Más límites - x.edu.uy Matematica

Límites: breves conceptos prácticos, antes de empezar con el teórico.
Para poder hacer límites, tenemos que saber hacer divisiones……..
Primero sustituimos en el numerador y denominador y luego hacemos la división.
5 x − 10
5(3) − 10 5
5
= lim
=
=−
−3
3
x→ 3 x − 6
x→ 3 3 − 6
lim
5 x − 10
5(2) − 10 0
= lim
=
=0
−4
x→ 2 x − 6
x→ 2 2 − 6
lim
Veamos más divisiones.
12 dividido 3 es igual a 4.
Si
Entonces 12 dividido 4 es 3.
, entonces
Claro, a y b distintos de 0.
Vamos ahora a ir un poco más lejos…… hasta el infinito.
Si tenemos para repartir $12 entre 3.000.000 de uruguayos, ¿cuánto le toca a cada
uno? Si, la respuesta es nada, cero. Y no decimos “casi nada” porque no hay ninguna
monedita que valga $ 0,000004.
12 dividido un número muy grande da un número muy chico, casi casi casi cero.
12 dividido un número muy chico, casi casi cero da un número muy muy muy grande,
tan grande que es mayor que cualquier otro número que se nos ocurra. Vamos a
llamarle infinito.
Más ejemplos = otro intento de explicación.
f ( x) =
7
x −1
f (2) =
7
=7
2 −1
f (1,1) =
7
7
=
= 70
1,1 − 1 0,1
f (1, 01) =
7
7
=
= 700
1, 01 − 1 0, 01
f (1, 001) =
7
7
=
= 7000
1, 001 − 1 0, 001
7
= +∞
x →1+ x − 1
lim
Que el límite sea + infinito significa que cualquiera que sea el número grande que se
nos ocurra, siempre va a haber algún otro número cerquita de 1 de forma que el valor
de la función en ese número cerquita de 1 será mayor.
Por ejemplo, si pensamos en 500 como número grande, f(1,01) vale 700 y es mayor.
Si pensamos en 6000 como número grande, f(1,001) vale 7000 y es mayor.
Si pensamos en 1.000.000 como número grande, f(1,000001) vale 7.000.000.
Mas ejemplos:
2x +1
2(3) + 1 7
= lim
=
2
x→ 3 x − 1 x→ 3 3 − 1
1) lim
2x +1
2(2) + 1 5
= lim
= =5
1
x→ 2 x − 1 x→ 2 2 − 1
2) lim
2x +1
= ∞ porque 5 dividido un número muy muy chico es muy muy grande.
x→ 1 x −1
3) lim
4)
2x +1
= +∞
x
−
1
+
x→ 1
5)
2x +1
= −∞
x→ 1 x − 1
lim
lim−
Repasemos algunos conceptos. 5 dividido 0 no existe. No se puede dividir entre 0.
¿Porque?
12 dividido 3 es 4 porque 3 x 4 = 12.
Si 5 dividido 0 fuera un número n, tendría que pasar que n x 0 = 5, que es imposible.
Pero 5 dividido una función que tiende a 0 es muy distinto. Aquí estamos preguntando
qué tan grande se puede hacer el cociente de 5 entre un número muy muy muy chico.
Y la respuesta es muy muy muy grande, tan grande como se quiera. Por eso decimos
que es infinito.
Y luego viene el tema del signo.
1) Más dividido más es más.
2) Menos dividido más es menos.
3) Más dividido (no conozco el signo) es (no conozco el signo).
El infinito es un signo extraño. Hay 3 signos para el infinito.
+∞ es mayor que cualquier número real positivo que se nos pueda ocurrir.
−∞ es menor que cualquier número real negativo que se nos pueda ocurrir
∞ es mayor en valor absoluto que cualquier número real positivo que se nos ocurra.
∞
En otras palabras,
sin signo significa que no sabemos cuál es su signo. Esto es
diferente de lo que ocurre con los números reales, en los cuales tenemos sólo 2
símbolos para cada número. Por ejemplo, el 4 o el -4. No hay ningún símbolo para
decir “4” sin indicar su signo, porque si escribimos “4” se sobreentiende “+4”, positivo.
En general se procede de la siguiente forma para calcular límites
7
x2 − 2
lim
= +∞ porque 7 dividido “algo que tiende a cero +”, tiende a + infinito.
x →3+ 2 x − 6
0+
Más ejemplos:
lim
3x 2 − 8 x + 4
x → 2 − x3 + 10 x − 12
En este caso, al sustituir 2 en el numerador y denominador,
queda 0 dividido 0. No se puede saber de antemano cuando da este límite. Se dice
que es “indeterminado”. Hay que hacer algunas operaciones, transformaciones, factor
común, equivalentes ….. algo hay que hacer……..
Ya que ambos polinomios, el del numerador y el del denominador tienen raíz 2,
podemos factorizarlos a ambos, bajándolos por Ruffini, justamente por 2.
3
2
3
lim
-8
6
-2
3x 2 − 8 x + 4
x → 2 − x3 + 10 x − 12
4
-4
0
= lim
-1
2
-1
( x − 2).(3 x − 2)
x → 2 ( x − 2).(− x 2 − 2 x + 6)
Ahora podemos empezar a ver algo más……
=
0
-2
-2
10
-4
6
3(2) − 2
−(2)2 − 2(2) + 6
=
-12
12
0
4
= −2
−4 − 4 + 6
Prof. Saúl Tenenbaum