Unidad 2 Integral de Línea Teorema 1. 2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos) f : U ⊂ Rn → R de clase c1 y α : [a, b] → Rn una trayectoria de clase c1 . Entonces Z ∇f = f (α(b)) − f (α(a)) Sea α Consideremos la función g(t) : [a, b] → R dada por g(t) = (f ◦ α)(t) = f (α(t)) que es de clase c1 por se composición de funciones de clase c1 . Aplicando la regla de la cadena se obtiene Demostración. g 0 (t) = (f ◦ α)0 (t) = (f (α1 (t), α2 (t), ..., αn (t))0 = ∂f (α(t)) 0 ∂f (α(t)) 0 ∂f (α(t)) 0 α1 (t) + α2 (t) + ... + αn (t) = x1 x2 xn ∇f (α(t)) · α0 (t) por lo tanto Z b Z ∇f (α(t)) · α0 (t)dt = ∇f = α Ejemplo Halle a Z b g 0 (t)dt = g(b) − g(a) = f (α(b)) − f (α(a)) a Z F · dr donde F = (ex sen(y) − y)î + (ex cos(y) − x − 2)ĵ y C es el camino dado por i h c(t) = t3 sen[ π2 t]î − π2 cos[ π2 t + π2 ]ĵ para [0, 1]. El potencial es f (x, y) = ex sen(y) − xy − 2y C Solución Tenemos que c(0) = 03 (sen π2 (0))î − π2 cos( π2 (0) + π2 )ĵ = 0î + 0ĵ f (c(0)) = f (0, 0) = e0 sen(0) − 0 · 0 − 2 · 0 = 0 c(1) = 13 sen( π2 )î − π2 cos( π2 (1) + π2 )ĵ = 1î − π2 (−1)ĵ = 1î + π2 ĵ f (c(1)) = f (1, π2 ) = e1 sen( π2 ) − 1( π2 ) − 2( π2 ) = e1 − π2 − π = e − 32 π Z ∴ F ·dr = f (c(1)) − f (0)) = e − 32 π − 0 = e − 34 π C Corolario 1. entonces Si α : [a, b] → Rn es una trayectoria de clase C 1 y cerrada es decir α(b) = α(a) Z ∇f = f (α(b)) − f (α(a)) = 0 α Campos conservativos y función potencial Denición 1. Un campo vectorial continuo campo escalar f : U ⊂ Rn → R, C 1 tal que potencial asociada al campo vectorial F . Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV F : U ⊂ Rn → Rn se dice que es conservativo si existe en F (x) = ∇f (x) , ∀x ∈ U . La función f se llama función Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 2 Integral de Línea 2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos) Tenemos entonces que las integrales de linea de un campo conservativo son independientes de la trayectoria y, si se conoce la función potencial, son faciles de calcular Z ∇f = f (α(b)) − f (α(a)) α Vamos a ver una condición que nos permita determinar cuando un campo vectorial es conservativo Denición 2. Un conjunto U ⊂ Rn se dice que es convexo si para cada pareja de puntos segmento rectilineo que los une esta incluido en U. El segmento que une x con y es: α(t) = x + t(y − x) x, y ∈ U el t ∈ [0, 1] Ejemplos Son conjuntos convexos un circulo, un rectángulo, una esfera sólida, un paralelepipedo etc. No son convexos una corona circular, un toro, etc. (en general un conjunto con agujeros) Teorema 2. Consideremos un conjunto U ⊂ Rn y un campo vectorial de clase C 1 F : U ⊂ Rn → Rn , F = (F1 , F2 , ..., Fn ). Las condiciones siguientes son equivalentes. 1) F es conservativo, es decir, existe un campo escalar de clase C 2 f : U ⊂ Rn → R tal que F (x) = ∇f (x) ∀x ∈ U . 2) Se cumplen las igualdades ∂ ∂ Fi (x) = Fj (x), i = 1, ..., n ∀x ∈ U ∂xj ∂xi Demostración. 1⇒2 ∂f (x) Suponemos que existe f tal que F = ∇f por tanto Fi (x) = al ser f de clase c2 satisface el teorema ∂xi de Schwartz 2 2 ∂ f (x) ∂ f (x) = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi por lo tanto ∂(Fj (x)) ∂ = ∂xi ∂xi ∂(f( x)) ∂xj ∂ 2 f (x) ∂ ∂ 2 f (x) = = = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂(f( x)) ∂xi = ∂(Fi (x)) ∂xj 2⇒1 Supongamos que ∂ ∂ Fi (x) = Fj (x), i = 1, ..., n ∀x ∈ U ∂xj ∂xi entonces F es conservativo. Haremos la prueba para el caso particular F ⊂ R2 tenemos que F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) donde ∂M ∂N = y consideremos un punto p sin perdida de generalidad situado en el origen y consideremos la ∂y ∂x