Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. - UAM-I

Análisis gráfico. Parte II.
Cálculo de incertidumbres.
Angel Manzur Guzmán
Depto. de Fı́sica*
Escalas lineales
Recuérdese que la ecuación de la recta es
Recibido: 03 de noviembre de 2009
Aceptado: 23 de marzo de 2010.
y = mx + b
Abstract
Recently, in this Journal the great convenience of the
graphical analysis was emphasized when applied to
experimental data which visually are along a straight
line using linear or logarithmic scales [1]. Now the
objective is to present a way to calculate the uncertainties associated to the parameters characterizing the straight line.
(1)
donde x y y representan las cantidades graficadas,
pueden ser las cantidades medidas en el experimento
o calculadas a partir de ellas. El parámetro m es la
pendiente de la recta y b su ordenada al origen.
Por simplicidad en la determinación de la incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen, se supondrá que la incertidumbre ∆y es mayor que la incertidumbre ∆x con lo cual se puede ignorar esta última. Se adoptará el procedimiento siguiente. Habiendo trazado las incertidumbres de
los puntos experimentales, representadas por las barras de error, se traza un paralelogramo con sus lados largos paralelos a la lı́nea recta ajustada visualmente y con un ancho tal que los extremos de los intervalos de las incertidumbres queden dentro del paralelogramo. A veces sucede que la incertidumbre tiene un valor constante para todos los puntos experimentales y, además, los puntos están aproximadamente sobre la recta; en este caso, en la cercanı́a
de cada extremo del intervalo experimental se escoge un punto sobre la recta, se dibuja la incertidumbre y se traza el paralelogramo.
Resumen
Recientemente, en este espacio, se hizo ver la gran
utilidad del análisis gráfico cuando se aplica a datos experimentales que se ajustan visualmente a
una lı́nea recta usando escalas lineales o escalas logarı́tmicas [1]. Ahora el propósito es presentar una
manera de calcular la incertidumbre asociada a los
parámetros de la recta.
Introducción
Debido a que los datos provenientes de un experimento tienen incertidumbres asociadas, cualquier
cantidad que se obtenga a partir de ellos también
debe tener asociada una incertidumbre. Esto sucede con los parámetros que caracterizan a la curva
trazada a través de los datos experimentales. El caso más sencillo es cuando los puntos experimentales
se ajustan a una recta, cuyos parámetros son la pendiente y la ordenada al origen.
Las diagonales de este paralelogramo proporcionan
dos aproximaciones por arriba y por debajo de lo
que se considera la mejor recta. La dispersión en
los valores de sus pendientes da una estimación del
error que se puede tener en la pendiente de la mejor recta; análogamente, la dispersión de las ordenadas al origen de las diagonales proporciona una
estimación del error en la ordenada al origen de
la recta. De entre todas las posibles rectas que
pueden trazarse dentro del paralelogramo, las diagonales aportan los valores máximo y mı́nimo en
la pendiente y en la ordenada al origen. La figura 1 muestra este procedimiento. Llámense a estos
El propósito aquı́ es determinar la incertidumbre
en los parámetros de la recta, habiendo fijado un
criterio. Primero se presentará el caso cuando la
recta trazada visualmente ha sido obtenida usando escalas lineales, después los casos en que la recta se obtiene usando gráficas semilogarı́tmicas y
logarı́tmicas.
* CBI, UAM–I. Apartado Postal 55–534, México, D. F.
09340. e–mail: amg@xanum.uam.mx
49
50
ContactoS 76, 49–57 (2010)
valores como:
y para la ordenada
mmax , mmin , bmax , bmin
Estos valores y los de la mejor recta ajustada visualmente son tales que
mmin < m < mmax
y bmin < b < bmax
Un criterio plausible para asignar las incertidumbres a la pendiente y a la ordenada al origen, respectivamente, es
mmax − mmin
2
bmax − bmin
∆b =
2
∆m =
(2)
(3)
Estas incertidumbres pueden incorporarse en la
fórmula de la recta como
y = (m ± ∆m)x + (b ± ∆b)
o simplemente escribir la fórmula como y = mx + b
y por separado dar los valores de ∆m y ∆b.
