Campo gravitatorio terrestre

CAMPO GRAVITATORIO
TERRESTRE
1. Introducción
2. Campo gravitatorio
3. Magnitudes físicas que caracterizan el campo gravitatorio: Intensidad y Potencial
4. Aplicaciones de la Teoría de Gravitación Universal: Movimiento de satélites
Física 2º Bachillerato
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1. INTRODUCCIÓN
El concepto de espacio en física no es un espacio puramente geométrico, tiene
propiedades físicas: P, Tra, …
Concepto de campo: escalar y vectorial.

A, F
ó
A, h
Fuerzas de contacto que quedan determinadas a partir de una aceleración.
Fuerzas a distancia que quedan determinadas en función de la posición f(r) y para
describir este tipo de interacción se utiliza el concepto de campo.
Campo de fuerzas: región del espacio donde existe una relación entre cada punto
del espacio y una fuerza.
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2.CAMPO GRAVITATORIO
Campo gravitatorio: región del espacio donde, colocada una masa en un punto de
ese espacio, experimenta una fuerza gravitatoria.
Campo gravitatorio es una propiedad física comunicada al espacio por una masa M.
Toda fuerza central es conservativa.
El campo gravitatorio es conservativo
El campo gravitatorio es estacionario.
La interacción entre la Tierra y la Luna hace que el planeta
gire sobre si mismo cada vez más lentamente y que el
satélite se vaya alejando de la Tierra.
La luna se aleja de nosotros a razón de 4 cm por año y la
tierra tarda cada vez más en dar una vuelta sobre su eje.
De hecho hace 900 millones de años el día era de 18 horas.
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3. MAGNITUDES QUE CARACTERIZAN EL CAMPO GRAVITATORIO:
INTENSIDAD Y POTENCIAL DE CAMPO GRAVITATORIO
El campo gravitatorio queda determinado por dos magnitudes g, V que se representa
por medio de líneas de fuerza y superficies equipotenciales respectivamente.
INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO
Definición y unidades:

g

F
m
M T 
G 2 ur
r
Implica un campo vectorial y se representa por líneas de fuerza.
Coincide con la aceleración de la gravedad en dicho punto.
Es independiente de la masa del cuerpo
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Variación de la intensidad de campo gravitatorio con la distancia
En el exterior:
En el interior:

