descomposición en fracciones simples

Método de integración de funciones racionales
b
Queremos calcular
P (x )
∫ D(x ) dx
con f : f ( x ) =
a
P(x )
continua en [a, b].
D (x )
Siendo P y D funciones polinómicas
Al igual que con los otros métodos, no solo aprenderemos una técnica para realizar el
cálculo, sino que además podremos encontrar primitivas de estas funciones en los
intervalos en los que D no tiene raíces.
x2 + 2
.
x +1
x3 − 1
(x − 3)2
Podrá imaginar el lector que la cantidad de funciones raciones es impresionante, sin
embargo veremos que sin que importe cuál es, tendrá primitiva elemental.
Ejemplo:
f (x ) =
f (x ) =
x
x
f (x ) =
Observación:
Algunos casos particulares de este tipo de funciones pueden resolverse a través de un
cambio de variable u (x ) = D( x ) , nos referimos al caso en que P ( x ) = D ' ( x ) .
Si queremos calcular la primitiva de: f : f ( x ) =
D ' (x )
D ' (x )
la misma es inmediata ya que
D( x )
∫ D(x ) dx = ln D(x ) + k
Ejemplo:
2x − 5
∫ x 2 − 5x dx = ln x
2
− 5x + k
2x − 5
dx = ln x 2 − 5 x
2
− 5x
∫x
1
2
2
1
o si queremos calcular:
⎛3⎞
= ln (6) - ln (4) = ln⎜ ⎟
⎝2⎠
Salvo estos casos el resto necesita un estudio particular.
Distinguiremos 2 casos:
1er caso:
grado del numerador ≥ grado del denominador
En este caso realizamos la división de P(x) entre D(x) y obtenemos un cociente Q(x) y
un resto R(x), entonces por definición de división:
P ( x ) = Q( x )D( x ) + R( x )
Dividimos entre ambos miembros entre D(x) (que no tiene raíces… f es continua)
P ( x ) Q( x )D( x ) + R ( x )
=
D( x )
D( x )
Integramos ambos miembros
b
∫
a
P(x )
Q ( x )D ( x ) + R ( x )
dx = ∫
dx
(
)
D(x )
D
x
a
b
De donde:
P(x )
∫ D(x ) dx = ∫
a
a
b
b
⎡
R(x ) ⎤
⎢Q ( x ) + D ( x )⎥dx
⎦
⎣
Al final de cuentas, el único caso que vale la pena estudiar con mayor dedicación es el
próximo ya que al dividir obtuvimos un polinomio y una racional en esas condiciones.
Ejemplo
5
Para calcular
∫
2
x2 + x + 3
dx primero realizamos la división entera numerador y
x −1
denominador:
x2 + x + 3
x −1
− x2 + x
2x + 3
− 2x + 2
x+2
5
Luego
5
∫
2
x2 + x + 3
dx =
x −1
5
∫
2
5
5 ⎞
x2
⎛
+ 2 x + 5ln x − 1 =
⎟d x =
⎜x + 2+
x − 1⎠
2
⎝
2
25
33
=
+ 10 + 5ln (4 ) − 2 − 4 =
+ 5ln (4 )
2
2
2do caso:
grado del numerador < grado del denominador
Método de descomposición en fracciones simples
Nos ocuparemos en esta sección a descomponer una expresión racional en suma de
expresiones racionales “más simples”. Dada la diversidad de casos, optaremos por
realizar el análisis según la descomposición factorial de D ( x ) o sea del denominador
Distinguiremos cuatro situaciones dentro de está opción
a) Sea D(x)= an x n + an −1 x n +1 + Λ + a0 . Consideremos el caso de que D(x)
tenga todas sus raíces reales y distintas: α1 , α 2 , ..., α n
Por el teorema de descomposición factorial:
P(x )
P(x )
=
D( x ) a n ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n )
Es razonable que existan A, B, C,...N, reales tales que:
A
B
N
P(x )
P(x )
=
=
+
+Λ +
D( x ) a n ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) x − α
(x − α n )
x − α2
1
(
) (
)
Entonces por último resolveremos:
b
∫
a
P(x )
dx =
D(x )
5
⎛
A
B
N
⎞
∫ ⎜⎜⎝ (x − α1 ) + (x − α 2 ) + Λ (x − α n ) ⎟⎟⎠dx
2
O sea, hemos descompuesto la integral de un cociente de dos funciones polinómicas,
que no sabíamos resolver, en la integral de una suma de fracciones simples que son de
inmediata resolución.