Figura 1. La pendiente y ordenada al origen de las diagonales del paralelogramo se usan para determinar las incertidumbres ∆m y ∆b.
Otro criterio para asignar las incertidumbres a la
pendiente y a la ordenada al origen, como se sugiere
en las referencias [2] y [3], es tomar el valor mayor
de las diferencias entre la pendiente de la recta y la
pendiente de cada diagonal; en forma análoga, para
asignar la incertidumbre en la ordenada al origen
se toma el valor mayor de las diferencias entre la
ordenada de la recta y la ordenada de cada diagonal.
De esta manera las incertidumbres serı́an:
para la pendiente
∆m = mmax − m ó
(4)
∆m = m − mmin
∆b = bmax − b
∆b = b − bmin
ó
(5)
Para decidir sobre cuál de los dos criterios usar, deben ser observados los valores numéricos de la pendiente y de la ordenada de la recta y los valores correspondientes a las diagonales. El criterio representado por las fórmulas (2) y (3) se usa cuando el valor
de la pendiente (ordenada) equidista, aproximadamente, de los valores extremos; en cambio, las fórmulas (4) y (5) se usan cuando el valor está lejos del centro del intervalo.
En algunas ocasiones no es claro que se pueda trazar el paralelogramo porque los valores de las incertidumbres aumentan o disminuyen con los valores de la abscisa. En este caso en vez de un paralelogramo se traza un trapecio, porque lo importante es
que los puntos con sus incertidumbres estén contenidos en una región bien definida; se trazan las diagonales del trapecio y se procede de la manera antes descrita.
Aun en el caso particular en que las incertidumbres
∆y tengan el mismo valor numérico para todos los
valores experimentales, cuando se grafican en escalas
lineales (papel milimétrico, por ejemplo) se ven del
mismo tamaño, pero cuando se grafican en escalas semilogarı́tmicas o logarı́tmicas, las barras de error por
arriba y por abajo del valor central no se ven del mismo tamaño. En este caso de las escalas logarı́tmicas en vez del paralelogramo se obtiene un trapecio, el cual algunas veces tiene un lado muy pequeño
y más bien parece un triángulo. Es decir, en escalas logarı́tmicas deben graficarse los tres puntos correspondientes a los valores de y − ∆y, y y + ∆y para cada valor de x.
Es importante aclarar que el método del paralelogramo, descrito aquı́ y también en la referencia [2], para
calcular las incertidumbres asociadas a los parámetros de la recta, no es único. En la referencia [3] se
describe un método equivalente. Otra forma de obtener los parámetros de la recta y sus incertidumbres, basada en criterios estadı́sticos, es utilizando
el método de los mı́nimos cuadrados (el cual proporciona un criterio único). En todo caso, el método aquı́ expuesto permite una verificación independiente y rápida de los resultados obtenidos al ajustar una recta visualmente.
El uso del método del paralelogramo se ilustra a continuación. A un resorte en posición vertical se le agre-
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán
51
gan pesas del mismo tamaño en su extremo inferior; representemos por L la longitud que adquiere el resorte al aplicarle la fuerza F . Se desea encontrar la relación entre L y F , cuyos valores se muestran en la tabla 1. En este ejemplo no se toma en
cuenta la incertidumbre en la cantidad F porque se
supone muy pequeña; además, se omiten las unidades de F y L.
F
1
2
3
4
5
6
7
8
L ± 0.9
7.1
8.7
10.7
13.2
15.3
18.1
19.9
21.8
Tabla 1. Datos de fuerza y longitud.
En este caso la variable controlada (variable independiente) es la fuerza aplicada y la variable dependiente es la longitud. El comportamiento de estas cantidades se muestra en la figura 2 donde también se ha trazado la incertidumbre constante en cada valor de L.
Figura 3. Se trazan rectas paralelas para formar el paralelogramo.
