CURSO 2007-2008 (1) TEMA 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS MECÁNICA DE FLUIDOS 5.4.5 Formulación por Alturas 5.4.4 Formulación por Caudales 5.4.3 Resolución 5.4.2 Condiciones de Contorno 5.4.1 Ecuaciones Fundamentales 5.4 Modelo Matemático de una instalación hidráulica 5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas 5.3.1 Funciones y Tipos 5.3 Válvulas 5.2.3 Problemas Básicos en tuberías 5.2.2 Secciones no circulares. Diámetro Hidráulico 5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach 5.2 Pérdidas de carga en tuberías 5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica 5.1.1 Definición y Modelado de una instalación hidráulica 5.1 Generalidades 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS INDICE TEMA 5 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (2) MECÁNICA DE FLUIDOS 5.1 GENERALIDADES CURSO 2007-2008 (3) CURSO 2007-2008 (4) Elemento: Dispositivo con una única entrada y salida de flujo. Nodo: Punto de unión de varias líneas o de una línea con el exterior. Linea: Conjunto de elementos de la instalación por los que circula un determinado caudal. Para obtener unas ecuaciones que representen su comportamiento una instalación hidráulica está compuesta por líneas conectadas en unos puntos denominados nudos o nodos. Modelado: (HB)01=60-20.q012 0m 0 q01 V1 30 m 1 a V2 3 q10 q02 q23 4 L24=50 (m) D24=0.3 (m) ε=0.3 (mm) q24 L12=20 (m) D12=0.4 (m) ε=0.3 (mm) 2 L2a=40(m) D2a=0.3 (m) ε=0.3 (mm) 30 m Una instalación hidráulica o de transporte de fluidos es un conjunto de elementos interconectados cuya misión es transportar un determinado fluido desde los puntos de almacenamiento y/o producción hasta los de consumo, en una cantidad y condiciones de servicio determinadas. Definición: 5.1 Generalidades-5.1.1 Definición y Modelado de instalaciones hidráulicas MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (5) hD (m) 0 (m) 0 a V b q01 c 1 C2 C1 e f q13 q12 2 d B1 3 Cambios de sección (Boquillas, ensanchamientos y estrechamientos). Curvas. Válvulas. ¾ Piezas especiales. ¾ Tuberías. (Los más representativos por importancia y número). Elementos: Los elementos más comunes que forman parte de una instalación: Elementos Activos. Transforman energía del fluido en mecánica o viceversa (Hm). Las máquinas hidráulicas (i.e.: bombas y turbinas) pertenecen a este tipo. Elementos Pasivos. El fluido que los atraviesa sufre únicamente una pérdida de energía mecánica (hL). 5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (6) j qij En el caso de una tubería hL=hL(q,µ,ρ,ε,L,D). hL =h L (q, µ, ρ, ε,Geometría ) Elementos Pasivos: En la relación entre pérdidas y caudal hL=hL(q) suele intervenir además del caudal también otros parámetros característicos del fluido (µ y ρ), la geometría y el material (rugosidad ε) del elemento: i Elementos Activos: Se le suele denominar Curva Característica Hm=Hm(q) y suele depender del tipo de máquina y de algunos parámetros fundamentales de ésta tales como el diámetro y la velocidad de giro del impulsor en el caso de las turbomáquinas hidráulicas. Todo elemento de una instalación posee una ecuación que liga Hm (activos) o hL (pasivos) con el caudal q (velocidad media) del flujo que los atraviesa. 5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (7) Tubería: Válvulas: i i qij j qij D, L y ε j K = K (θ) K = K (Re , L D, ε D ) La relación hL=hL(q,µ,ρ,ε,Geometría) es similar a la relación entre K y unos parámetros adimensionales Π1, Π2,...,Πk obtenidos a partir de los dimensionales dependientes (q,µ,ρ,ε,Geometría) Siendo hk una altura de energía cinética característica del elemento (entrada o salida). En el caso que existan dos velocidades medias es posible definir dos K según la que se considere. Ambos están relacionados (vi·Ai= vj·Aj =q). hL K= hK En lugar de la relación hL=hL(q,µ,ρ,ε,Geometría) se hallará una relación entre parámetros adimensionales que representa el mismo fenómeno. Para ello se definirá Coeficiente Adimensional de Pérdidas. 