medidas y errores

MEDIDAS Y ERRORES
1.-Introducción.
La Física y la mayoría de las ciencias persiguen la descripción cualitativa y cuantitativa
de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Para conseguir este objetivo un aspecto básico es
la medida de las magnitudes que intervienen en el fenómeno.
Cuando se mide una cierta cantidad de una magnitud, el resultado es un número. Si
repetimos varias veces la medida (en las mismas condiciones) los resultados serán en general
diferentes. Esto indica que toda medida tendrá una cierta imprecisión, debida a multitud de
factores, instrumentos, agentes físicos como la temperatura, presión atmosférica, etc.
Nuestro trabajo en el laboratorio será establecer los límites dentro de los que se
encuentra el valor real de la magnitud medida. Este es el objetivo del Cálculo de errores, indicar
el valor más probable de la medida con el margen de error que estamos cometiendo. Por tanto,
toda medida deberá ir acompañada de su error de forma que sepamos su calidad y su exactitud.
Aquellas magnitudes físicas que se puedan medir con algún dispositivo se llaman
magnitudes directas. Las que se deban calcular con ecuaciones matemáticas serán indirectas
Es conveniente advertir que el fin de un experimentador no es solo procurar que sus
errores sean mínimos, sino que sean lo suficientemente pequeños para que no afecten a los
cálculos o resultados y a las conclusiones que se puedan inferir de las medidas experimentales.
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que
vamos a definir: exactitud, precisión y sensibilidad.
- Un aparato será exacto si las medidas que se realizan con él son todas muy próximas al
valor cierto de la magnitud medida.
- Un aparato será preciso si la diferencia entre diferentes medidas de la misma magnitud
es muy pequeña.
La exactitud implica normalmente precisión, pero la inversa no es cierta, ya que pueden
existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a errores sistemáticos.
- La sensibilidad de un aparato es la división más pequeña de su escala o la última cifra
de su pantalla. Este valor se asocia con el llamado Error Instrumental del aparato.
Si medimos una magnitud física cuyo valor exacto es x0, obteniendo el número x,
definimos el Error Absoluto de la medida,
∆x = | x - x0 |
Y el Error Relativo como
εr = ∆x / x0
Que multiplicado por 100, quedará expresado en %.
Ahora bien, como es imposible conocer el valor cierto de la magnitud, lo único que
podemos hacer es tomar siempre varias medidas repetitivas, lo que permite reducir posibilidades
de errores accidentales y, más importante, permitirá tomar como valor exacto (x0) de la medida,
la Media Aritmética de las mismas
x0 = ∑ xi / N
siendo xi cada medida tomada
N el número total de medidas.
2.- Medidas Directas.
En las medidas directas para conocer el número de repeticiones que debemos realizar
tendremos en cuenta lo siguiente:
En general se realizarán tres medidas (x1, x2, x3). A partir de éstas se calcula la media
(xm).
También se calcula la dispersión (D) que es la diferencia entre los valores extremos de
las medidas realizadas:
D = Max [x1, x2, x3] - Min [x1, x2, x3]
(1)
100 D
Y el tanto por ciento de la dispersión:
TD =
(2)
xm
Si TD < 2 %, se tomará como valor cierto de la medida x0, la media y como error
absoluto ∆x, la sensibilidad del aparato de medida usado.
Si 2 % < TD < 8 %, se realizaran otras 3 medidas más, tomando como valor x0, la
nueva media de esas medidas, y como error absoluto:
∆x = Mayor de {D/4, error instrumental}.
3.- Expresión de las medidas. Redondeo.
Para expresar el error, dado el significado de cota que tiene, debemos poner como mucho
2 cifras significativas, entendiendo por significativas aquellas cifras distintas de cero (sin
importar que estén antes o después de la coma decimal).
Se admite por convenio, que el error se expresará con dos cifras si la primera
significativa es "1" o "2". En todos los demás casos solo se dará una cifra significativa.
Para despreciar el resto de cifras del error deberemos redondear según el valor de la
siguiente cifra que vamos a despreciar (si es mayor de "5" se añade una unidad a la anterior). Por
ejemplo 83 y 246 se redondean a 80 y 250.
El valor de la magnitud medida está acotada por su error, por tanto debe tener sólo las
cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última