Ahora se trazan las diagonales del paralelogramo, como ilustra la figura 4. Las tres rectas se han extrapolado para identificar gráficamente la ordenada al origen; en la figura también aparecen las ecuaciones; con los subı́ndices ds y di quedan identificadas la diagonal superior y la diagonal inferior, respectivamente. Nótese que la diagonal superior proporciona el valor de la pendiente máxima (mmax )
y, consecuentemente, el valor de la ordenada al origen mı́nima (bmin ); por su parte la diagonal inferior tiene la pendiente mı́nima (mmin ) y la ordenada al origen máxima (bmax ).
Figura 2. Gráfica de los datos de la tabla 1.
A continuación se trazan dos rectas paralelas a la recta de la figura 2 de manera tal que todos los puntos con sus incertidumbres queden en la región limitada por ellas, como ilustra la figura 3; estas rectas
y las rectas a través de las abscisas extremas del intervalo experimental (F = 1 y F = 8) definen el
paralelogramo.
Figura 4. Se muestran las fórmulas de la recta y de las
diagonales (las paralelas fueron omitidas).
Con la información contenida en las fórmulas de la
figura 4 se ve que los valores de las pendientes son
52
ContactoS 76, 49–57 (2010)
m = 2.181
mmax = 2.5429
mmin = 1.8286
Por el momento, estas cantidades se escriben con
el número de cifras con que aparecen en las fórmulas, pero más adelante serán escritas en la forma correcta. Al aplicar la fórmula (2) se obtiene que la incertidumbre en la pendiente es ∆m = 0.3572. Los valores de las ordenadas al origen son
b = 4.5357
bmax = 6.2714
bmin = 2.9571
Al aplicar la fórmula (3) se llega a que la incertidumbre en la ordenada al origen es ∆b = 1.6572.
Es costumbre escribir las incertidumbres a lo más
con dos cifras significativas, de manera que ∆m =
0.36 y ∆b = 1.7; al redondear m y b hasta estos decimales, sugeridos por sus incertidumbres, la
ecuación que satisfacen los datos de la tabla 1
se escribe como
L = (2.18 ± 0.36)F + (4.5 ± 1.7)
Para asegurar que los valores calculados de L empleando esta fórmula están dentro del paralelogramo, para un mismo valor de F , debe elegirse simultáneamente el signo + en uno de los sı́mbolos
± y el signo − en el otro sı́mbolo ±; es decir, elegir signos opuestos en los sı́mbolos ±. Esta elección
se debe a que a la recta de pendiente máxima le corresponde la ordenada al origen mı́nima, y viceversa. La pendiente en esta fórmula (m±∆m) está comprendida entre los valores 1.82 y 2.54 y la ordenada al origen (b ± ∆b) entre 2.80 y 6.20, estos números son muy parecidos a los valores de los parámetros de las rectas diagonales en la figura 4.
Escalas logarı́tmicas
En los párrafos anteriores se expuso la forma de calcular las incertidumbres en la pendiente y en la ordenada al origen para el caso en que las escalas son lineales en ambos ejes coordenados; es decir, cuando la recta se obtiene al graficar los datos directamente en papel milimétrico. En este caso es útil el
uso del paralelogramo. La situación se torna complicada cuando la recta que se obtiene se ha trazado usando un eje con escala lineal y el otro eje
con escala logarı́tmica (papel semilog) o cuando ambos ejes tienen escalas logarı́tmicas (papel log-log);
las barras de error en estos casos ya no definen un
paralelogramo.
Relación exponencial.
Ahora considérese la relación del tipo y = abcx donde
a, b y c son constantes; es usual que la constante b
esté representada por el número 10 o por el número
e. Si se toma como base el número e, la expresión es
y = aecx
(6)
Al calcular el logaritmo natural en ambos miembros
de esta fórmula, se obtiene
ln y = ln a + cx
(7)
Al identificar X = x y Y = ln y, esta expresión
(7) queda como Y = cX + ln a la cual corresponde a una lı́nea recta en las variables (X, Y ). La ordenada al origen está representada por ln a y la pendiente por la constante c. En otras palabras, si los valores (x, y) satisfacen una relación del tipo expresado por la fórmula (6), para hacer que los puntos queden a lo largo de una lı́nea recta, se debe graficar
ln y vs. x.