5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (III) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (8) Numéricamente. Mecánica de Fluidos Computacional (CFD). ¾ Experimentación. Analíticamente. Escasos casos en régimen laminar. ¾ Análisis Diferencial: Normalmente se combinan análisis numéricos con resultados experimentales. Respuesta: Es necesario resolver el flujo en el elemento (v y p): Pregunta: ¿cómo se determina la relación entre el coeficiente adimensional de pérdidas o la ecuación característica de un elemento y el resto de parámetros. R v2 K 2 hL = K ⋅ hK = K ⋅ = ⋅ q 2g 2g ⋅ A 2 1 424 3 Conocido K para un determinado caudal las pérdidas de carga se pueden obtener como: 5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (IV) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (9) 5.2 PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (10) B j = H j + (hk ) j = H j + α j ⋅ Bi = H i + (hk )i 2g v 2j v i2 = Hi + αi ⋅ 2g Bi − (hf )ij = B j Ecuación de Bernoulli Tubería de sección circular de diámetro D, radio R y longitud L. H i − H j = (hf )ij vi=vj=q/A (Continuidad) αi=αj (Flujo Completamente desarrollado) Hipótesis: En las tuberías se considerará que el flujo está completamente desarrollado. Normalmente en las instalaciones las tuberías son de gran longitud (LD<<<L). El coeficiente de pérdidas en una tubería (conducto de sección constante). Son los elementos más numerosos e importantes de una instalación. 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (11) L 4 (hf )ij = ⋅ ⋅ tW Dγ L ⋅ Pw L 4 Hi − H j = ⋅ tW ⇒ H i − H j = ⋅ ⋅ tW γ⋅A D γ Para relacionar las pérdidas de carga con el caudal (velocidad media) es necesario obtener una relación entre éste último y tw pi p j L ⋅ Pw (hi − h j ) + − = ⋅ tW γ γ⋅A γ Por la simetría la tensión cortante en la pared es igual en todo el perímetro mojado Pw=π·D Pw γ ⋅ A ⋅ (hi − h j ) − L ⋅ ∫ tW ⋅ dPW + (pi − p j ) ⋅ A = 0 βi=βj (Flujo Completamente desarrollado) vi=vj=q/A (Continuidad) Pw = γ ⋅ L ⋅ A ⋅ senϕ − L ⋅ ∫ tW ⋅ dP + (pi − p j ) ⋅ A ρ ⋅ q ⋅ (β j ⋅ v j − β i ⋅ v i ) = Ecuación de Cant. de Movimiento (X) 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (12) (hf )ij Relación de Darcy-Weisbach. Se puede demostrar que f=f(Re,e/D). r =R =− ∂H f (Re ) = 64 Re Expresión de Hagen-Pouseuille. Regimen Laminar (Re<2300) 4µ 8µ q ⋅ = − ⋅v 2 R π⋅R D γ r 2 r 2 q 2 ⋅ ⋅ R 2 ⋅ 1− ⇒ u (r ) = ⋅ 1− u (r ) = − 2 4 µ ∂x π ⋅R R R R ∂H H i − H j γ ⋅π ∂H 8µ 4 q = ∫ u (r )⋅ 2 π ⋅ dr = − ⋅ ⋅R ⇒ − = = ⋅q 4 ∂x L 8 µ ∂x γ ⋅ π ⋅R 0 128 ⋅ L ⋅ ν = ⋅q 4 g ⋅π⋅D du dr (hf )ij tW = µ ⋅ u (R ) = 0 1 d du ∂H γ⋅ = µ ⋅ ⋅ r ⋅ ∂x r dr dr Regimen Laminar (Re<2300): La relación entre q y tw ó f(Re,ε/D) mediante la resolución de la ecuación diferencial del flujo: 8 ⋅ tW f = ρ ⋅v2 L 4 L v2 = ⋅ ⋅ tW = f ⋅ ⋅ D γ D 2g Se va a introducir un parámetro adimensional f, conocido como factor de fricción de Darcy definido como: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (III) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (13) RÉGIMEN LAMINAR Tuberías Lisas Zona Hidráulicamente Semirugosa Zona Hidráulicamente Rugosa Zona Hidráulicamente Lisa RÉGIMEN TURBULENTO Regimen Turbulento (Re>4000): La relación entre el caudal q (v) y tw o f=f(Re,ε/D) se va a obtener a partir de resultados experimentales (Nikuradse 1933 y Moody 1944) presentados en el Ábaco de Moody. 