8 GEOMETRÍA DEL PLANO AUTOEVALUACIÓN 8.A1. Calcula x en la siguiente figura. C 4m B Usando el teorema de Tales, 8.A2. 7m x 3 = 4 7+3 N x M 3m A 10 x = 12 cm x= 12 = 1,2 cm 10 ¿Cuáles de los siguientes pares de triángulos son semejantes? a) 30º, 80º, xº 30º, yº, 60º b) 60º, 60º, 60º 15, 15 y 15 cm c) 4, 8 y 10 cm 12, 24 y 20 cm a) xº = 180º – 30º – 80º = 70º; yº = 180º – 30º – 60º = 90º No son semejantes porque no comparten la medida de sus ángulos. b) Ambos triángulos son equiláteros, luego sí son semejantes. c) 8.A3. 4 8 10 , luego no son semejantes. = ≠ 12 24 20 Halla las dimensiones de la maqueta de un puente de 958 metros de longitud, 28 de alto y 3 de ancho a escala 1:200. 1 cm representa 200 cm en la realidad. Transformando las unidades: 958 m = 95 800 cm; 28 m = 2800 cm; 3 m = 300 cm. Las dimensiones de la maqueta serán: Longitud: Alto: 1 b = 200 2800 Ancho: 8.A4. 1 a = 200 95 800 1 c = 200 300 b= a= 95 800 = 479 cm 200 2800 = 14 cm 200 c= 300 = 1,5 cm 200 Calcula los segmentos x e y. 8 cm 20 8 Usando el teorema de Tales: = 30 x 20 y = 30 18 y= 30 ⋅ 8 x= = 12 cm 20 18 ⋅ 20 = 12 cm 30 y 20 cm x 18 cm 30 cm 8.A5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 centímetros, y la suma de los catetos es 14 centímetros. a) Halla la medida de cada cateto. b) Calcula el área del triángulo. 2 2 a) Usando el teorema de Pitágoras, 10 = c + (14 – c) 2 Resolviendo la igualdad tenemos que los catetos miden 8 y 6 centímetros. b) A = 8.A6. 8⋅6 2 = 24 cm 2 Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden lo siguiente: a) 15 y 8 decímetros a) 152 + 82 = d2 d= d2 = 225 + 64 = 289 289 = 17. La diagonal mide 17 dm. b) 102 + 22 = d2 d= 8.A7. b) 10 y 2 centímetros d2 = 100 + 4 = 104 104 = 10,2. La diagonal mide 10,2 cm. Halla la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden: a) 14 centímetros b) 2 centímetros c) 17 centímetros a) 142 + 142 = d2 d= 2 392 = 19,8. La diagonal mide 19,8 cm. b) 2 + 2 = d2 d= 2 8.A8. d2 = 4 + 4 = 8 8 = 2,83. La diagonal mide 2,83 cm. c) 172 + 172 = d2 d= d2 = 196 + 196 = 392 d2 = 289 + 289 = 578 578 = 24,04. La diagonal mide 24,04 cm. En la figura se observan dos rectángulos: ABCD y DBEF. ¿Cuál es, en centímetros cuadrados, el área del rectángulo DBEF? F C D E 3 cm A 4 cm B El triángulo BCD ocupa la mitad de la superficie del rectángulo ABCD. Pero también ocupa la mitad de la superficie del rectángulo BDFE, pues tiene igual base, BD, e igual altura. 2 Así pues, ambos rectángulos tienen igual área, 12 cm . 8.A9. Calcula el área de las siguientes figuras. b) a) 9 cm 1,5 2 cm 120° a) Asector circular = cm π ⋅ r 2 ⋅ nº π ⋅ 92 ⋅ 120 2 = = 84,78 cm 360º 360 b) La figura es la mitad de una corona circular de radio mayor 2 cm y radio menor 0,5 cm. A= ( π ⋅ R2 − r 2 ) 2 = ( π ⋅ 22 − 0,52 2 ) = π ⋅ 3,75 2 = 5,89 cm 2 8.A10. Calcula el área sombreada de esta figura. 3 2 El radio de la circunferencia mayor es 5, pues su diámetro es 10. 2 2 2 Área sombreada = π · 5 – (π · 3 + π · 2 ) = 12π