El procedimiento para esta nueva situación se ilustrará con datos experimentales (x, y) que satisfacen
una relación exponencial. Con el propósito de solamente ilustrar el procedimiento, en la tabla 2 no se
menciona de qué experimento se trata, únicamente se presentan los valores de la variable controlada (X) y los valores medidos de la variable dependiente (Y ), la incertidumbre ∆y es constante y es
muy grande comparada con la incertidumbre en x.
X
0.30
0.61
0.91
1.22
1.52
1.83
2.13
Y ± 0.05
0.73
0.48
0.34
0.23
0.15
0.11
0.08
Tabla 2. Datos que satisfacen una relación exponencial.
La gráfica de los datos de la tabla 2 se presenta en
la figura 5. Es notorio que los puntos experimentales
no satisfacen una relación lineal. Debido a que la
incertidumbre ∆y es constante, se puede trazar una
curva que pase por todos los puntos y + ∆y para
los correspondientes valores de x; se obtendrı́a una
curva idéntica a la que pasa por los valores de y,
pero desplazada hacia arriba por un valor constante
igual a ∆y = 0.05. Se obtendrı́a una curva idéntica
desplazada hacia abajo una cantidad constante de
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán
53
0.05 si se grafican los puntos con los valores de y −
∆y. Estas dos curvas serı́an curvas equidistantes de
la curva representativa de los puntos (x, y); es decir,
jugarı́an el papel que el paralelogramo hace en el
caso de escalas lineales, pues todos los puntos con
sus incertidumbres caerı́an en la región delimitada
por las dos curvas.
Figura 6. Datos de la tabla 2 graficados con escala lineal
en el eje de abscisas y escala logarı́tmica en el eje de
ordenadas.
Figura 5. Datos de la tabla 2 graficados con escalas lineales en ambos ejes.
Por otra parte, al graficar manualmente en papel semilog, o equivalentemente usando un programa de
cómputo que maneje hoja de cálculo (Excel por
ejemplo), al escoger el eje Y con escala logarı́tmica se obtiene que los puntos están sobre una recta, como ilustra la figura 6. En contraste con la figura 5 donde las barras de error se ven del mismo tamaño, pues la incertidumbre ∆y es constante, en la
figura 6 aparecen de tamaños diferentes en cada punto y, además, los valores de y − ∆y se ven más separados del valor experimental y mientras que los valores de y + ∆y están más cercanos, lo cual se debe a
que la escala de las ordenadas es no lineal. En otras
palabras, si la gráfica se hace manualmente usando papel semilogarı́tmico, se deben calcular los valores de y + ∆y y de y − ∆y para poder graficar las barras de error. Para resaltar este efecto, en ambas figuras 5 y 6 se trazaron las lı́neas de división en la escala de las ordenadas.
Para calcular las incertidumbres en la pendiente y en
la ordenada al origen de la recta que se obtiene usando papel semilog, se trazan las tres rectas que pasan por las ordenadas y, y + ∆y y por y − ∆y, con
los mismos valores de x. De esta manera se obtienen las rectas representadas en la figura 7, las cua-
les definen una región en forma de trapecio donde
se encuentran todos los puntos con sus incertidumbres. Se trazan las lı́neas diagonales del trapecio y se
aplica el procedimiento usado con el método del paralelogramo. Aunque estrictamente la región es un
trapecio, en ocasiones sucede que debido a la escala más bien parece un triángulo (como en este ejemplo particular); en estos casos el cálculo de las incertidumbres se simplifica al considerar a la región como un triángulo.
Figura 7. Datos de la tabla 2. Los valores de y se representan con cı́rculo negro, los de y + ∆y con signo + y los
de y − ∆y con signo −.