del error. Para despreciar las restantes cifras se procederá a redondear también su valor.
Por tanto toda medida se debe dar con su número correcto de cifras ± su cota de error,
seguido de las unidades correspondientes de la magnitud de la medida.
4.- Medidas Indirectas.
Las medidas indirectas son aquellas que se obtienen a través de ecuaciones que las
relacionan con medidas directas.
2
Supongamos que una magnitud física "y", depende de un conjunto de magnitudes
directas x1, x2, x3, …, xn, es decir:
y = f (x1, x2, x3, …, xn)
donde conocemos:
xi = x0i ± ∆xi
el valor cierto y0, viene dado por:
y0 = f (x01, x02, x03, …, x0n)
i = 1, …. N
n
y el error absoluto:
∆y=∑
i =1
∂f
∆ xi
∂ xi
(3)
El valor absoluto evita que los errores se puedan restar o salir negativos.
Ejemplos:
1) y = a x
2) y = x/z
∆y = a ∆x
∆y = (1/z) ∆x + (x/z2) ∆z
5.- Representación Gráfica.
En la práctica es útil representar gráficamente los resultados experimentales, debido a
que una gráfica permite destacar el conjunto del fenómeno en el intervalo en que se han hecho
las medidas, permite conocer otros valores de la variable dependiente sin necesidad de
determinación experimental y pone de manifiesto medidas afectadas de un error anormal.
Ahora bien, para que de la representación gráfica se obtenga la máxima información ha
de ajustarse a ciertas normas que vamos a dar a continuación:
1) La gráfica debe representarse en papel milimetrado o logarítmico. Y llevar un título
suficientemente explícito en la parte superior y, sobre los extremos de los ejes la indicación de la
magnitud representada en cada uno de ellos, así como sus unidades. También puede anotarse
una tabla de valores de las variables obtenidos en la experiencia.
2) Deben escogerse las escalas correspondientes a ambos ejes, de forma que comprendan
solamente los intervalos dentro de los cuales se van a representar las medidas realizadas. Por
tanto, puede ocurrir que las escalas no comiencen en cero o no sean iguales en los dos ejes.
3) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de
la escala. No deben escribirse sobre ellos los valores correspondientes a las medidas realizadas.
4) Los valores medidos se representan por un punto, correspondiente a sus dos
coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya base abarca desde (x0 - ∆x)
hasta (x0 + ∆x) y cuya altura va desde (y0 - ∆y) hasta (y0 + ∆y). Si alguno de los errores es
despreciable en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error se reduce a un simple
segmento vertical u horizontal, e incluso a un punto cuando ambos errores sean despreciables.
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5) Cuando la representación de un conjunto de N puntos experimentales (xi , yi) se ajuste
a una línea recta, se trazará la recta de regresión lineal con ajuste por el método de Mínimos
Cuadrados. Este método consiste en ajustar los valores por la ecuación teórica de una recta:
Y=aX+b
(4)
donde a y b son la pendiente de la recta y la ordenada en el origen, respectivamente;
parámetros que se determinan con la condición de que se ajuste la recta lo mejor posible a los
datos experimentales. De esta forma se obtienen las siguientes expresiones:
N ∑ xi y i - ∑ xi ∑ y i
a=
N ∑ xi2 - ( ∑ xi )2
b=
∑ xi2 ∑ yi - ∑ xi ∑ xi yi
(5)
N ∑ xi2 - ( ∑ xi )2
Y se define el factor de correlación, r, como:
r=
(N ∑ x
N ∑ y i xi − ∑ xi ∑ yi
2
i
− (∑ xi ) 2
) (N ∑ y
1/ 2
2
i
− (∑ yi ) 2
)
(6)
1/ 2
este parámetro nos proporciona información acerca de la validez del ajuste; cuanto más se
aproxime (en valor absoluto) a la unidad, tanto mejor se ajusta la recta al conjunto de puntos
experimentales.
Los errores cometidos en la determinación de estos parámetros son los siguientes:
 ∑ ( y i - a xi − b ) 2 

∆a = 
2
(
N
−
2
)
∑
(
x
)
xi


1

x2

∆b =  +
2
N
∑
(
x
x
)
i


1/ 2
1/ 2
 ∑ ( y i - a xi − b )2 

· 

(
N
−
2
)


(7)
1/ 2
Con ayuda del análisis de regresión ya no es necesario trazar la recta en la gráfica de
forma aproximada. Para eso se eligen dos valores de abscisas (eje x) dentro del intervalo de
valores experimentales, con ellos y con la expresión (4), usando los valores obtenidos de a y b,
se calculan sus correspondientes ordenadas (eje y). Con estos dos puntos ya podemos trazar la
recta que mejor ajusta al experimento.
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