ge
M T 
G 2 ur
r

gi
r 
g 0 ur
R

gi
M 
G 2 ur
RT
5
Los campos de fuerzas se representan
mediante líneas de campo
En el campo gravitatorio, las líneas de
campo como es un campo atractivo se
dirigen hacia las fuentes del campo
m
M
Características de las líneas de campo
Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas
de campo se trata de un campo más intenso
Dirección: del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
El sentido: es el que llevaría una masa colocada en el espacio como consecuencia de
las fuerzas del campo.
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POTENCIAL GRAVITATORIO
Definición y unidades:
VA
Ep A
m
MT
G
rA
Todos los puntos que equidistan del centro del campo tendrán el mismo potencial y
forman una superficie equipotencial.
El potencial gravitatorio es escalar y tiene siempre valor negativo.
El potencial gravitatorio define un campo escalar.
Variación del potencial gravitatorio
En el exterior:
En el interior:
Vext
Vint
MT
G
r
G
MT
2
2
3
R
r
2 R3
V
G
MT
R
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Ej 1.: Dadas tres masas puntuales de 1 kg colocadas en
los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. calcula la
intensidad del campo gravitatorio y el potencial
gravitatorio en el cuarto vértice.
g = 1,3·10-10 N·kg-1; V = -1,80·10-10 J·kg-1
Ej 2.: Calcula el valor de la intensidad del campo
gravitatorio de la Luna en su superficie.
ML=7,34·1022 kg y RL=1,74·106 m
gL = 1,6 N·kg-1
Ej 3.: Calcula la intensidad del campo gravitatorio
terrestre a una altura de 100 km sobre la superficie y a
100 km de profundidad. g0=9,8 N·kg-1 y RT = 6,37·106 m
g = -9,5 N·kg-1; g = -9,6 N·kg-1
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4. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:
MOVIMIENTO DE SATÉLITES
PERIODO Y VELOCIDAD ORBITAL
ENERGÍA MECÁNICA DE UN SATÉLITE
VELOCIDAD DE ESCAPE
ENERGÍAS Y ORBITAS
CAMBIO DE ÓRBITA
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PERIODO Y VELOCIDAD ORBITAL
En el sistema formado por un planeta y un satélite, la única fuerza que mantiene a los
satélites en su órbita es la fuerza centrípeta
Fg
Fc
v02
m
r
Mm
G 2
r
GM
r
v0
FG
Como la velocidad orbital
v0
2 r
T
GM
r
v0 , es aproximadamente constante:
2 r
T
Y el periodo de revolución será;
T
2
FG
4 2 3
r 3ª Ley de Kepler
GM
T
2
r3
GM
Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta
conocido el período y el radio de uno se sus satélites
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FC
ENERGÍA MECÁNICA DE UN SATÉLITE
Energía potencial:
Energía cinética:
Ec
1 2
mv0
2
Ec
Mm
G
2r
Mm
G
r
Ep
Energía mecánica:
Em
Ec Ep
Em
Mm
Mm
G
G
r
2r
Em
Mm
G
2r
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Ej 4.: Un satélite de 1000 kg se mueve alrededor de la
Tierra en una órbita circular a un altura de 300 km.
Calcula:
a) La velocidad orbital; b) el periodo de revolución; c) Su
energía potencial y d) su energía orbital.
MT=5,98·1024 kg y RT=6,37·106 m
v=7,7·103 m·s-1; T=1,5 h; Ep=-6,0·1010 J; Em=-3·1010 J
Ej 5.: Un satélite se dice geoestacionario cuando tiene el
mismo periodo de revolución que la Tierra . El satelite se
encontrará en el mismo punto sobre la Tierra. ¿A qué
altura se hallará? MT=5,98·1024 kg y RT=6,37·106 m
h = 3,59·107 m
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VELOCIDAD DE ESCAPE
Velocidad de lanzamiento para que el cohete alcance una altura h
Ec0
Ep0
vL
2GM
Ech
Eph
1
R
1
1 2
mvL
2
Mm
G
R
0
Mm
G
R h
R h
Para que un objeto escape de la gravedad terrestre hay que
aportarle una energía cinética para que llegue hasta el infinito
con velocidad cero.
Ec0
Ep0
Ec
Ep
ve
1 2
mve
2
2GM
R
G
Mm
R2
0 0
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La velocidad de escape explica por qué unos planetas tienen atmósfera y otros no.
Según la teoría cinética de los gases las moléculas de los gases se mueven a una
velocidad:
v2
3k BT
m
v
2, 4940 T
M
Así las moléculas de hidrógeno se mueven a una velocidad media de 1845 m/s y las de
oxígeno a 461 m/s.
El astrónomo J. Jeans calculó que si la velocidad de escape fuera 4 veces la velocidad
molecular media los gases desaparecerían de la atmósfera en 50000 años pero si fuera 5
veces mayor la pérdida de gases sería despreciable.
Ej 6.: Determina la velocidad de escape en la Luna y de la
Tierra y justifica según esto por que hay atmósfera en la
Tierra y no en la Luna.
MT=5,98·1024 kg y RT=6,37·106 m;
ML=7,34·1022 kg y RL=1,74·106 m
veT = 11190 m·s-1; veL= 2372 m·s-1;
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Un agujero negro es una región finita del espacio en cuyo interior existe una
concentración de masa lo suficientemente elevada para generar un campo gravitatorio tal
que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de ella.
La gravedad de un agujero negro, o «curvatura del espacio-tiempo», provoca una
singularidad envuelta por una superficie cerrada, llamada horizonte de sucesos.
Esto nos permite plantear el siguiente problema:
Ej 7.: Supongamos que el Sol en su evolución estelar y
después de pasar por gigante roja se contrae hasta una
enana marrón o incluso un agujero negro. Si suponemos
constante la masa del Sol ¿cuál debería ser su radio para
convertirse en un agujero negro? ¿Y cuál la intensidad
del campo gravitatorio?
Datos: MS = 2·1030 kg; RS = 6,96·105 km
El truco consiste en considerar que la velocidad de
