TÉCNICAS EXPERIMENTALES EN FÍSICA I DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA FACULTAD DE CIENCIAS. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ERRORES DE LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES 1. INTRODUCCION El objetivo de la mayoría de los experimentos científicos es el estudio cuantitativo de ciertas propiedades de la materia. Es estudio se realiza midiendo una serie de magnitudes físicas con los correspondientes aparatos de medida y tratando los datos para una posterior interpretación de los resultados. Los datos experimentales siempre contienen errores; así pues, el resultado de toda medida deberá ir siempre acompañado de un cierto valor, denominado error absoluto que indica las posibles desviaciones entre el resultado dado y el valor exacto (imposible de alcanzar en la práctica). Por supuesto, cuanto más pequeño sea el error en relación al orden de la magnitud que estamos midiendo, con más precisión estará determinada la magnitud. Esta precisión, queda reflejada por el error relativo que es igual al cociente entre el error absoluto y el resultado de la magnitud medida. 2. TIPOS DE MEDIDAS Antes de empezar a calcular el error, debe uno preguntarse si una magnitud es directa o indirecta. Las definiciones son las siguientes: - MEDIDA DIRECTA: Su valor ha sido obtenido mediante el correspondiente aparato de medida. - MEDIDA INDIRECTA; Su valor se ha calculado mediante un fórmula, a partir de otras magnitudes. 3. TIPOS DE ERRORES Existen tres tipos de errores, que son las siguientes: a) Error de Escala: Debido a que un aparato no es capaz de proporcionarnos una magnitud con todas sus cifras decimales, en cualquier medida que hagamos habrá un error de escala que será el mínimo valor que podamos apreciar con ese aparato. 1 b) Error Accidental: Las condiciones que nos rodean al hacer una medida pueden fluctuar, así al hacer una segunda medida de algo, puede suceder que no nos salga exactamente lo mismo. Es conveniente, por tanto repetir una medida varias veces, y quedarnos con el valor más aproximado al real, que será la media de todas ellas. Este valor medio tendrá un error que se denomina error accidental que depende del número de medidas realizadas N en la forma: Por lo tanto al aumentar N, el error accidental se puede hacer tan pequeño como se quiera. E acc 1 N ( N 1) Por lo tanto al aumentar N, el error accidental se puede hacer tan pequeño como se quiera c) Error Sistemático: Es debido a un mal funcionamiento del aparato, al hecho de utilizar fórmulas aproximadas, etc. En este laboratorio se considerará que todas estas causas, no están presentes y que por tanto el error sistemático es nulo. Una vez calculados independientemente cada tipo de error se sumarán todos ellos dando lugar al error total o absoluto que deberá ir acompañando en el resultado final al valor de la magnitud, con un ± delante y ambos escritos en la forma adecuada. Eabs = Eesc + Eacc NORMAS DE ESCRITURA El error absoluto se expresa siempre con una sola cifra significativa, excepto si esta cifra es el número 1 en cuyo caso se mantiene la segunda. Si la primera cifra suprimida es igual o mayor que 5 se incrementa la última cifra conservada en una unidad. El valor de la magnitud se escribe con el número de cifras tal que, la última cifra significativa de ésta sea del mismo orden decimal que la última cifra significativa del error absoluto. Ejemplos. 3546.5 ± 23.7 0.0789 ± 0.0175 0.473 ± 0.035 34084 ± 1320 3550 + 20 0.079 + 0.018 0.47 ± 0.04 34100 ± 1300 2 4. FORMULAS PARA EL CÁLCULO DE ERRORES A) MEDIDA DIRECTA A.1) Error de escala: Vendrá dado por el valor más pequeño que podamos apreciar con un determinado aparato de medida. A.2) Error accidental: Este error se puede tratar como una magnitud regulada por las leyes de la probabilidad y utilizar un modelo matemático para su cálculo. De acuerdo con esto las fórmulas que se deducen para el error accidental son: E acc ( x) t p ( f ) s ( x) s ( x) x x 2 i N ( N 1) donde N es el número de medidas realizado, x es el valor medio obtenido y s (x) es la desviación típica de x que refleja lo que se han desviado los valores obtenidos de la media. t1-(f) se denomina 'función de distribución de Student' y depende de dos parámetros y f denominados