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (IV) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (14) 2 2 f = 0.0056 + 0.5 ⋅ Re −0.32 Zona Hidráulicamente Lisas (Drew, Koo y Mc Adams). ε D f = 0.25 log 3 .7 Zona Hidráulicamente Rugosas (Von-Karman). ε D 5.74 f = 0.25 log + 0 .9 3.7 Re Zona Hidráulicamente Semirugosas (PSAK): Abaco de Moody: Existen expresiones analíticas alternativas al ábaco de Moody, Las que habitualmente se utilizarán son: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (V) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (15) (hf )ij L Pw = ⋅ ⋅ tW γ A Las pérdidas de carga quedaría como: pi p j L ⋅ Pw (hi − h j ) + − = ⋅ tW γ γ⋅A γ Tubería de sección NO circular de área A y perímetro Pw. Introduciendo un valor promedio de la tensión cortante en la pared: (hf )ij L 4 = ⋅ ⋅ tW DH γ 4⋅ A DH = Pw Esta expresión semejante a la obtenida para una tubería circular. Diámetro Hidráulico (DH) de una tubería de sección no circular: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (16) 8 ⋅ tW f = ρ ⋅v2 f (ReH ) = C ReH Regimen Turbulento (Re>4000): Para tuberías de sección no circular, el ábaco de Moody es válido simplemente tomando en lugar del diámetro DH C es un coeficiente (no tiene porque ser constante) diferente para cada tipo de sección y que puede obtenerse integrando las ecuaciones diferenciales. (i.e.: sección anular C=C(Ri/Re)). Regimen Laminar (Re<2300): El factor de fricción de Darcy para tuberías de sección circular no sigue la relación f=64/ReH, Siendo ReH =v.DH/ν. En general en régimen laminar la relación del factor de fricción de Darcy es de la forma: RESPUESTA: PREGUNTA: ¿Son los resultados obtenidos para tuberías de sección circular útiles para las no circulares, sustituyendo el diámetro por el diámetro hidráulico? Si el factor de Darcy se define como: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (17) (hf )ij K ij Rij Régimen Laminar (Re<2300): f=C/ReH (i.e.: sección Circular C=64). Régimen Turbulento (Re>4000): f=f(ReH,ε/DH). Ábaco de Moody. Rij L v2 f ⋅L 2 ⋅ ⋅ q ⋅ = f ⋅ = ij 2 2 D g H ij 2g ⋅ DH ⋅ A ij 1424 3 1442444 3 K ij L v2 8⋅f ⋅L = f ⋅ ⋅ = 2 5 ⋅ ⋅ q ij2 D ij 2g π ⋅ D ⋅ g ij 1 424 3 1442443 El factor de fricción de Darcy viene dado por: Sección No Circular (hf )ij Sección Circular Resumen: Las pérdidas de carga hf que sufre un caudal q de fluido circulando por una tubería, de longitud L, diámetro D y rugosidad ε se expresan como: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (III) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (18) Calcular el número de Reynolds (Re)ij. i Lij (C) Dij (C) qij (C) (hf)ij=Hi-Hj (?) j III. Calcular la pérdida de carga con la expresión de Darcy (hf)ij=Rij.q2ij. II. Calcular el factor de fricción f=f(Re,ε/D)ij. I. (1) Conocido el caudal qij y el diámetro Dij, calcular la pérdida de carga (hf)ij Hi −Hj = (hf )ij = Rij ⋅ qij2 En una instalación compuesta por una única tubería de una determinada longitud L y de un material de rugosidad ε es posible establecer 3 Problemas: 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (19) Se comienza con f(0)ij=fVK(ε/D)ij y con este valor calculamos R(0)ij II. Lij (C) Dij (C) qij (?) (hf)ij=Hi-Hj (C) j Repetir los pasos III y IV hasta que se satisfaga un criterio de convergencia. V. i Calcular f(1)ij=fPSAK(Re(0),ε/D)ij. IV. III. Calcular q(0)ij=[(hf)ij / R(0)ij]1/2 y después Re(0)ij De la ecuación de Darcy qij=[(hf) / R]ij1/2. Como Rij depende de (Re)ij hay que resolver iterativamente. I. (2) Conocidos el diámetro Dij y la pérdida de carga (hf)ij, calcular el caudal qij que circula por la tubería: (hf )ij =Rij ⋅ qij2 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (20) Lij (C) Dij (?) Repetir los pasos II y III hasta que se satisfaga un criterio de convergencia. IV. (hf)ij=Hi-Hj (C) j Calcular D(1)ij=[(8·f(0)·L·q2 )/(hf·p2·g)]ij0.2. III. qij (C) Se comienza con D(0)ij