Análisis estadístico de valores extremos y aplicaciones

Realizado por Alejandro Ibáñez Rosales.
Trabajo de Investigación.
Máster Oficial en Estadística Aplicada.
Departamento de Estadística e Investigación Operativa.
Universidad de Granada.
Octubre 2011.
i
Trabajo de Investigación realizado por Alejandro Ibáñez Rosales y dirigido por
José Miguel Angulo Ibáñez, perteneciente a la Línea de Investigación de Análisis
de Características Estructurales de Sucesos Extremos. Aplicación a la Evaluación
de Riesgos en Geofísica y Medio Ambiente.
En Granada, a 7 de Octubre de 2011.
ii
ÍNDICE.
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN. …………………………………………………………………………….. Páginas 1-3.
1.1. Historia de la teoría de valores extremos. . ………………………………………………….. Páginas 1-2.
1.2. Aplicaciones prácticas de los valores extremos. . ……..………………………………….. Páginas 2-3.
CAPÍTULO 2: ESTADÍSTICOS DE ORDEN. . ……..………………...………………………………….. Páginas 4-8.
CAPÍTULO 3: LA DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS GENERALIZADA…………… Páginas 9-62.
3.1. Introducción. El Teorema de Valores Extremos………………………………………….. Páginas 9-11.
3.2. Características de la Distribución de Valores Extremos Generalizada. ……… Páginas 11-12.
3.3. El caso del mínimo. ……..………………...……………………………………………………….. Páginas 12-13.
3.4. Ejemplos de distribuciones teóricas de la Distribución GEV. …………………… Páginas 13-16.
3.5. Simulación de valores de Distribuciones GEV. . ………………………………………… Páginas 16-24.
3.6. Ejemplos con datos reales. ....…………………………………………....……………………..Páginas 24-33.
3.7. Distribuciones relacionadas con la Distribución de Valores Extremos
Generalizada …………………………………………………………………………………………………..Páginas 33-47.
3.7.1. Distribución de Fréchet. ……………………………………………………………………… Páginas 33-38.
3.7.1.1. Características. ………………………………………………………………………………… Páginas 33-35.
3.7.1.2. Representaciones gráficas. …………………………………………………………….… Páginas 35-38.
3.7.2. Distribución de Gumbel..……………………………………………………….…………….. Páginas 38-43.
3.7.2.1. Características. ………………………………………………………………………..…….… Páginas 38-39.
3.7.2.2. Representaciones gráficas. ……………………………………………………..…….… Páginas 39-42.
3.7.2.3. Distribución de Gumbel para el mínimo. …………….…………………..…….… Páginas 42-43.
3.7.3. Distribución de Weibull....…………….……………………………………………………..… Páginas 43-47.
3.7.3.1. Características….…………….……………………………………………………………….… Páginas 43-44.
3.7.2.3. Representaciones gráficas. .…………………………………………………………….… Páginas 44-47.
3.8. Niveles de retorno. Estudio gráfico de la bondad del ajuste. …………………… Páginas 47-48.
3.9. Estimación de los parámetros por Máxima Verosimilitud………………………………… Página 48.
3.10. Ejemplos con bloques y con análisis gráficos…………………………………………… Páginas 48-62.
iii
CAPÍTULO 4: MODELOS DE UMBRALES………………………………………………………….. Páginas 63-90.
4.1. Excedencias. …………………………………………………………….……………………………… Páginas 63-70.
4.2. La Distribución de Pareto Generalizada. ……………….……………………………..…… Páginas 70-73.
4.3. Ejemplos. ……………….….…..…………………….……………………………..…………………. Páginas 73-90
4.3.1. Datos simulados. ……………….….…..…………………….……………………………..…… Páginas 73-79.
4.3.2. Representación de distribuciones de Pareto generalizadas teóricas………. Páginas 79-81.
4.3.3. Ejemplos con datos reales…………………………………………………………………….. Páginas 81-90.
CAPÍTULO 5: OTROS ASPECTOS.………… ………..……………………………………..………….. Páginas 91-95.
