¿Cómo calcular el producto de dos permutaciones? ¿Cómo calcular

¿Cómo calcular el producto de dos permutaciones?
¿Cómo calcular el signo de una permutación?
Ejercicios
Objetivos. Aprender a multiplicar permutaciones y calcular su signo.
Requisitos. Permutaciones, composición de funciones, permutaciones cı́clicas.
Producto de dos permutaciones
1. Ejemplo: el producto de dos permutaciones. Consideremos dos permutaciones
del conjunto {1, . . . , 6}, es decir dos elementos de S6 :
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
ϕ=
,
ψ=
.
3 1 6 4 2 5
6 3 5 1 2 4
Esta notación significa que
ϕ(1) = 3,
ϕ(2) = 1,
ϕ(3) =
,
ϕ(4) =
,
|{z}
ϕ(5) =
|{z}
?
,
ϕ(6) =
|{z}
?
|{z}
?
?
y
ψ(1) = 6,
ψ(2) = 3,
ψ(3) =
,
ψ(4) =
|{z}
,
ψ(5) =
|{z}
?
,
ψ(6) =
|{z}
?
.
|{z}
?
?
El producto ϕψ se define como la composición ϕ ◦ ψ.
Esto significa que para todo j ∈ {1, . . . , n},
(ϕψ)(j) :=
.
|
{z
?
}
Para calcular (ϕψ)(j) con algún j ∈ {1, . . . , n} primero aplicamos al número j la permu, luego aplicamos al resultado la permutación
:
tación
|{z}
|{z}
?
?
(ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(6) = 5;
(ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(3) = 6;
(ϕψ)(3) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
;
(ϕψ)(4) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}
?
(ϕψ)(5) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
;
|{z}
?
;
(ϕψ)(6) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}
.
|{z}
?
?
Respuesta:
ϕψ =
1 2 3 4 5 6
5
.
¿Cómo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, página 1 de 4
2. El mismo ejemplo sin escribir cálculos intermedios. Seguimos trabajando con
las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
ϕ=
,
ψ=
.
3 1 6 4 2 5
6 3 5 1 2 4
Otra vez calculemos el mismo producto ϕψ, pero ahora sin escribir los cálculos intermedios.
Por ejemplo, para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar según el siguiente diagrama:
1
ϕ
2
ϕ
3
3
ϕ
1
4
ϕ
6
5
ϕ
4
6
1
ϕ
2
2
ψ
5
ψ
6
3
ψ
3
4
ψ
5
5
ψ
1
6
ψ
2
4
Procediendo de esta manera, otra vez calcule ϕψ:
1 2 3 4 5 6
ϕψ =
.
2
3. Producto de las mismas permutaciones, pero en otro orden. Seguimos trabajando con las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
ψ=
,
ϕ=
.
6 3 5 1 2 4
3 1 6 4 2 5
Calculemos el producto ψϕ. Por ejemplo,
(ψϕ)(6) = ψ(ϕ(6)) = ψ(5) = 2.
Calcule el producto ψϕ:
ψϕ =
1 2 3 4 5 6
2
.
4. Conclusión acerca de la conmutatividad de la multiplicación de permutaciones. Compare los productos ϕψ y ψϕ de los Ejercicios 2 y 3: ¿son iguales o no?.
¿Qué conclusión se puede hacer de este ejemplo acerca de la conmutatividad de la multiplicación en S6 ?.
# La multiplicación en S6 es conmutativa, es decir, siempre se cumple la igualdad
ϕψ = ψϕ.
# La multiplicación en S6 no es conmutativa, es decir, no siempre se cumple la igualdad
ϕψ = ψϕ.
# Este ejemplo no es suficiente para hacer la conclusión.
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Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos
5. Ejemplo. Use el siguiente ejemplo para comprender el procedimiento:

5
7

1 2 3 4 5 6 7 8
ϕ= ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ =
3 6 7 4 2 8 1 5
1
2
8
3
4
6
Los mismos ciclos se pueden dibujar de manera “lineal”:
ϕ=
1
3
7
2
6
8
5
4
De aquı́ proviene una notación más breve:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4).
6. Otro ejemplo.
ϕ=
1 2 3 4 5 6 7
6 2 7 1 5 4 3
.
Escriba la descomposición en ciclos disjuntos con flechitas:
ϕ=
1
2
3
Ahora en notación breve:
ϕ= c
,
,
c
c
,
c
.
7. Otro ejemplo.
ϕ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 2 7 3 1 4 5 8
.
Escriba la descomposición de ϕ en ciclos disjuntos.
¿Cómo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, página 3 de 4
Cálculo del signo de una permutación
A cada permutación ϕ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} le corresponde un número 1 o −1 llamado
el signo o la signatura de ϕ y denotado por sgn(ϕ). Se dice que ϕ es par si sgn(ϕ) = 1;
es impar si sgn(ϕ) = −1.
Hay varias maneras de definir y calcular sgn(ϕ). La definición escrita abajo nos permite
calcular sgn(ϕ) de manera la más eficiente (es decir, la más rápida). Luego vamos a analizar
esta definición con más detalles.
8. Definición del signo de una permutación. Sea ϕ una permutación que se descompone en p ciclos de longitudes r1 , r2 , . . . , rp . Entonces el signo de ϕ se define como
sgn(ϕ) := (−1)(r1 −1)+(r2 −1)+...+(rp −1) .
Consideremos la permutación del Ejemplo 5:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4)
Aquı́ tenemos 3 ciclos de longitudes 3, 4, 1 (es decir, p = 3, r1 = 3, r2 = 4, r3 = 1), ası́ que
sgn(ϕ) = (−1)(3−1)+(4−1)+(1−1) = (−1)2+3+0 = (−1)5 = −1.
En otras palabras, la permutación ϕ del Ejemplo 5 es impar.
9. Ejercicio. Calcule el signo de la permutación del Ejemplo 6 usando su descomposición
en ciclos disjuntos:
1 2 3 4 5 6 7
ϕ=
=
6 2 7 1 5 4 3
sgn(ϕ) =
10. Ejercicio. Calcule el signo de la permutación del Ejemplo 7:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ϕ=
=
6 9 2 7 3 1 4 5 8
sgn(ϕ) =
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