Todo se reduce a hallar los números A, B, … N
Veremos con un ejemplo como hallar los números A, B ...
Ejemplo:
0
9x + 3
∫ (x − 1)(x + 2) dx
−1
A
B
9x + 3
=
+
(x − 1)(x + 2) x − 1 x + 2
Veremos dos métodos para calcular A y B
i) Primer método para calcular A y B:
A
B
A( x + 2 ) + B( x − 1) ( A + B )x + 2 A − B
9x + 3
=
+
=
=
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 2) x − 1 x + 2
Igualando numeradores
9 x + 3 = ( A + B )x + 2 A − B
Utilizando identidad de polinomios obtenemos el sistema
⎧9 = A + B
⎨
⎩3 = 2 A − B
de donde
A=4 y B=5
por lo que
9x + 3
4
5
=
+
(x − 1)(x + 2) x − 1 x + 2
y entonces
0
0
9x + 3
5 ⎞
⎛ 4
∫ (x − 1)(x + 2) dx = ∫ ⎜⎝ x − 1 + x + 2 ⎟⎠dx =
−1
−1
= 4ln ( x − 1) + 5ln ( x + 2 ) −1 = 5ln (2 ) − 4ln (2 ) = ln(2 )
0
ii) Segundo método para calcular A y B:
Método conocido con el nombre de la “tapadita”1 Veamos un ejemplo del método
9x + 3
=
(x − 1)(x + 2)
9x + 3
=
(x − 1)(x + 2)
1
A
+
x −1
A
+
x −1
B
x+2
B
A( x + 2 ) + B ( x − 1)
=
(x − 1)(x + 2)
x+2
Este resultado fue demostrado por Ostrodradsky
9 x + 3 = A( x + 2 ) + B( x − 1)
si x = 1 ⇒ 9(1) + 3 = A(1 + 1) ⇒
9(1) + 3
=A
1+ 2
9x + 3
se “tapó” x-1, que es el denominador de
(x − 1)(x + 2)
9x + 3
la x
la fracción, cuyo numerador es A y se sustituyó en la fracción remanente:
(x + 2)
Obsérvese que para hallar A en
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
9(1) + 3
=A
1+ 2
Para hallar B es similar
9 x + 3 = A( x + 2 ) + B( x − 1)
si x = -2 ⇒ 9(−2) + 3 = B(−2 − 1)
Obteniendo
9(−2) + 3
=B
− 2 −1
Obsérvese que para hallar B en
9x + 3
se “tapó” x+2 y se sustituyó x por -2
(x − 1)(x + 2)
y entonces
9(−2) + 3
=B
− 2 −1
Conclusión del método de la tapadita:
9x + 3
A
B
=
+
(x − 1)(x + 2) x − 1 x + 2
Para hallar A o B: “tapamos” en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad, el denominador de la fracción de la derecha, cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raíz de dicho denominador.
Otro ejemplo:
2x 2 + x − 4
Si queremos calcular la primitiva de f : f ( x ) = 3
x − x 2 − 2x
Primero factorizamos x 3 − x 2 − 2 x que no es complicado de hacer puesto que tiene
raíces evidentes por lo tanto x 3 − x 2 − 2 x = x ( x + 1)( x − 2 ) . Procediendo como en el
caso anterior tenemos:
A
B
C
2x2 + x − 4
2x2 + x − 4
=
= +
+
3
2
x − x − 2 x x ( x + 1)( x − 2 ) x x + 1 x − 2
de donde podemos deducir
A = 2, B = −1 y C = 1 ,
por lo tanto
2x 2 + x − 4 2
1
1
= −
+
.
