Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones

Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales
independientes.
Varianzas desconocidas iguales
Ejercicios Tema 6 (Resuelto)
1.
Problema 4
En un estudio se determinaron las tasas de ramoneo de dos especies de erizo de mar, Paracentrotus
lividus y Arbacia lixula. Se estudió la superficie ramoneada (cm2 ) durante un dı́a, observando de forma
independiente a distintos individuos de cada especie, obteniendo los siguientes datos:
x̄
7.510
7.270
Paracentrotus lividus
Arbacia lixula
S2
0.088
0.040
n
15
12
Suponiendo normalidad en los niveles de ramoneo, contrastar:
a) si las varianzas de la tasa de ramoneo de ambas especies son iguales.
b) si las tasas de ramoneo de las dos especies son iguales.
c) si la tasa de ramoneo de Paracentrotus lividus es mayor que la de Arbacia lixula.
1.1.
1.1.1.
Resolución de apartados a) y b)
Planteamiento del contraste
Tal y como se pregunta en el ejercicio, nos plantean dos contrastes distintos. En el primero se debe
comprobar si la tasa de ramoneo de las dos especies de erizo es distinta, y en el segundo, si la tasa de
ramoneo de Paracentrotus lividus es mayor que la de Arbacia lixula. Aunque la hipótesis a plantear para
cada contraste es distinta, en ambos se ha de utilizar un contraste para los parámetros de dos poblaciones
normales independientes, en este caso para las diferencias de las medias y varianzas de las poblaciones
(σ) desconocidas al no disponer de sus valores.
1.1.2.
Planteamiento de la hipótesis
Sea X la variable aleatoria tasa de ramoneo de Paracentrotus lividus e Y la variable aleatoria tasa
de ramoneo de Arbacia lixula, y sabiendo, según el enunciado del ejercicio y el planteamiento propuesto
en el apartado b), que se quiere conocer si existen diferencias entre las dos variables mediante el contraste
de las diferencias de sus medias, se podrı́a plantear como un contraste bilateral con las siguientes hipótesis:
H0 : La media poblacional de X es igual que la de Y
→β
H1 : La media poblacional de X es distinta que la de Y
→ α = 0.05
H0 : µ x = µ y → H0 : µ x − µ y = 0
→β
H1 : µx 6= µy → H1 : µx − µy 6= 0
→ α = 0.05
1
Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales independientes.
Varianzas desconocidas iguales
1.1.3.
Requisitos del contraste y datos necesarios para su desarrollo
a) Datos necesarios
Para poder analizar los requisitos y desarrollar el contraste no se requiere calcular ningún dato ya
que nos lo proporciona el enunciado:
X
µx = 7.510
Sx2 = 0.088
nx = 15
Y
µy = 7.270
Sy2 = 0.040
ny = 12
b) Requisitos
En lo referente a los requisitos, se debe comprobar previamente que las variables aleatorias se
ajustan a una distribución Normal, dado que se asume para este tipo de contrastes
que la distribución
q 2
σy2
σx
muestral de las diferencias de las medias es X̄ − Ȳ ≈ N µx − µy ; nx + ny . La normalidad se puede
analizar a partir de un contraste de normalidad como el de Kolmogorov-Smirnof. No obstante, en el
ejercicio ya se dice y por tanto no es necesario realizarlo.
El siguiente requisito a conocer en el caso de este tipo de contraste es si las varianzas son iguales o
diferentes, que definirá el tipo de contraste y estadı́stico experimental a utilizar. Para ello debe plantearse
y desarrollarse un contraste de igualdad de varianzas basado en el cociente de las varianzas. En este caso,
las hipótesis serán:
H0 : σx2 = σy2 → H0 : σx2 /σy2 = 1
→β
→ α = 0.05
H1 : σx2 6= σy2 → H1 : σx2 /σy2 6= 1
Desarrollando con el método simplificado del contraste, tenemos que:
1.1.4.
2
Smayor
2
Smenor
>
Fnnum −1,ndenom −1,α/2 ⇒ SE RECHAZA H0
0.088
= 2.200
0.040
<
3.3591 = F14,11,0.025 ⇒ NO SE RECHAZA H0
Estadı́stico de contraste
Como las varianzas son desconocidas e iguales el estadı́stico experimental a utilizar en este caso
será el de una t de Student que habrá que comparar con el correspondiente punto crı́tico. texpt y tteo se
definen en este caso como:
texpt
=
Pc
=
X̄ − Ȳ − (µx − µy )
q
Sd n1x + n1y
tteo = tnx +ny −2,α/2
En este caso, al ser las varianas iguales, la varianza desconocida se puede estimar como media
ponderada de las varianzas muestrales:
Sd =
s
(nx − 1)Sx2 + (ny − 1)Sy2
=
nx + ny − 2
r
14 · 0.088 + 11 · 0.040
= 0.259
25
1 Valor
obtenido a partir de R. En el caso de utilizar las tablas de F se debe escoger el valor para los gl del numerador
más próximo inferior a 14 al no estar definido éste en la tabla, empleando en ese caso F12,11,0.025 = 3.43.
Ejercicios resueltos
-2-
Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales independientes.
Varianzas desconocidas iguales
1.1.5.
Desarrollo del contraste
a) Región de aceptación
Dado que se trata de un test bilateral, la región de aceptación dentro de la cual debe estar la
diferencia de las medias de las muestras para no rechazar H0 queda definida por:
X̄ − Ȳ
∈
0.240
∈
0.240
∈
0.240
∈
s
!