5.1. Valores Extremos en series estacionarias. …………………………………………….. Páginas 91-92.
5.2. Valores Extremos en series no estacionarias. …………………………………………………. Página 92.
5.3. Caso de variables no independientes ni idénticamente distribuidas…………. Páginas 92- 93.
5.4. Caso multivariante. . …………………..…………………………………………………………….…… Página 93.
5.5. Extremos espaciales. ………………………………………………………………………………………Página 94.
5.6. Teoría bayesiana aplicada a valores extremos………………………………………………….Página 94.
5.7. Procesos puntuales ………………………………………………………………………………………….Página 94.
5.8. Caso de colas pesadas ……………………………………………………………………………………. Página 95.
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………..…….. Páginas 96-98.
iv
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN.
1.1. Historia de la teoría de valores extremos.
Los valores extremos ha constituido desde hace bastante tiempo una disciplina de gran interés,
y no sólo para estadísticos sino, entre otros, para científicos e ingenieros.
Existen varias definiciones en la literatura sobre este tema acerca de qué trata la teoría de
valores extremos, pero esencialmente casi todas dicen lo mismo.
Para Coles (2001), la teoría de valores extremos es una disciplina que desarrolla técnicas y
modelos para describir los sucesos menos comunes, lo cual, para él, hace que sea una
disciplina “única”. En cambio, para Gumbel (1958, autor del considerado durante mucho
tiempo libro de referencia para el estudio de valores extremos), el objetivo de la teoría de
valores extremos es analizar valores extremos observados y predecir valores extremos en el
futuro.
Una definición más simplista que mencionan algunos autores es decir que los valores extremos
son “el máximo y el mínimo”. Para Albeverio, Jentsch y Kantz (2005), la interpretación de lo
que es algo “extremo” es complicada ya que su definición engloba varios atributos tales como
“excepcional”, “sorprendente” y “catastrófico”. Según dichos autores, al ser como se ha dicho
subjetivamente difícil definir a los valores extremos, es mejor caracterizarlos mediante, por
ejemplo, sus propiedades estadísticas, observaciones, predictibilidad, mecanismos, etc.
Respecto a la antigüedad de esta teoría, Leadbetter, Lindgren y Rootzen (1983) afirman que
puede decirse que tiene alrededor de 80 años de antigüedad, aunque el origen la teoría de
valores extremos es bastante más antiguo. Por su parte, Coles afirma que no fue hasta 1950
cuando se propuso una metodología seria para modelizar sucesos de este tipo. Asimismo,
también dice que las primeras aplicaciones fueron en el campo de la ingeniería civil, pues
según él los ingenieros siempre han necesitado diseñar sus estructuras de forma que éstas
soportaran las distintas fuerzas que podrían afectarlas (refiriéndose principalmente a fuerzas
de la naturaleza). En cambio, Según Kotz y Nadarajah (2001), el origen de la teoría extremos
tiene bastante relación con los astrónomos, pues éstos necesitaban usar dicha teoría para
tratar con observaciones atípicas en sus estudios.
Es también interesante comentar que, tal y como afirman De Haan y Ferreira (2006), la teoría
asintótica de valores extremos se ha estudiado paralelamente a la del Teorema Central del
Límite, de ahí que ambas teorías tengan bastante semejanza. Para ambos autores, la teoría de
extremos para muestras está relacionada con el comportamiento límite del
o del
cuando n tiende a infinito.