3
2
x − x − 2x x x + 1 x − 2
Entonces
2x2 + x − 4
⎛2
1 ⎞
1
∫ x 3 − x 2 − 2 x dx = ∫ ⎜⎝ x − x + 1 + x − 2 ⎟⎠ dx = 2ln x − ln x + 1 + ln x-2 + k
b) Sea D(x)= an x n + an −1 x n +1 + Λ + a0 . Consideremos el caso de que D(x)
tenga raíces reales múltiples: α1 ; m1 veces, α 2 ; m2 veces, ..., α j ; m j
veces
(
O sea que D(x)= an (x − α1 )m1 ( x − α 2 )m 2 Κ x − α j
)m
j
En este caso calculamos:
b
P (x )
∫ D(x ) dx
a
de la siguiente forma:
b
⎛
A
∫ ⎜⎜ (x − α )m
1
a ⎝
1
+
B
( x − α1 )
m1 −1
+Λ +
K
L
M
P
+Λ +
+
+Λ +
+Λ
1
−
m
m
( x − α1 )
(x − α 2 )
(x − α 2 ) 2 (x − α 2 ) 2
A, L,... etc. se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los que
tienen mayor grado en su denominador), para los demás hay dos formas.
⎞
⎟dx
⎟
⎠
Lo veremos con un
Ejemplo:
0
0
3 x 2 − 8 x + 13
3 x 2 − 8 x + 13
∫ x 3 + x 2 − 5 x + 3 dx = ∫ (x − 1)2 (x + 3)dx
−1
−1
Observemos que en este caso, el exponente de ( x − 1) es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raíz 1 es 2. Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( x − 1) desde 1 hasta 2, en el denominador. Es decir:
3x 2 − 8 x + 13
=
A
(x − 1) (x + 3) (x − 1)
2
2
+
B
C
+
x −1 x + 3
Se podría usar el primer método para hallar A, B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores).
Lo haremos de otra manera.
A y C se pueden hallar por el método de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador):
A=2 y C =4
sustituimos y queda
3x 2 − 8 x + 13
=
2
(x − 1)2 (x + 3) (x − 1)2
+
4
B
+
x −1 x + 3
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3, por ejemplo x = 0
de donde
13
4
= 2−B+
3
3
resultado
B = −1 .
Sustituyendo queda
3x 2 − 8 x + 13
=
2
(x − 1) (x + 3) (x − 1)
2
2
−
1
4
.
+
x −1 x + 3
El cálculo se simplifica pues
0
∫
−1 x
0
3x 2 − 8 x + 13
3
+ x 2 − 5x + 3
dx =
3x 2 − 8 x + 13
∫ (x − 1)2 (x + 3)
dx =
−1
⎛ 2
1
4 ⎞⎟
⎜
−
+
dx =
∫⎜
2
x − 1 x + 3 ⎟⎠
−1⎝ ( x − 1)
0
0
⎛ −2
⎞
⎛ 27 ⎞
− ln x-1 + 3ln x + 3 ⎟ = 2 + 3ln (3) − 1 + ln (2) − 3ln (2 ) = 1 + ln⎜ ⎟
⎜
⎝ x −1
⎠ −1
⎝ 4 ⎠
c) Sea D(x)= an x n + an −1 x n +1 + Λ + a0 . Consideremos el caso de que D(x)
tenga algunas o todas sus raíces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposición factorial.
Ejemplo:
Calculemos
6 x 2 − 3x + 1
∫ (4 x + 1)(x 2 + 1) dx .
Primero descomponemos
6 x 2 − 3x + 1
en fracciones simples.
(4 x + 1) x 2 + 1
(
)
6 x − 3x + 1
A
Bx + C
admite una descomposición de la forma:
+ 2
2
4x + 1 x + 1
(4 x + 1) x + 1
que efectuando los cálculos de rigor obtendremos que A = 2 , B = 1 y C = −1 .