En esta región triangular se pueden trazar muchas
rectas que formarán un abanico; de entre todas ellas,
54
ContactoS 76, 49–57 (2010)
las que tienen la pendiente máxima y la pendiente mı́nima son las que definen el triángulo, también
ellas son las que poseen la máxima ordenada al origen y la mı́nima ordenada al origen. Con la información contenida en la figura 7 se ve que los valores algebraicos de las pendientes son:
m = −1.2176
mmax = −0.9882
mmin = −1.682
Usando el criterio representado por la fórmula (2)
se llega a que la incertidumbre en la pendiente es
∆m = 0.3469.
Por otra parte, para las ordenadas al origen se obtiene:
b = ln 1.0212 = 0.0210
bmax = ln 1.2435 = 0.2179
bmin = ln 0.9773 = −0.0230
Usando el criterio representado por la fórmula (3) se
llega a que la incertidumbre en la ordenada al origen es b = 0.1205. Usando los valores para la pendiente, ordenada al origen, sus incertidumbres, y al
redondear los valores hasta centésimos, la relación
exponencial que satisfacen los valores experimentales de X y de Y es
Y = (1.02 ± 0.12)e−(1.22±0.35X)
Ahora se calcularán nuevamente las incertidumbres
en los factores constantes que aparecen en la relación exponencial, pero en vez de usar escalas semilogarı́tmicas para obtener las rectas se usarán escalas lineales en ambos ejes. Para ello se calculan los logaritmos naturales de y, y +∆y y de y −∆y; al graficar los puntos se obtienen las tres rectas representadas en la figura 8, donde también están escritas sus
ecuaciones.
Nótese que los valores de las pendientes de las rectas de la figura 8 son iguales a los valores de los exponentes en las fórmulas de la figura 7. En cambio, las ordenadas al origen de las rectas de la figura
8 son iguales a los logaritmos naturales de los coeficientes dados en las fórmulas de la figura 7. Son iguales porque ambos tipos de fórmulas representan el
comportamiento de los mismos puntos. Las fórmulas en esta última figura tienen la forma de una lı́nea
recta y = mx + b porque los puntos (x, y) satisfacen una relación exponencial de la forma y = aemx ,
la cual al calcularle el logaritmo natural se convierte en ln y = mx + ln a.
Figura 8. Las rectas representan los logaritmos naturales
de los valores de Y dados en la tabla 2 y graficados en
escalas lineales.
Con la información proporcionada por la figura 8 se
pueden calcular las incertidumbres; directamente de
la figura se observa que los valores algebraicos de las
pendientes son:
m = −1.2176
mmax = −0.9882
mmin = −1.682
Aplicando la fórmula (2) se obtiene que ∆m =
0.3469. Para las ordenadas al origen se ve que:
b = 0.0209
bmax = 0.2179
bmin = −0.0229
Aplicando el criterio representado por la fórmula (3)
se llega a que ∆b = 0.1204.
Debido a que la ecuación de estas rectas es ln Y =
mx + ln a, estos valores de las ordenadas al origen
(b, bmax , bmin ) representan el logaritmo natural de a
(ln a, ln a− y ln a+ , los exponentes − y + se refieren
a la recta de los puntos con estos sı́mbolos); para
obtener el valor de a, a− y a+ es necesario calcular
el antilogaritmo de b, bmax y bmin . Entonces, los
valores de las ordenadas al origen se escriben como
b = 0.0209 = ln a = ln 1.0211
bmax = 0.2179 = ln a− = ln 1.2435
bmin = −0.0229 = ln a+ = ln 0.9774
Con estos valores para la pendiente, ordenada al origen y sus incertidumbres, la ecuación de la recta es:
ln Y = −(1.2176 ± 0.3469)X + ln(1.0211 ± 0.1204)
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán
Finalmente, aplicando la operación de exponenciación se obtiene la relación exponencial que satisfacen los valores experimentales de X y de Y :
eln Y = e−(1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204)
Y = e−(1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204)
Y = (1.0211 ± 0.1204)e−(1.2167±0.3469)X
Para escribir esta expresión se usó la propiedad de
los logaritmos que establece que si c = ez , entonces
ln c = z ln e = z y, por tanto, c = eln c . Al redondear
los valores hasta centésimos, el resultado final de Y
como una función de X es
Y = (1.02 ± 0.12)e−(1.22±0.35)X
Nótese que esta expresión es idéntica a la obtenida
a partir de las rectas trazadas en la figura 7 usando
escala semilogarı́tmica.