y con este valor se calcula Re(0)ij y f(0)ij=fPSAK(Re(0),e/D(0))ij. II. i Despejando de la ecuación de Darcy el diámetro Dij=[(8·f·L·q2 )/(hf·π2·g)]0.2ij. Esta ecuación hay que resolverla iterativamente ya que f depende del diámetro. I. (3) Conocidos la pérdida de carga (hf)ij y el caudal qij, calcular el diámetro de la tubería Dij. (hf )ij =Rij ⋅ qij2 5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (III) MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS 5.3 VÁLVULAS CURSO 2007-2008 (21) CURSO 2007-2008 (22) 100 (m) 0 D01=0.2 (m) L01=1000 (m) A 1 V2 a D12=0.2 (m) L12=500 (m) 2 Proteger a la instalación de sobrepresiones y/o subpresiones. 55 (m) Regular caudales y presiones. 3 B RED POLÍGONO Da3=0.1 (m) La3=500 (m) Q2 Aislar tramos de la instalación. Misión: controlar el funcionamiento de la instalación 40 (m) Las válvulas son elementos que juegan un papel importante en el funcionamiento de la instalación. 5.3 Válvulas-5.3.1 Funciones y tipos (I) MECÁNICA DE FLUIDOS Válvula de mariposa Válvula de bola o esfera Diferentes Válvulas de asiento 5.3 5.3.1 Funciones y tipos (II) 5.5 VálvulasVálvulas/5.5.1 MECÁNICA DE FLUIDOS Válvula de compuerta CURSO 2007-2008 (23) CURSO 2007-2008 (24) ⇒ (hL )V KQ K (θ) 2 2 ( ) q K q ⋅ = θ ⋅ = Q 2 24 g2 A3 ⋅4 1 completamente abierta (θ=100%). A medida que se cierra (θ disminuye) va aumentando hasta hacerse infinito cuando la válvula se halla completamente cerrada (θ=0%). KQ(θ) igual que K(θ), tiene un valor mínimo (KQ)0 cuando la válvula se halla Para evitar trabajar con KQ(θ) y K(θ) , que toman valores tan elevados cuando la válvula se halla casi cerrada, se introduce otro coeficiente (dimensional) denominado Coeficiente de Flujo KV(θ): q q2 ⇒ (hL )V = KV (θ) = [KV]=Caudal/(Presión)1/2 2 γ ⋅ KV (θ) γ ⋅ (hL )V al caudal. KQ(θ) (dimensional [KQ]=Altura/Caudal2) se denomina Coeficiente de Pérdidas referido (hL )V K (θ) = (hK )V Como cualquier otro elemento una válvula posee un coeficiente adimensional de pérdidas K. Para un tipo concreto de válvula K es función del grado de apertura (θ) 5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (25) Relacionado con K como: Cd (θ) = 1 + K (θ) 1 Se suele trabajar con otro coeficiente adimensional denominado Coeficiente de descarga Cd(θ) que se define como: v Cd (θ) = 2g ⋅ (hL )V + v 2 El coeficiente KV(θ) presenta su valor máximo, KV0, cuando se halla completamente abierta (θ=100 %) y vale cero cuando se halla completamente cerrada (θ=0 %). En algunas válvulas, destinadas a control, su fabricante proporciona KV(θ) mediante una gráfica semejante a la siguiente: 5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (26) 5.4 MODELO MATEMÁTICO DE UNA INSTALACIÓN MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (27) Bi − B j = (hL )ij − (H m )ij Ecuación de Bernoulli en cada línea (NL). i a Ejemplo: RED V d c j + (hf )bc + (hf )dj T (hL )ij = (hV )ia (H m )ij = (HB )ab − (HT )cd b qij RED j ∑ qij + Qi = 0 Ecuación de Continuidad en cada nodo (ND). H i − H j = (hL )ij − (H m )ij Qi qki qij i qim m Ejemplo: q ij + q im − q ki − Qi = 0 k RED j Nota: En las instalaciones hidráulicas suele despreciarse los términos de energía cinética del Bernoulli. Ecuaciones Fundamentales: Las ecuaciones que rigen el comportamiento en Régimen Estacionario de una red hidráulica son: 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.1 Ecuaciones Fundamentales MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (28) hA (m) Q0 A 0 Q4 POBLACIÓN a V 4 b q01 q41 q24 1 q15 q12 q13 d q25 B B1 3 5 Q5 hB (m) 2 Q2 RED 2 Q3 (NNC=ND-NC) Qi conocido y Hi desconocida. Nudo interior (1 ó 2) o nudo extremo de consumo (población u otra red 4). (NC) Hi Conocida y Qi desconocido. Depósitos (0 y 3) o descargas del fluido