(Sólo A se podría hacer por “tapadita”)
2
La expresión
(
)
De donde
6 x 2 − 3x + 1
(4 x + 1)(x
2
)
+1
=
2
x −1
,
+ 2
4x + 1 x + 1
y por lo tanto
6 x 2 − 3x + 1
1
x −1
∫ (4 x + 1)(x 2 + 1) dx = 2∫ 4 x + 1 dx + ∫ x 2 + 1 dx .
Como se puede apreciar, la primera de las integrales no representa ninguna dificultad,
de hecho, los factores lineales que tenga el denominador determinarán fracciones
simples cuya integral es fácil de obtener. Por esta razón solo nos dedicaremos a estudiar
x −1
la segunda de ellas, es decir con ∫ 2
dx
x +1
Operando podemos obtener que:
x −1
1
2x
dx
∫ x 2 + 1 dx = 2 ∫ x 2 + 1 dx − ∫ x 2 + 1 .
La primera de ellas puede ser resuelta a través de cambio de variable u ( x ) = x 2 ,
mientras que la segunda es inmediata. De allí que obtengamos,
x −1
1
∫ x 2 + 1 dx = 2 ln x
2
+ 1 − Arctan ( x ) + k
y en resumen,
6 x 2 − 3x + 1
1
1
∫ (4 x + 1)(x 2 + 1) dx = 2 ln 4 x + 1 + 2 ln x
Pero ¿cómo procederíamos para encontrar
2
+ 1 − Arctan ( x ) + k
∫
Mx + N
dx , en el caso que D ( x ) tenga
D (x )
raíces complejas?
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas características puede escribirse de
la forma A ( x + a )2 + b 2 y que sin perder generalidad podemos considerar A = 1 .
Mx + N
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma
.
(x + a )2 + b 2
)
(
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos de
estudiar.
Como
Mx + N
∫ (x + a )2 + b 2 dx =
M
2
2( x + a )
N − Ma
∫ (x + a )2 + b 2 dx + ∫ (x + a )2 + b 2 dx
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
u ( x ) = (x + a )2 + b 2
Obtendremos que
2
M
2
2( x + a )
∫ (x + a )2 + b2 dx =
(
)
M
ln ( x + a )2 + b 2 + k1
2
Note el lector que nuestra intención es utilizar un cambio de variable.
En la segunda:
N − Ma
∫ (x + a )2 + b 2 dx = (N − Ma )∫
(N − Ma )
b
∫
=
⎛ ⎛ x + a ⎞2
⎞
+ 1⎟
b⎜ ⎜
⎟
⎜⎝ b ⎠
⎟
⎝
⎠
N − Ma
2
2
⎛
⎞
2⎜⎛ x + a ⎞
+ 1⎟
b ⎜
⎟
⎜⎝ b ⎠
⎟
⎝
⎠
dx
Usando el cambio u ( x ) =
∫ (x + a )
dx
+b
2
dx =
x+a
, obtenemos que
b
(N − Ma ) Arctan⎛ x + a ⎞ + k
⎜
⎟
⎝ b ⎠
b
2
Obteniendo como resultado general
Mx + N
∫ (x + a )2 + b2 dx =
(N − Ma ) Arctan⎛ x + a ⎞ + k
M
ln ( x + a )2 + b 2 +
⎟
⎜
2
b
⎝ b ⎠
(
)
Para el caso en el que el denominador tiene raíces complejas múltiples, vea el anexo.
¿Ejercicios?
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consultar:
Teórico y práctico
Integración por descomposición en fracciones simples.
Integración de funciones racionales
Práctico
Integración por descomposición en fracciones simples
Integración de funciones racionales-Pág. 5
notas de cálculo integral ‐ capitulo 3 Acá tienes varios métodos de integración explicados a través de ejercicios, en particular integración por descomposición en fracciones parciales Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposición en fracciones simples, pero es muy
pesado de bajar.