Relación de potencia.
Ahora el objetivo es analizar datos que siguen una
ley de potencia. Supóngase que la relación entre las
cantidades medidas (x, y) es del tipo
y = axn
(8)
donde a y n son constantes. Al calcular el logaritmo
de ambos miembros de la fórmula (8), se obtiene
log y = log a + n log x.
Llamando X = log x y Y = log y, esta ecuación se
transforma en
Y = log a + nX
T (K)
12
20
30
40
100
300
400
1000
3000
55
E ± 0.5 (J/s)
2.0
2.5
3.0
3.3
5.3
10
11
17
30
Valores de temperatura y rapidez de energı́a.
Estos valores y las incertidumbres ∆E aparecen graficados en la figura 9 donde se observa que los puntos no satisfacen una relación lineal; además, los puntos con valores más pequeños aparecen encimados,
difı́cilmente pueden distinguirse unos de otros. En
cambio, al ser graficados usando escalas logarı́tmicas en ambos ejes, los puntos están sobre una recta y todos pueden distinguirse entre sı́ (ver figura
10). Nótese que todas las barras de error en la figura 9 tienen el mismo tamaño, lo cual no sucede en la
figura 10. En otras palabras, al igual que como ocurrió en el caso de escalas semilogarı́tmicas, en este caso de escalas logarı́tmicas los puntos y sus incertidumbres no están dentro de un paralelogramo,
más bien dentro de un triángulo.
(9)
Comparando con la fórmula (1) se observa que
esta última es la ecuación de una recta en las
nuevas variables X y Y , con ordenada al origen
igual a log a y con pendiente igual a n; estos
parámetros se obtienen directamente de la recta
graficada.
En el ejemplo que sigue se hará la gráfica usando escalas lineales, luego se hará usando escalas logarı́tmicas en ambos ejes (donde se obtiene una recta), se calcularán las incertidumbres de los parámetros de la recta y se escribirá la fórmula que los
puntos satisfacen; después se calcularán los logaritmos de los datos, se graficarán usando escalas lineales y también se determinará la fórmula. Para ello se
usarán datos obtenidos de un experimento de transferencia de calor de un cuerpo sólido hacia su entorno; las variables son la temperatura T medida
en kelvin y la rapidez con que la energı́a E cambia, expresada en J/s, cuyos valores se muestran en
la tabla 3.
Figura 9. Datos de la tabla 3 graficados en escalas lineales.
Las rectas que definen la región triangular son las
que, en escalas logarı́tmicas, pasan por los puntos
con ordenadas E + ∆E y E − ∆E para las corres-
56
ContactoS 76, 49–57 (2010)
b = log 0.5577 = −0.2536
bmax = log 0.7429 = −0.1291
bmin = log 0.3909 = −0.4079
Usando el criterio representado por las fórmulas (2)
y (3) se llega a que ∆m = 0.0428 y ∆b = 0.1394, respectivamente. Usando los valores para la pendiente,
ordenada al origen, sus incertidumbres y al redondear los valores hasta centésimos, la relación de potencia que satisfacen los valores experimentales de T
y de E es
E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04)
Figura 10. Los mismos datos de la figura 9 pero graficados en escalas logarı́tmicas.
pondientes abscisas T , identificadas con los sı́mbolos + y −, como lo ilustra la figura 11. En esta figura se muestran las fórmulas que estas dos rectas y la
recta central satisfacen.
Figura 11. Datos de la tabla 3. Los valores de E se representan con cı́rculo blanco, los de E + ∆E con signo
+ y los de E − ∆E con signo −.