Algunos autores señalan que la teoría de valores extremos tuvo como precursor a Leonard
Tippet, empleado de la British Cotton Industry Research Association, donde trabajaba para
construir hilos de algodón más fuertes. En sus estudios, durante los años 20, se dio cuenta de
que la fuerza de un hilo dependía de la fuerza de sus fibras más débiles. Pero en cambio, según
Gumbel, el pionero a la hora de estudiar los valores más grandes para otras distribuciones fue
E. L. Dodd, en 1923, aunque pocos siglos antes ya se habían empezado a estudiar los extremos
a través de la distribución Normal. También dice que el primer texto sobre distribuciones
1
diferentes de la Normal se debe a M. Fréchet (1927), quién también fue el primero en obtener
la distribución del máximo; y asimismo menciona que Bernouilli también estudió los valores
extremos cuando éste investigó sobre la distancia media más larga desde el origen hasta n
puntos representados aleatoriamente.
1.2. Aplicaciones prácticas de los valores extremos.
Los valores extremos tienen muchas aplicaciones en la práctica. Algunas aplicaciones de la
teoría de valores extremos, según Kotz y Nadarajah (2001, autores que además definen a la
teoría de valores extremos como algo “curioso y fascinante”) son ráfagas de viento,
contaminación en el aire y análisis de corrosión. El matemático de origen húngaro Janos
Galambos (1978) menciona otros ejemplos de extremos como inundaciones, sequías, efectos
de aditivos en alimentos, etc.
También Reiss y Thomas (1997) mencionan otras aplicaciones, como el estudio de la
longevidad de la vida humana, la gestión de tráfico (en telecomunicaciones), la resistencia de
materiales (respecto a este caso, Galambos dice que la fuerza de una lámina de metal es el
mínimo de las fuerzas de las piezas que forman la lámina), la concentración de ozono,
geología o meteorología (lluvias, vientos, etc).
Un ejemplo concreto, mencionado por Coles, es el siguiente: supóngase que, como parte de
los criterios para el diseño de defensas costeras, se necesita un rompeolas para protegerse de
todos los niveles del mar que se espera que haya durante 100 años. Según Coles,
posiblemente haya disponibles datos locales de niveles del mar, pero para un periodo mucho
más corto de, por ejemplo, 10 años. Lo qué para él es interesante es estimar qué niveles del
mar se pueden alcanzar en los 100 siguientes años usando los datos de los 10 años anteriores,
y para hacer extrapolaciones de este tipo se usará el marco de trabajo de la teoría de valores
extremos.
Otro ejemplo más concreto es el del terremoto de Lisboa de 1755, que es mencionado por
algunos autores como un suceso muy poco común que se puede modelizar mediante la teoría
de valores extremos. Dicho terremoto tuvo lugar el 1 de noviembre de ese año, sobre las 10:16
A.M., y causó la muerte de entre 60.000 y 100.000 personas. Además, fue seguido por un
maremoto y un incendio, y Lisboa fue destruida casi del todo. Otro terremoto devastador y
más reciente, mencionado por Castillo, Hadi, Balakrishnan y Sarabia (2004), fue el de Bam
(India) en 2003, que tuvo lugar el 26 de diciembre de ese año y en el que hubo más de 26.000
muertos y de 30.000 heridos. Para sucesos catastróficos como éstos se podrían haber evitado
las catástrofes, o al menos se habría podido estar mejor preparados.
Galambos también menciona otro ejemplo, que es el del tiempo de servicio. Se considera un
equipo con un gran número de componentes, y se supone que los componentes pueden
prestar servicio simultáneamente. Entonces el tiempo que se necesita para que el equipo
preste servicio viene determinado por el componente que tarda más tiempo en servir. Este
autor también piensa que los desastres naturales no se pueden evitar completamente, pero
que sí se pueden tomar precauciones para minimizar sus efectos, y ahí es donde la teoría de
valores extremos puede ayudar.
2
Particularmente interesante es el ejemplo que mencionan Albeverio, Jentsch y Kantz (2005) y
sobre el cual detallan bastante. Dicho ejemplo trata sobre la epilepsia, que se considera como
“un valor extremo dentro del cerebro humano”. Los mencionados autores también hablan de
que desde hace milenios ya se estudiaban los valores extremos, como en el Río Nilo, donde se
lleva 5000 años estudiando los niveles de tal río.