en un punto donde se conoce la presión (3). Condiciones de Contorno: Asociadas a cada nodo de la red existen dos magnitudes hidráulicas Hi (altura piezométrica) y Qi (caudal externo). Una de ellas debe ser fijada: 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.2 Condiciones de Contorno MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (29) NNC Alturas piezométricas Hi (∀ i∈Nodos de Altura Desconocida). NC Caudales externos Qi (∀ i∈Nodos de Altura Conocida). Formulación en caudales. incógnitas básicas=Caudales en la líneas (qij). Formulación en alturas. incógnitas básicas=Alturas piezométricas desconocidas (Hi). Existen dos planteamientos: Estas incógnitas no se hallan simultáneamente. A partir de las ecuaciones fundamentales es posible obtener un número de ecuaciones que relacionan un número incógnitas básicas y a partir de su resolución obtener el resto de incógnitas de las magnitudes hidráulicas desconocidas. NL Caudales qij de cada una de las líneas de la instalación (∀ ij∈Líneas) Modelo Matemático: Conjunto de ecuaciones que representan el comportamiento de la red. Las ecuaciones fundamentales (Bernoulli y Continuidad) y las características hidráulicas de cada línea (hL)ij=(hL)ij(qij) y (Hm)ij=(Hm)ij(qij) presentan un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las magnitudes hidráulicas desconocidas de la instalación: 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.3 Resolución MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (30) L ij m ij ] j ∑ qij + Qi = 0 NNC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida. ij H i − ∑ λ ij ⋅ (hL )ij − (H m )ij = H j [ Nc-1 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura piezométrica conocida. ij ij ∑ λ ⋅ [(h ) − (H ) ] = 0 NM Ecs. Bernoulli en las mallas de la red Ecuaciones formulación en caudales: 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación por Caudales (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (31) hA (m) Q0 A 0 Q4 POBLACIÓN a V 4 b q01 q41 q24 1 q15 q12 q13 d q25 B B1 3 5 Q5 hB (m) 2 Q2 RED 2 Q3 q 24 + q 25 − q12 − Q2 = 0 − q 24 + q 41 + Q4 = 0 − q01 + q13 + q15 + q12 − q 41 = 0 3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida (1, 2 y 4) (hf )4−1 + (hf )2−4 + (hf )1−2 = 0 − (hf )1−2 − (hf )2−5 − (hf )1−5 = 0 2 Ecs. Bernoulli en las mallas de la red (1-4-2-1) y (1-2-5-1) H 5 + (hf )1−5 − (hf )1−3 − (hL )B1 = H 3 + hk 3 H 0 + H B − (hL )V − (hf )b −1 − (hf )1−5 = H 5 2 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura conocida (0, 5 y 3) Formulación en caudales: Incógnitas (q01,q13,q15,q41,q12,q24 y q25) 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación en Caudales (II) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (32) j j ∑ qij + Qi = 0 ⇒ ∑ Fij (H i , H j ) + Qi = 0 Sustituyendo en NNC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida. H i − H j − (hL )ij + (H m )ij = 0 ⇒ q ij = Fij (H i , H j ) Despejando los caudales de NL Ecs. Bernoulli en las líneas de la red. Ecuaciones formulación en alturas: 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas (I) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (33) hA (m) Q0 A 0 Q4 POBLACIÓN a V 4 b q01 q41 q24 1 q15 q12 B1 3 Q3 3 Ecs. Continuidad en nodos de altura desconocida q 25 = F25 (H 2 ) q 24 = F24 (H 2 , H 4 ) q12 = F12 (H1, H 2 ) q 41 = F41 (H1, H 4 ) q15 = F15 (H1 ) q13 = F13 (H1 ) q01 = F01 (H1 ) 7 Ecs. Bernoulli en líneas F24 (H 2 , H 4 ) + F25 (H 2 ) − F12 (H1, H 2 ) − Q2 = 0 − F24 (H 2 , H 4 ) + F41 (H1, H 4 ) + Q4 = 0 − F01 (H1 ) + F13 (H1 ) + F15 (H1 ) + F12 (H1, H 2 ) − F41 (H1, H 4 ) = 0 q13 d q25 B 5 Q5 hB (m) 2 Q2 RED 2 Formulación en alturas: Incógnitas (H1, H2 y H4) 5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas(II) MECÁNICA DE FLUIDOS