ahí, ortogonal a ∇f .
(a) Demuestre que la curva
√−
−
→
→ √−
→
−
→
r (t) = t i + t j − 14 (t + 3) k
es normal a la superficie x2 + y 2 − z = 3, cuando t = 1.
(b) Demuestre que la curva
√−
−
→
→ √−
→
−
→
r (t) = t i + t j + (2t − 1) k
es tangente a la superficie x2 + y 2 − z = 1, cuando t = 1.
34. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = t, y = sen 5t, z = cos 5t está en el
cilindro circular x2 + y2 = 1, centrado a lo largo del eje x.
35. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = sen t, y = cos t, z = cos 8t está en el
cilindro circular vertical x2 + y 2 = 1.
36. Muestre
que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = t sen 6t, y = t cos 6t está en un cono
z = x2 + y2 con su vértice en el origen y abierto hacia arriba.
37. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = cos t sen 4t, y = sen t sen 4t, z = cos 4t,
está en la superficie de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
→
En los ejercicios 38 al 43 se proporciona el vector −
r (t) de una partícula que se mueve en el espacio.
Encuentre sus vectores de velocidad y aceleración, así como su rapidez en el tiempo t.
−
→
−
→
−
→
→
38. −
r (t) = t i + t2 j + t3 k .
−
→
−
→
−
→
→
39. −
r (t) = 3t2 i + 4t2 j − 12t2 k .
−
→
−
→
−
→
→
40. −
r (t) = t i + 3et j + 4et k .
−
→
−
→
−
→
→
41. −
r (t) = et i + e2t j + e3t k .
−
→
−
→
−
→
→
42. −
r (t) = 3 cos t i + 3 sen t j − 4t k .
−
→
−
→
−
→
→
43. −
r (t) = 12t i + 5 sen 2t j − 5 cos 2t k .
→
→
En los problemas 44 a 48 se dan el vector de aceleración −
r (0) y la velocidad
a (t), la posición inicial r0 = −
−
→
→
inicial v0 = v (0) de una partícula que se mueve en el espacio xyz . Encuentre su vector de posición −
r (t)
en el tiempo t.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
44. −
a (t) = 6t i − 5 j + 12t2 k ;
v0 = 4 j − 5 k .
r0 = 3 i + 4 j ;
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
r0 = 10 i ;
45. −
a (t) = t i + t2 j + t3 k ;
v0 = 10 j .
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
46. −
a (t) = t i + e−1 j ;
r0 = 3 i + 4 j ;
v0 = 5 k .
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
v0 = − i + 5 k .
47. −
a (t) = cos t i + sen t j ;
r0 = j ;
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
48. −
a (t) = 9 sen 3t i + 9 cos 3t j + 4 k ;
r0 = 3 i + 4 j ;
v0 = 2 i − 7 k .
49. Las ecuaciones paramétricas de un punto en movimiento son
x (t) = 3 cos 2t,
y (t) = 3 sen 2t, z (t) = 8t
Encuentre su velocidad, rapidez y aceleración en el tiempo t =
7π
.
8
50. Una partícula se mueve en una circunferencia cuyo centro está en el origen. Utilice el producto punto para
demostrar que los vectores de posición y de velocidad del punto en movimiento son siempre perpendiculares.
51. Una partícula se mueve en la hipérbola x2 − y 2 = 1 con vector de posición
−
→
−
→
−
→
r (t) = cosh ωt i + senh ωt j
→
(el número ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración −
a (t) satisface la ecuación
−
→
−
→
a (t) = c r (t), donde c es una constante positiva. Qué clase de fuerza externa producirá este tipo
de movimiento?
52. Suponga que una partícula se mueve en la elipse
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
−
→
−
→
→
con vector de posición −
r (t) = a cos ωt i + b sen ωt j (ω es una constante). Pruebe que el vector de
−
→
−
→
−
→
aceleración a satisface la ecuación a (t) = c r (t), donde c es una constante negativa. A qué clase de
−
→
fuerza externa F (t) corresponde el movimiento?
−
→
→
53. Un punto se mueve en un plano con un factor de aceleración constante −
a = a j . Pruebe que su trayectoria
es una parábola o una línea recta.
→
54. Suponga que una partícula no está sujeta a una fuerza, de modo que su vector de aceleración −
a (t) es
idénticamente cero. Pruebe que la partícula viaja a lo largo de una línea recta con una velocidad constante
(primera ley de movimiento de Newton).
55. Considere una partícula que se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj, en una circunferencua
con centro (0, 0) y radio r, a una velocidad angular constante de ω radianes por segundo. Si su posición
inicial es (r, 0), entonces su posición es
−
→
−
→
−
→
r (t) = r cos ωt i + r sen ωt j .
(a) Demuestre que el vector de velocidad de la partícula es tangente a la circunferencia y que su rapidez es
→
v (t) = −
v (t) = rω.
→
→
(b) Demuestre que el vector de la aceleracion −
a de la partícula tiene dirección opuesta a −
r y que
→
a (t) = −
a (t) = rω 2 .
56. Encuentre la curvatura de la curva dada en el punto indicado.
x = 5 cosh t,
y = 3 senh t, donde t = 0.
El vector de posición de una partícula que se mueve en el plano está dado en los problemas 57 a 61.
Encuentre las componentes tangencial y normal del vector de aceleración.
−
→
−
→
→
57. −
r (t) = 3 sen π t i + 3 cos π t j .
−
→
−
→
→
58. −
r (t) = (2t + 1) i + (3r2 − 1) j .
−
→
−
→
→
59. −
r (t) = cosh 3t i + senh 3t j .
−
→
−
→
→
60. −
r (t) = t cos t i + t sen t j .
→
61. −
r (t) = (et sen t, et cos t).
En los problemas 62 y 63 encuentre la ecuación de la circunferencia osculadora para la curva plana dada en
el punto indicado.
62. y = 1 − x2 en (0, 1).
63. y = ex en (0, 1).
Encuentre la curvatura κ de las curvas en el espacio con los vectores de posición dados en los problemas 64
a 68.
−
→
−
→
−
→
→
64. −
r (t) = t i + (2t − 1) j + (3t + 5) k
−
→
−
→
−
→
→
65. −
r (t) = t i + sen t j + cos t k
→
66. −
r (t) = (t, t2 , t3 )
→
67. −
r (t) = (et cos t, et sen t, et )
−
→
−
→
−
→
→
68. −
r (t) = t sen t i + t cos t j + t k
69. Encuentre la parametrización para la línea
x (t) = 2 + 4t,
y (t) = 1 − 12t,
z (t) = 3 + 3t
en términos de la longitud de arco s, medida desde el punto inicial (2, 1, 3).
70. Encuentre la parametrización para la circunferencia
x (t) = 2 cos t,
y (t) = 2 sen t,
z (t) = 0
en términos de longitud de arco s, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el punto
inicial (2, 0, 0).
71. Encuentre la parametrización para la hélice
x (t) 3 cos t,
y (t) = 3 sen t,
z (t) = 4t
en términos de la longitud de arco s, medida desde el punto inicial (3, 0, 0).
72. Determine la ecuación del cono que tiene como directriz la curva
 2
 y − 4x = 0
C:

z=0
y cuyo vértice es el punto V (0, 0, 8) .
73. Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable con A abierto, y sea P ∈ A. Suponga que
−
D→
u f (P ) = 3,
→
donde −
u =
−1
√1 , √
2
2
→
y −
v =
√
3 1
2 , 2
−
D→
v f (P ) = 2
−
y D→
u f (P ) denota la derivada direccional de f en P , en la
∂f
∂f
→
dirección de −
u . Calcule
(P ) y
(P ) .
∂x
∂y
74. Se define la función z = f (x, y) como z = u + v, donde u y v son funciones implícitas determinadas por
las expresiones

 F (x, y, u, v) = u + eu+v − x = 0

G (x, y, u, v) = v + eu−v − y = 0.
Determine la ecuación del plano tangente a z = f (x, y) en el punto correspondiente a x = y = 1,
u = v = 0.
75. Considere la curva C obtenida al intersecar la superficie z = 2x2 y con la superficie z = x + y.
→
r (t) que describa la curva C.
(a) Determine una función vectorial −
(b) Calcule la torsión de la curva C , en el punto P (1, 1, 2) .
76. Sean Φ,Ψ : A ⊆ R2 −→ R dos funciones derivables tales que
∂Φ
∂Ψ
=
,
∂u
∂v
∂Φ
−∂Ψ
=
.
∂v
∂u
(a) Muestre que Φ y Ψ son armónicas, esto es, que satisfacen la ecuación de Laplace:
∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y)
+
= 0.
∂x2
∂y2
(b) Sea f : A ⊆ R2 −→ R una función armónica con Φ y Ψ como en la parte (a), muestre que la nueva
función
F (u, v) = f (Φ (u, v) , Ψ (u, v))
es también una función armónica.
77. Muestre que
2
−
1
u (x, y, z, t) = √ 3 · e
2a πt
2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 )
4a2 t
cumple la ecuación de calor
ut = a2 (uxx + uyy + uzz ) .
78. Determine la ecuación de la superficie cónica con vértice el punto V definido por

 x + 3z − 10 = 0
x−z+2 =0
V :

y−2 =0
y que tiene por directriz la curva
C:
x2 + z 2 − 2z = 0
y = 0.
79. Determine la ecuación de la superficie de revolución, engendrada al girar la circunferencia
x2 + y 2 + z 2 + 2z − 7 = 0;
alrededor de la recta
x + 3y − z + 1 = 0
x+1
y−4
z+5
=
=
.
2
−1
3
80. Transforme la ecuación diferencial
x
∂z
∂z
+y
= z + x2 + y 2 + z 2
∂x
∂y
con las nuevas variables
u=
y
,
x
v=z+
x2 + y2 + z 2 .
81. Determine y clasifique los extremos relativos de la función
2
f (x, y) = y 3 + (x + y) + 6 (x − y) .
82. Hallar los extremos absolutos de la función
f (x, y) = x2 + x + y 2 + y
en la región A = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 .
Bibliografía
1. Demidovich, B.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, Madrid (1985).
2. Edwards, H. y David Penney: Cálculo con Trascendentes Tempranas. Editorial Pearson, México (2008).
3. Rogawski, J.: Cálculo: Varias Variables. Segunda Edición, Editorial Reverté, Barcelona (2012).
4. Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Cuarta Edición, Thomson Learning, México, D.F. (2002).
5. Thomas, G.: Cálculo en Varias Variables. Decimosegunda Edición.Editorial Pearson, México, D.F. (2008).
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