Otro ejemplo interesante lo mencionan de Haan y Ferreira, y es el siguiente: Un neumático de
un coche puede estropearse de dos formas. Por cada día que se use el coche, el neumático se
desgastará un poco más, y con el paso del tiempo y como consecuencia del deterioro
acumulado, el neumático acabará rompiéndose. Pero también puede ocurrir que al conducir
se pise un bache, o que el coche golpee la acera. Puede pasar que esos accidentes no tengan
efectos en los neumáticos, o que el neumático termine perforado, en cuyo caso sólo una
observación sería la que causara un fallo, lo que significa que el máximo parcial supere cierto
umbral. Por último, un ejemplo relacionado con éste lo mencionan Castillo, Hadi, Balakrishnan
y Sarabia (2004). Y es sobre la velocidad máxima a la que circulan vehículos en una parte
concreta de la carretera\autopista, ya que en función de esos datos se puede decidir el uso de
coches patrulla por dicha zona. U otro ejemplo muy parecido sería el número máximo de
vehículos que circulan por una intersección a una hora punta, pues el conocer dicho máximo
facilitaría un mejor control del tránsito vehicular.
3
CAPÍTULO 2: ESTADÍSTICOS DE ORDEN.
Antes de empezar a tratar la distribución de valores extremos, es interesante ver definiciones
relativas a los estadísticos de orden; dichas definiciones son bastante similares en todos los
textos que tratan sobre este tema.
En Estadística, se suele considerar el estadístico de orden k de una muestra estadística como el
k-ésimo valor más pequeño. Por ejemplo, en una muestra de tamaño 25, el estadístico de
orden k = 9, sería el noveno valor más pequeño de dicha muestra.
Los estadísticos de orden tienen bastante importancia dentro de la Estadística no paramétrica
y de la inferencia.
Así, si se tiene una muestra aleatoria simple de tamaño n,
,y
es una
realización de esa muestra, el mínimo es siempre el valor más pequeño de la muestra, esto es,
; mientras que el máximo es el valor más grande de la muestra
.
Ejemplo 1: Se tiene la muestra de tamaño 6 siguiente: 45, 23, 67, 33, 101, 122.
Los valores de dicha muestra se escriben de la siguiente forma:
x1=45, x2=23 x3=67, x4=33, x5=101 y x6=122.
Los estadísticos de orden para esa muestra se escribirían de la siguiente forma:
x(1)=23, x(2)=33 x(3)=45, x(4)=67, x(5)=101 y x(6)=122.
Así, en esa muestra, el mínimo sería x(1), que vale 23 y el máximo x(6) (122).
También es posible calcular el mínimo y máximo de una muestra con el paquete estadístico R:
Ejemplo 2: Se genera una muestra de tamaño 35 de una Normal de media 9 y desviación
típica 2. La sintaxis en R para general tal muestra es la siguiente:
Mientras que los valores generados son los siguientes:
Y a continuación se calculan el máximo y el mínimo:
4
Como se puede ver, el máximo es 12.64673 (séptimo valor de la muestra), mientras que el
mínimo es 4.253601 (valor 29 de la muestra).
En el caso de variables aleatorias, si se tiene una secuencia de n variables aleatorias
, los estadísticos de orden
también son variables aleatorias,
que se definen ordenando las realizaciones de
en orden ascendente.
Comúnmente, las variables aleatorias
, que forman una muestra, suelen
considerarse independientes e idénticamente distribuidas.
Otro estadístico de orden también importante es el rango, que es la diferencia entre el valor
más grande y el más pequeño:
Dicho estadístico da una medida de la dispersión de los valores.