1
1
1
1
+
, tn +n −2,α/2 Sd
+
−tnx +ny −2,α/2 Sd
nx
ny x y
nx
ny
!
r
r
1
1
1
1
−t25,0.025 · 0.259
+ , t25,0.025 · 0.259
+
15 12
15 12
√
√
−2.0595 · 0.259 0.150, 2.0595 · 0.259 0.150
s
(−0.207, −0.207) ⇒ SE RECHAZA H0
b) Estadı́stico experimental
Como el contraste es bilateral, el valor abosoluto del estadı́stico experimental |texpt | ha de ser
menor que el punto crı́tico tteo para no rechazar H0 . Para ello se obtienen dichos valores:
|texpt |
tteo
X̄ − Ȳ − (µx − µy ) 0.240
q
= = 0.259√0.150 = 2.393
1
1
Sd nx + ny
= tnx +ny −2,α/2 = t25,0.025 = 2.0595
Y comparando los dos valores:
|texpt | = 2.393
>
2.0595 = t25,0.025 ⇒ SE RECHAZA H0
c) P-valor
El p-valor aproximado obtenido a partir de las tablas de la t de Student se puede obtener como:
p − valor = 2 · P tnx +ny −2 > |texpt | ⇒ p − valor = 2 · P (t25 > 2.393)
> 0.01
0.025 > p−valor
2
0.05 > p − valor > 0.02
Dado que p − valor < α ⇒ SE RECHAZA H0
Ejercicios resueltos
-3-
Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales independientes.
Varianzas desconocidas iguales
1.1.6.
Representación gráfica del contraste
1.1.7.
Conclusión biológica
En base al contraste realizado, se puede concluir que existen diferencias significativas en la tasa de
ramoneo de las dos especies de erizo de mar, Paracentrotus lividus y Arbacia lixula.
1.2.
1.2.1.
Resolución del apartado c)
Planteamiento del contraste
En el segundo contraste, se debe comprobar si la tasa de ramoneo de Paracentrotus lividus es
mayor que la de Arbacia lixula. Al igual que en el apartado anterior se ha de utilizar un contraste para
los parámetros de dos poblaciones normales independientes de varianzas desconocidas iguales.
1.2.2.
Planteamiento de la hipótesis
Sea X la variable aleatoria tasa de ramoneo de Paracentrotus lividus e Y la variable aleatoria tasa
de ramoneo de Arbacia lixula, y según el enunciado propuesto en el apartado c), se podrı́a plantear un
contraste unilateral con las siguientes hipótesis:
H0 : La media poblacional de X es menor o igual que la de Y
→β
H1 : La media poblacional de X es mayor que la de Y
→ α = 0.05
H0 : µ x ≤ µ y → H0 : µ x − µ y ≤ 0
→β
H1 : µ x > µ y → H1 : µ x − µ y > 0
→ α = 0.05
1.2.3.
Estadı́stico de contraste
Al igual que en el contraste anterior, como las varianzas son desconocidas e iguales el estadı́stico experimental a utilizar en este caso será el de una t de Student que habrá que comparar con el
correspondiente punto crı́tico. texpt y tteo se definen en este caso como:
Ejercicios resueltos
texpt
=
Pc
=
X̄ − Ȳ − (µx − µy )
q
Sd n1x + n1y
tteo = tnx +ny −2,α
-4-
Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales independientes.
Varianzas desconocidas iguales
1.2.4.
Desarrollo del contraste
a) Región de aceptación
Dado que se trata de un test unilateral, la región de aceptación dentro de la cual debe estar la
diferencia de las medias de las muestras para no rechazar H0 queda definida por:
X̄ − Ȳ
∈
0.240
∈
0.240
∈
0.240
∈
s
!
1
1
+
−∞, tnx +ny −2,α Sd
nx
ny
!
r
1
1
−∞, t25,0.05 · 0.259
+
15 12
√
−∞, 1.7081 · 0.259 0.150
(−∞, 0.171) ⇒ SE RECHAZA H0
b) Estadı́stico experimental
Como el contraste es unilateral a la derecha, el valor del estadı́stico experimental texpt ha de ser
menor que el punto crı́tico tteo en valor positivo (cola de la derecha) para no rechazar H0 . Para ello se
obtienen dichos valores:
texpt
=
tteo
=
X̄ − Ȳ − (µx − µy )
0.240
√
q
= 2.393
=
1
1
0.259 0.150
Sd nx + ny
tnx +ny −2,α = t25,0.05 = 1.7081
Y comparando los dos valores:
texpt = 2.393
>
1.7081 = t25,0.05 ⇒ SE RECHAZA H0
c) P-valor
El p-valor aproximado obtenido a partir de las tablas de la t de Student se puede obtener como:
p − valor = P tnx +ny −2 > texpt ⇒ p − valor = P (t25 > 2.393)
0.025 > p − valor > 0.01
Dado que p − valor < α ⇒ SE RECHAZA H0
Ejercicios resueltos
-5-
Tema 6. Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales independientes.
Varianzas desconocidas iguales
1.2.5.
Representación gráfica del contraste
1.2.6.
Conclusión biológica
En base al contraste realizado, se puede concluir que la tasa de ramoneo de Paracentrotus lividus
es significativamente mayor que la de Arbacia lixula.
Ejercicios resueltos
-6-