respectivamente 'probabilidad fiducial' y 'número de grados de libertad'. A p = l- se le denomina 'nivel de significación'. La probabilidad fiducial debe ser dada por el experimentador en función del grado de certeza deseado para la estimación del resultado final. Generalmente se toma = 0.95 (o bien p = 0.05). Por su parte el número de grados de libertad se obtiene a partir de: f = N - 1. El valor de la 't' de Student para los valores de p y f en cuestión viene tabulado (TABLA 1). B) MEDIDA INDIRECTA decir: Sea una magnitud genérica y que depende de varias magnitudes x1, x2, x3,…, es y = f (x1, x2, x3, …) Su valor medio se calculará sustituyendo en la fórmula los valores medios de las correspondientes magnitudes de las que depende esto es: y f ( x 1 , x 2 , x 3 , ) 3 Sus errores se calcularán a partir de las siguientes fórmulas: B.l) Error de escala: y y y Eesc ( x1 ) Eesc ( x 2 ) Eesc ( x 3 ) ... x1 x2 x3 Eesc ( y ) B.2) Error accidental: E acc ( y ) 1.96 s ( y ) donde s ( y ) es la desviación típica de y y se calcula a partir de las desviaciones típicas de las variables x1, x2, x3,… 2 2 2 y 2 y 2 y 2 s ( x 3 ) ... s ( x1 ) s ( x 2 ) s ( y ) x x x 1 2 3 2 5. INTERPOLACION DE VALORES EN TABLAS Tablas de simple entrada Supongamos que una magnitud V se encuentra tabulada en función de los valores de la variable x de la cual depende. Si tenemos la necesidad de conocer el valor de V para un cierto valor de x que no aparece en la tabla hemos de realizar lo que se denomina una interpolación entre los dos valores de la tabla más próximos a x. Sean estos x1 y x2 a los que les corresponde en la tabla los valores V1 y V2 respectivamente. Si la relación entre V y x es lineal el valor de V buscado se obtendrá a partir de la proporcionalidad: (V V1 ) (V2 V1 ) ( x x1 ) ( x2 x1 ) y por lo tanto: V V1 (V2 V1 ) ( x x1 ) ( x2 x1 ) Eesc (V ) V2 V1 Eesc ( x) x2 x1 4 6. GRAFICAS Cuando una práctica conlleve hacer una gráfica esta se realizará de acuerdo con las siguientes normas: - Se harán en papel milimetrado. - Deben llevar título. - En los extremos de los ejes se anotará el símbolo de la magnitud representada y entre paréntesis sus unidades. - La variable dependiente se representará en el eje de ordenadas y la independiente en el eje de abscisas. - La escala del papel se tomará de acuerdo a una buena visualizacion de los puntos experimentales. - Sobre los ejes sólo se indicarán los valores correspondientes a divisiones enteras y no los de los valores experimentales. - A cada punto experimental se le añadirá una cruz, representando en el aspa horizontal el error absoluto en dicho punto correspondiente al valor de la abscisa y el aspa vertical el error correspondiente al valor de la ordenada. - No se representará ninguna otra línea en la gráfica excepto; que se trate de un calibrado, en cuyo caso se unirán los puntos mediante segmentos; o en el caso de llevar a cabo un 'ajuste por mínimos cuadrados' sobre los puntos. 7. AJUSTE POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS Supongamos que entre dos variables x e y existe una dependencia lineal, es decir, matemáticamente están relacionadas por una expresi6n del tipo: y = a + b·x Al representar gráficamente y frente a x obtendríamos una línea recta. La pendiente de dicha recta sería b y la ordenada en el origen a. Supongamos que existe ese tipo de relaci6n entre dos magnitudes medidas en el laboratorio pero desconocemos los valores concretos que tienen a y b. Una forma de hallarlos es realizar un ajuste por mínimos cuadrados. Este método consiste en buscar la recta que más se aproxime a los N puntos experimentales en la gráfica haciendo mínima la distancia entre dichos puntos y la recta buscada. Esto se consigue haciendo mínimo el sumatorio: 2 ( yi Yi ) 5 donde Yi son los valores correspondientes a la recta, esto es, obtenidos a partir de su ecuación: Yi = a + b·xi Después de una serie de operaciones matemáticas finalmente se obtiene que los valores de a y b satisfacen las fórmulas: a b ( y ) ( x ) ( x ) ( x y ) N ( x ) x i 2 i i i i 2 2 i i N ( xi yi ) ( xi ) ( yi ) N ( xi2 ) xi 2 ERRORES DE LOS PARAMETROS a y b La realización de este cálculo conlleva a la existencia de un error en a y un error en b calculados a partir de las fórmulas: Eacc(a) = tp(f) s(a) Eacc(b)= tp (f) s(b) donde, en este caso, f = N - 2 y s(a) y s(b) se obtienen: s 2 ( x ) ( y Y ) (a) ( N 2)N ( x ) x 2 i 2 i i 2 2 i i y Y (b) ( N 2)N ( x ) x 2 s 2 i i 2 i 2 i Siempre que sea posible debe conseguirse que la relación entre dos magnitudes representadas sea una línea recta. Para ello hay que elegir adecuadamente las variables que se van a representar en cada uno de los ejes de coordenadas. Para comprobar que realmente existe una relación lineal entre las variables se calcula el coeficiente de correlación (r) que da cuenta de como se aproximan los puntos experimentales a la recta obtenida. Se calcula mediante la expresión: 6 r ( x y ) 1 N ( x ) ( y ) ( x ) 1 N x ( y ) 1 N y i i i 2 2 i i 2 i i 2 i r es un número que varía entre los valores de -1 y + 1. Si r = +1 ó r = -1 significa que los puntos se ajustan perfectamente a una recta. Si r = 0, la relación entre las magnitudes representadas no es de tipo lineal. Los puntos no se ajustan a ninguna recta, en este caso puede ocurrir que no exista ninguna función que relacione las magnitudes, o que sea cualquier otro tipo de relación diferente a la lineal como una exponencial, potencial, logarítmica, etc... En estos casos hay que procurar, si se puede, mediante un cambio de variable o cualquier artificio matemático conseguir transfonnar la expresión en una ecuación lineal. Estudiaremos el siguiente ejemplo: Variación de una resistencia en función de la temperatura La resistencia que un conductor metálico presenta al paso de la corriente eléctrica varía con la temperatura en la forma: R = Ro (1 + ·T) donde Ro es la resistencia a 0°C, es el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura, característico de cada tipo de material y T la temperatura. Para calcular R0 y a se miden con un óhmetro la resistencia del material a distintas temperaturas. Los datos obtenidos se reflejan en la tabla siguiente: T(ºC) 30 40 60 75 95 R() 2.245 2.330 2.482 2.597 2.765 Eliminando el paréntesis en la ecuación anterior se ve más fácilmente que existe una relación lineal entre R y T. Comparándola con la ecuación general de una recta: R = R0 + R0..T y = a + b.x Utilizando la temperatura T (variable independiente) como abcisa y la resistencia R (variable dependiente) como ordenada podemos obtener los parámetros a y 7 b mediante un ajuste por mínimos cuadrados, según la expresiones dadas en el apartado anterior y a partir de ellas calcular las constantes R0 y buscadas. Identificando el resto de los términos de la ecuación: Si T= x y R=y R0 = a R0. = b, despejando = b/R0 = b/a Experimentalmente, para nuestros datos se obtiene: a = 2.0086 b= 7.92.10-3 r = 0.99979 es decir: R0 = 2.0086 = b/a = 3.9410-3 °C-1 8 TABLA 1 Valores del parámetro t de Student en función de la probabilidad y del grado de libertad. tp (f) f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 80 120 ∞ p 0,50 1,0000 0,8165 0,7649 0,7407 0,7267 0,7176 0,7111 0,7064 0,7027 0,6998 0,6974 0,6955 0,6938 0,6924 0,6912 0,6901 0,6892 0,6884 0,6876 0,6870 0,6864 0,6858 0,6853 0,6848 0,6844 0,6840 0,6837 0,6834 0,6830 0,6828 0,6807 0,6776 0,6765 0, 6745 0,25 0,10 2,4142 1,6036 1,4226 1,3444 1,3009 1,2733 1,2543 1,2403 1,2297 1,2213 1,2145 1,2089 1,2041 1,2001 1,1967 1,1937 1,1910 1,1887 1,1866 1,1848 1,1831 1,1816 1,1802 1,1789 1,1777 1,1766 1,1757 1,1748 1,1739 1,1731 1,1673 1,1616 1,1559 1,1503 6,3137 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 1,6839 1,6641 1,6576 1,6449 0,05 12,7062 4,3027 3,1824 2,7765 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1315 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 2,0211 1,9901 1,9799 1,9600 9 0,03 25,452 6,2053 4,1765 3,4954 3,1634 2,9697 2,8412 2,7515 2,6850 2,6338 2,5931 2,5600 2,5326 2,5096 2,4899 2,4729 2,4581 2,4450 2,4334 2,4231 2,4138 2,4055 2,3979 2,3910 2,3846 2,3766 2,3734 2,3685 2,3638 2,3596 2,3289 2,2991 2,2699 2,2414 0,01 0,005 63,6559 9,9250 5,8408 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7970 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,7500 2,7045 2,6387 2,6174 2,5758 127,3213 14,0890 7,4533 5,5976 4,7733 4,3168 4,0293 3,8325 3,6897 3,5814 3,4966 3,4284 3,3725 3,3257 3,2860 3,2520 3,2224 3,1966 3,1737 3,1534 3,1352 3,1188 3,1040 3,0905 3,0782 3,0669 3,0565 3,0469 3,0380 3,0298 2,9712 2,8870 2,8599 2,8070 10