Ejemplo 1.2: En el primer ejemplo anterior,
Ejemplo 2.2: Mientras que en el segundo ejemplo anterior,
Por último, otro estadístico de orden bastante conocido es la mediana:
Ejemplo 1.3.: Para el primer ejemplo, la mediana es
Ejemplo 2.3.: Mientras que para el segundo, se va a calcular la mediana utilizando R:
Como se puede ver, la mediana es casualmente el primer valor de la muestra,
9.064752.
y vale
Una ventaja que tiene la mediana muestral frente a la media muestral, es que la primera es
menos sensible a observaciones extremas. Esto se puede comprobar en el ejemplo anterior
donde la muestra tiene tamaño 6; para dicha muestra, la mediana, ya calculada anteriormente,
es 51, mientras que la media es la siguiente:
A continuación, se va a cambiar el último valor de la muestra, que va a pasar a ser bastante
más grande, en concreto, x6=896. Con lo cual, la muestra queda de la siguiente forma:
5
x1=45, x2=23 x3=67, x4=33, x5=101 y x6=896.
La media ahora es:
Como se puede ver, la media ha aumentado considerablemente. Ahora se va a calcular la
mediana para esa misma muestra “modificada”. En este caso, vale
que coincide con la mediana anterior, antes de
cambiar el último dato de la muestra. Así, este ejemplo sirve para demostrar cómo la media es
mucho más sensible a los valores extremos que la mediana, pues al haber sido el valor más
grande el que se ha cambiado, y al usarse para calcular la mediana solo los valores centrales, la
mediana no sufre cambio.
Si se tiene una m.a.s. (muestra aleatoria simple), es posible calcular la distribución del máximo
y del mínimo.
Para el máximo, es la siguiente:
donde se ha
usado las propiedades de independencia, y el que el suceso “que el mínimo sea mayor que x”
equivale a “que todos los valores sean mayores que x”.
Sin más que derivar, se deduce fácilmente la función de densidad:
Para el máximo, su función de distribución es la siguiente:
donde se
han usado también las propiedades de independencia, y el que el suceso “que el máximo sea
menor o igual que x” equivale a “que todos los valores sean menores o iguales que x”.
En este caso, a función de densidad es la siguiente:
Ejemplo 3: Se tiene una muestra aleatoria simple de tamaño 52 de una variable aleatoria con
distribución exponencial de parámetro
y se quiere calcular la función de densidad tanto
del mínimo como del máximo.
La función de densidad de una variable aleatoria con dicha distribución viene dada por:
Mientras que la función de distribución es
6
Para el máximo, la función de distribución es
mientras
que la función de densidad viene dada por
En cambio, para el mínimo la función de distribución es
; la función de densidad, por su
parte, viene dada por
=13
Otras distribuciones de interés relativas a estadísticos de orden son las siguientes:

Distribución conjunta del máximo y del mínimo:
Dada una muestra de tamaño n, la distribución conjunta del máximo y del mínimo, esto es, del
vector aleatorio
, viene dada por

Distribución conjunta de dos estadísticos de orden r y s, con r menor que s.
Dada una muestra de de tamaño n, la distribución conjunta de dos estadísticos de orden r y s
cualesquiera
viene dada por

Distribución conjunta de dos estadísticos de orden consecutivos.
Dada una muestra de tamaño n, la distribución conjunta de dos estadísticos de orden
consecutivos
y
(
con i siendo un entero positivo mayor o igual que 1 y
menor que n) viene dada por
Ejemplo 4: Si se tiene una muestra de tamaño n=10, la distribución conjunta de
viene dada por

y
Distribución conjunta de todos los estadísticos de orden:
La distribución conjunta de todos los estadísticos de orden es:
7

Distribución conjunta de los k primeros estadísticos de orden:
La distribución conjunta de los k primeros estadísticos de orden viene dada por

Distribución conjunta de los k últimos estadísticos de orden:
Por último, la distribución de los k últimos estadísticos de orden es:
=
8
CAPÍTULO 3: LA DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS GENERALIZADA.