escape es la velocidad de la luz.
R = 2,96 km
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ENERGÍAS Y ORBITAS
Dado que dentro de un campo de fuerzas
gravitatorio la energía potencial de un
cuerpo siempre es negativa, y su energía
cinética siempre positiva, la EM de ambas
podrá ser negativa, nula o positiva.
Sol
Atendiendo al signo de dicha energía, la
trayectoria descrita por el cuerpo, será una
circunferencia, una elipse, una parábola o
una hipérbola
1
Ep Em 0
2
Si la Em 0
1 GMm
2 r
1 GMm
Em 0
2 r
Em 0 Ec Ep
Si la Em 0
Em 0
Si la Em
1
Ep
2
Si la
Em
Ec
Ep
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
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TIPOS ESPECIALES DE ÓRBITAS
GEO: Las Órbitas geoestacionarias, tienen un
periodo de revolución idéntico al de la Tierra y
permanecen el el mismo punto sobre la superficie de
la Tierra. Corresponden a alturas elevadas, alrededor
de 36000 km, y no pueden obtener imágenes de alta
resolución de laTierra. Siguen órbitas ecuatoriales,
es decir, se sitúan sobre el ecuador y se usan
fundamentalmente para aplicaciones meteorológicas
y de comunicaciones.
MEO: Los satélites de órbita terrestre media se encuentran a una altura de entre 10075 y
20150 kilómetros. A diferencia de los GEO, su posición relativa respecto a la superficie no
es fija. Al estar a una altitud menor, se necesita un número mayor de satélites para obtener
cobertura mundial. En la actualidad no existen muchos satélites MEO, y se utilizan para
posicionamiento
LEO: Las órbitas terrestres de baja altura. Por debajo de los 5035 kilómetros, y la mayoría
de ellos se encuentran mucho más abajo, entre los 600 y los 1600 kilómetros. A tan baja
altura, la latencia adquiere valores casi despreciables de unas pocas centésimas de
segundo.
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CAMBIO DE ÓRBITA
Se trata de comunicar la energía necesaria para cambiar de órbita, y habrá que realizar un
trabajo equivalente a la diferencia entre la energía mecánica de ambas órbitas..
W
W
Ec2
Ep2
GMm
2r2
Ec1 Ep1
GMm
2r1
W
Em2
Em1
W
GMm 1
2
r1
1
r2
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Ej 8.: Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita
circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7,5 km/s.
Calcula la energía que habría que suministrar al satélite para
que describa una órbita circular con radio doble que el de la
órbita anterior. Datos: MT=5,98·1024 kg y RT=6,37·106 m;
E = 1,406·109 J
Ej 9.: Un meteorito de 10 km de radio y 5 g·cm-3 de densidad
procede del espacio profundo, cae hacia la Tierra y se estrella
contra la superficie terrestre. Si el meteorito parte del reposo,
calcula:
- La energía disipada en el choque.
- La velocidad en ese momento.
- Si una bomba atómica de 1 megatón disipa una energía de
4·1015 J ¿A cuántas bombas equivale el impacto? Datos:
G=6,67·10-11 N·m2·kg-2; MT=5,98·1024 kg y RT=6,37·106 m;
1,31·1020 J; 1,119·103 m·s-1; 3,27·104 19
5. OTRAS CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN
LAS MAREAS
EL CONCEPTO DE GRAVEDAD SEGÚN EINSTEIN
IDEAS SOBRE EL ORIGEN Y EXPANSIÓN DEL UNIVERSO
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LAS MAREAS
La marea es el cambio periódico del nivel del mar, producido principalmente por las fuerzas
gravitacionales que ejercen la Luna y el Sol.
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EL CONCEPTO DE GRAVEDAD SEGÚN EINSTEIN
La gravedad, en física, es una de las cuatro interacciones fundamentales.
Albert Einstein demostró que: «Dicha fuerza es una ilusión, un efecto de la geometría del
espacio-tiempo. La Tierra deforma el espacio-tiempo de nuestro entorno, de manera que
el propio espacio nos empuja hacia el suelo».
La gravedad posee características atractivas, mientras que la denominada energía oscura
tendría características de fuerza gravitacional repulsiva, causando la acelerada expansión
del Universo.
Según la teoría de la relatividad general no hay forma de distinguir físicamente entre un
campo gravitatorio o un cuerpo acelerado.
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IDEAS SOBRE EL ORIGEN Y EXPANSIÓN DEL UNIVERSO
La teoría del Big-Bang tuvo su comienzo con las observaciones realizadas por Edwin
Hubble, que demostró un Universo en expansión midiendo el corrimiento al rojo de
galaxias distantes (efecto Doppler), posteriormente Penzias y Wilson descubrieron un
tanto accidentalmente la radiación cósmica de fondo de microondas que solo tenía
justificación a partir de esta gran explosión.
La teoría del Big Bang o gran explosión, supone que, hace entre 15.000 millones de
años, toda la materia del Universo estaba concentrada en una zona extraordinariamente
pequeña del espacio, y explotó. Esta gran explosión fue la que dio origen a la materia tal
como la conocemos, protones, electrones y neutrones.
Inmediatamente después de la gran explosión, la interacción fuerte pudo ligar protones y
neutrones formando núcleos. Al enfriarse el universo, debido a la expansión, apareció la
interacción electromagnética responsable de la estructura de la materia, átomos y
moléculas. Dos horas después de la gran explosión el universo estaba formado por
hidrógeno y helio Finalmente apareció la interacción gravitatoria responsable de la
estructura del universo tal como lo conocemos, estrellas, galaxias etc.
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