Con la información mostrada en la figura 11 se ve
que los valores de las pendientes son:
m = 0.497
mmax = 0.5449
mmin = 0.4593
Los valores de las ordenadas al origen son:
Ahora se hará el cálculo de las incertidumbres en los
parámetros constantes que aparecen en la relación
de potencia, pero en vez de usar escalas logarı́tmicas para obtener las rectas se usarán escalas lineales en ambos ejes. Para ello se calculan los logaritmos decimales de E, E + ∆E y de E − ∆E; al graficar los puntos se obtienen las tres rectas representadas en la figura 12, donde también están escritas sus
ecuaciones.
Compárense los valores de las pendientes y ordenadas al origen de las rectas de la figura 12 con los valores de los exponentes y los coeficientes de las potencias dadas en las fórmulas de la figura 11, respectivamente. Los valores de las pendientes son iguales a los de los exponentes; en cambio, los valores
de las ordenadas al origen corresponden al logaritmo de los coeficientes. Ambos tipos de fórmulas representan el comportamiento de los mismos puntos. Las fórmulas en esta última figura tienen la forma de una lı́nea recta y=mx +b porque los puntos (T, E) satisfacen una ley de potencia de la forma E = aT m , la cual al calcularle el logaritmo decimal se convierte en log E = m log T + log a.
Con la información proporcionada por la figura 12
se pueden calcular las incertidumbres; directamente
de la figura se observa que las pendientes son:
m = 0.497
mmax = 0.5449
mmin = 0.4593
Para las ordenadas al origen, a partir de las ecuaciones, se ve que:
b = −0.2536 = log a = log 0.5577
bmax = −0.1291 = log a− = log 0.7428
bmin = −0.408 = log a+ = log 0.3908
Aplicando las fórmulas (2) y (3) se llega a que ∆m =
0.0428 y ∆b = 0.1395, respectivamente. Con estos
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán
57
Nota final
Para analizar los datos obtenidos en un experimento, siempre conviene graficarlos. Cuando se ha logrado que estén sobre una recta, ya sea usando papel con escalas lineales, log-log, o semilog, el paso siguiente es calcular las incertidumbres asociadas a la pendiente y a la ordenada al origen. Esto último se logra usando el método del
paralelogramo.
Figura 12. Las rectas representan los logaritmos decimales de los valores dados en la tabla 3 y graficados en escalas lineales.
valores para la pendiente, ordenada al origen y sus
incertidumbres, la ecuación de la recta es:
La ecuación final de las tres relaciones (lineales,
y = mx + b; exponenciales, y = abcx ; de potencia, y = axn ) que pueden ser analizadas a través
de las rectas que se obtienen usando gráficas con escalas lineales, semilog y log-log, respectivamente, se
debe reportar en términos de las variables originales. Es decir, deben escribirse como:
y = (m ± ∆m)x + (b ± ∆b),
y = (a ± ∆a)b(c±∆c)x ,
y = (a ± ∆a)x(n±∆n) .
log E = (0.497 ± 0.0428) log T + log(0.5577 ± 0.1395)
Bibliografı́a
Finalmente, aplicando la operación de potenciación,
es decir usando toda esta expresión como exponente de 10, se obtiene la relación de potencia que satisfacen los valores experimentales de T y de E; al
redondear los valores hasta centésimos, el resultado es
E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04)
1. A. Manzur. Análisis gráfico. Parte 1. Contactos,
No. 75, 2010.
2. B. Oda Noda. Introducción al análisis gráfico de
datos experimentales, 3a. edición. Facultad de
Ciencias, UNAM, México, 2005.
3. C. Gutiérrez Aranzeta. Introducción a la metodologı́a experimental, segunda edición. Limusa,
México, 1998.
Para escribir esta expresión se usó la propiedad de
los logaritmos que establece que si c = 10z entonces
log c = z y, por tanto, c = 10log c . Nótese que esta
expresión es idéntica a la obtenida a partir de las
rectas trazadas en escalas logarı́tmicas.
cs