3.1. Introducción. El Teorema de Valores Extremos.
En este capítulo del trabajo se va a ver la distribución de Valores Extremos Generalizada (en
inglés, Generalized Extreme Value distribution, cuyas siglas son GEV), que también es conocida
como la distribución de Fisher-Tippett, la distribución tipo von Mises-Jenkinson o la
distribución de valores extremos tipo von Mises. Según Kotz y Nadarajah, dicha distribución
fue inicialmente introducida por Jenkinson (1955).
Sean
variables aleatorias,
el máximo de dichas
variables. Según Coles, en ocasiones, en la práctica las
(que tienen una función de
distribución común F) corresponden a valores de un proceso medido en una escala regular de
tiempo –como medidas de niveles del mar cada hora, o temperaturas medias diarias- de forma
que
representa el máximo del proceso sobre n unidades temporales de observación. Si por
ejemplo, n es el número de observaciones en un mes, entonces
corresponde al máximo
mensual.
La función de distribución de
(que es como la gran mayoría de autores denotan al máximo
de
) se dedujo anteriormente en el capítulo sobre estadísticos de orden, y es:
Según de Haan y Ferreira (2006), dicha función converge en probabilidad a 0 si
y a 1 si
donde
Por tanto, para que la distribución límite no sea
degenerada, hay que tipificar, esto es, encontrar sucesiones de constantes a n>0 y bn (n = 1,
2,…) de forma que la expresión
tenga una distribución no degenerada cuando
esto es, que
.
Se trata de “estandarizar” la variable
variable estandarizada se le llama
mediante una transformación lineal. A la nueva
Así, se tiene el siguiente teorema, conocido como Teorema de Valores Extremos o Teorema de
Fisher-Tippett-Gnedenko:
-Teorema 1: Si existen sucesiones de constantes
y
de forma que
cuando
donde G es una función de distribución no degenerada, entonces G pertenece a una de las
siguientes familias:
9
I:
II:
III:
para parámetros
y, en el caso de, las familias II y III,
Estas tres clases de distribuciones son conocidas como las distribuciones de valores extremos,
donde las de tipo I son la familia de Gumbel; las de tipo II la de Fréchet, y las de tipo III la de
Weibull, cada una con su parámetro de localización b y de escala, a; y además, las familias de
Fréchet y de Weibull tienen un parámetro de forma Más adelante se estudiarán las
características de esas distribuciones, y se profundizará más en ellas.
La interpretación del teorema es la siguiente: cuando se pueden encontrar sendas sucesiones
que verifiquen lo anterior, entonces la distribución asintótica de la variable transformada
es de alguno de los tres tipos anteriores. A su vez, se deduce que la distribución de
sólo
puede ser una de esas tres. Sin duda, este teorema es posiblemente considerado como el más
importante, y si no de los que más, dentro de la teoría de valores extremos; de hecho Coles
afirma que el teorema anterior es un análogo para valores extremos del Teorema Central del
Límite.
Todas las distribuciones anteriores se pueden condensar en una sola, que es la Distribución de
Valores Extremos generalizada (GEV), cuya función de distribución es la siguiente:
para
A continuación, se define la noción demáximo-estabilidad, definición que es importante para la
teoría de valores extremos. Existen varias definiciones posibles (aunque todas son bastante
parecidas), y una de ellas es la siguiente:
-Definición 1: Sean
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
con función de distribución F. Se dice que la función de distribución F es máximo-estable si
para alguna elección de constantes
y real,
P
.
Dos definiciones relacionadas con las anteriores son las siguientes:
-Definición 2: Una distribución univariante se dice que pertenece al dominio máximo de
atracción de una función de distribución G, y se denota por
, si cumple lo siguiente:
I.
G es una distribución no-degenerada.
II.