trayectoria λ : [0, 1] → R2 Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV dado por λ(t) = t(x, y) t ∈ [0, 1] Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 2 Integral de Línea 2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos) denimos la función Z F · dλ f (x, y) = λ por demostrar que ∇f = F tenemos que ∂ ∂f (x, y) = ∂x ∂x ∂ ∂x Z Z F · dλ λ ∂ = ∂x Z 0 1 Z 1 ∂ F (λ(t)) · λ (t) dt = ([M (tx, ty), N (tx, ty)] · (x, y)) dt ∂x 0 0 1 Z 1 ∂ (M (tx, ty) · x + N (tx, ty) · y)dt = ∂x 0 0 Z 1 Z 1 ∂ ∂ ∂ ∂ M (tx, ty) + x M (tx, ty) + y N (tx, ty) dt = M (tx, ty) + xt M (tx, ty) + yt N (tx, ty) dt = ∂x ∂x ∂x ∂x 0 0 Z 1 Z 1 ∂ ∂ ∂ ∂ t x M (tx, ty) + y M (tx, ty) +M (tx, ty)dt = M (tx, ty) + xt M (tx, ty) + yt M (tx, ty) dt = ∂x ∂y ∂x ∂y 0 0 Z 1 d 1 (t(M (tx, ty))) dt = t(M (tx, ty))|0 = M (x, y) dt 0 (M (tx, ty) · x + N (tx, ty) · y) dt = por lo tanto hemos probado que ∂f (x, y) = M (x, y) = F1 (x, y) ∂x de manera analoga se prueba que ∂f (x, y) = N (x, y) = F2 (x, y) ∂y de esta manera ∇f = (F1 (x, y), F2 (x, y)) = F Ejemplo Consideremos el campo F :→ R2 dado por F (x, y) = (x + y 2 , 2xy). Compruebe que el campo es conservativo y encuentre su función potencial. Salución Tenemos que ∂(x+y 2 ) = 2y ∂y ∂(2xy) = 2y ∂x ! ⇒ F es conservativo para la función potencial tomemos λ : [0, 1] → R2 dada por λ(t) = (tx, ty). Entonces Z 1 F (λ(t)) · λ (t)dt = f (x, y) = intλ F = Z 1 tx2 + t2 y 2 x + 2t2 xy 2 dt = 0 Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Z F (tx, ty) · (x, y)dt = 0 = 1 Z 0 0 Z 0 1 (tx + (ty)2 , 2t2 xy) · (x, y)dt 0 1 tx2 + 3t2 xy 2 dt = x2 t3 x2 1 + t3 xy 2 |0 = + xy 2 2 2 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3 Unidad 2 Integral de Línea 2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos) Rotacional de un campo vectorial Sea F = (F1 , F2 , F3 ) : U ⊂ R3 → R3 un campo vactorial. Consideramos un punto x ∈ U en el que suponemos que existen todas las derivadas parciales. Se dene el rotacional de F en el punto x, como el vector rotF (x) = y si llamamos D1 = ∂F3 ∂F2 ∂F3 ∂F1 ∂F2 ∂F1 − , − , − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y i = = ∂ ∂x f1 j ∂ ∂y f2 k ∂ ∂z F3 ∂ ∂ ∂ , D2 = , D3 = entonces ∂x ∂y ∂z rotF (x) = (D2 F3 − D3 F2 , D1 F3 − D3 F1 , D1 F2 − D2 F1 ) Corolario: Para el caso particular de un campo F (x, y, z) de clase C 1 denido en un conjunto U se tiene que F : U ⊂ R → R es conservativo ⇔ rotF = 0 3 3 Ejemplo Dado el campo vectorial F ⊂ R3 ∀x ∈ U : R3 → R3 dado por F (x, y, z) = (3y 2 z + yex , 6xyz + ex , 3xy 2 ) comprobar que es conservativo y hallar su función potencial Solución tenemos que 2 ) ∂F3 = ∂(3xy = 6xy ∂y ∂F∂y ∂(6xyz+e x ) 2 = = 6xy ∂z 2 ∂z ∂(3xy ) ∂F3 2 = = 3y ∂F∂x ∂(3y∂x 2+ex y ) 2 1 = 3y ∂z = ∂zx ∂F2 = ∂(6xyz+e ) = 6yz + ex ∂x ∂x ∂(3y 2 z+ex ) ∂F1 x = = 6yz + e ∂y ∂z F1 (x, y, z) = 3y 2 z + yex F2 (x, y, z) = 6xyz + ex ⇒ F3 (x, y, z) = 3xy 2 ⇒ ∂F3 ∂y ∂F ∂x3 ∂F2 ∂x = = = ∂F2 ∂z ∂F1 ∂z ∂F1 ∂y ⇒ F es conservativo para la función potencial tomemos λ : [0, 1] → R3 dada por λ(t) = (tx, ty, tz). Entonces Z f (x, y, z) = λ Z Z F = 1 F (λ(t)) · λ0 (t)dt = 0 tx F (tx, ty, tz) · (x, y, z)dt = 0 1 2 1 Z 2 Z 1 (3(ty) (tz)+e , 6(tx)(ty)(tz), 3(tx)(ty) )·(x, y, z)dt = 0 (3t3 y 2 z+tyetx )x+(6t3 xyz+etx )y+(3t3 xy 2 z)dt 0 Z 1 3t3 y 2 zx + txyetx + 6t3 xy 2 z + 3t3 xy 2 z + yetx dt = 0 = 12xy 2 z 1 Z 12t3 xy 2 z + txyetx + yetx dt 0 tx Z 1 tx tx x t4 1 e e etx 1 te 1 etx 1 e 1 |0 + xy t − dt + y |0 = 3xy 2 z + xy − |0 + y − 4 x x x x x x x x 0 x e 1 1 y = 3xy 2 z + xy − 2 ex + 2 + (ex − 1) = 3xy 2 z + yex x x x x Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 4