Existen sucesiones
y que verifican P
10
-Definición 3: Dos funciones de distribución F y G se dicen que son distribuciones con colas
equivalentes si se cumple que
para ciertas constantes
y donde
, donde
es el punto final derecho
Para el mínimo existe un análogo de las distribuciones máximos-estables para el máximo; se
trata de las distribuciones mínimo-estables. La definición es también análoga:
-Definición 4: Sean
… variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas con función de distribución F. Se dice que la función de distribución F es mínimoestable si para alguna elección de constantes
y
real, se cumple que
P
3.2. Características de la Distribución de Valores Extremos Generalizada.
La familia de distribuciones de valores extremos generalizada, como se vio antes, tiene la
siguiente función de distribución:
definida en
con
y
tres parámetros: el parámetro de localización;
parámetro de forma.
El modelo tiene
el parámetro de escala; y
que es el
La función de densidad de esta distribución de probabilidad es la siguiente:
de nuevo definida en
Otras características de la distribución de valores extremos generalizada son las siguientes:
Esperanza matemática.
donde
es la función Gamma, y es la
constante de Euler.
11
Varianza.
donde
Cuantil de orden p.
Mediana.
Moda.
Coeficiente de Asimetría.
(donde es la
función zeta de Riemann).
Coeficiente de Curtosis.
Algunas distribuciones que están relacionadas con la distribución de valores extremos
generalizada son las siguientes:

Si una variable X se distribuye según una
, entonces la transformación
lineal
sigue también una distribución de valores extremos generalizada, pero
con parámetros
Ejemplo 1: Sea
distribución de

. Entonces, si se tiene la transformación
la
es
Si una variable X está distribuida según una Exponencial de parámetro 1, la
transformación
sigue una
Ejemplo 2: Sea
y sea la transformación
Entonces,
3.3. El caso del mínimo.
Para estudiar el mínimo, el procedimiento es análogo; simplemente se usa que
Si se denota al mínimo por
entonces su distribución es la siguiente:
12
definido en
y donde
Igual que para el máximo, existe un teorema que permite aproximar la distribución de
la función de distribución anterior:
-Teorema 2: Si existen sucesiones de constantes
y
por
de forma que
cuando
donde es una función de distribución no degenerada, entonces
distribuciones de valores extremos generalizada para el mínimo:
Si
es de la familia de
en el caso en el que
Si
, para
. Y la función de densidad es:
,
Definida en
si
o
si
Si
El cuantil de orden p para dicha distribución viene dado por:
También existen modelos para el r-ésimo estadístico más grande, que en algunos casos
pueden ser bastante interesantes y útiles.
3.4. Ejemplos de distribuciones teóricas de la distribución GEV.
A continuación, se van a representar valores teóricos de la distribución GEV para el máximo,
para diferentes valores de los tres parámetros. Dichos gráficos han sido generados con el
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software para ajustar distribuciones de probabilidad EasyFit, del cual se puede obtener una
versión en prueba gratuita a través de Internet:
Primero se ha representado la función de densidad teórica y la función de distribución de una
GEV(-2, 3, 0). Como se puede ver, esta distribución concreta es asimétrica negativa, pues la
mayoría de los valores están concentrados a la izquierda.
Ahora la distribución representada es una GEV(1, 0.5, 0), esto es, con parámetro
que
corresponde a la distribución de Gumbel. Aquí, la distribución está también más inclinada
hacia la izquierda, y se puede ver que está centrada en el parámetro de localización, que vale 1.
Ahora la GEV (1, 1, -3) tiene una forma bastante distinta a las dos anteriores.
14
De nuevo la distribución representada, GEV(1, 1, 0), es ahora una Gumbel, sólo que ahora el
parámetro de escala es mayor, concretamente el doble. Viendo la escala de los datos en un
gráfico y otro se puede observar dicha diferencia de escala.
En este caso los gráficos corresponden a una GEV(1, 1, 3). La diferencia ahora se nota sobre
todo en la función de distribución, que crece de forma claramente distinta a las anteriores.
También es destacable la forma de la función de densidad: al contrario que para la GEV(1, 1, 3), ahora la densidad, que también es algo aplanada, se concentra mayoritariamente en la
parte izquierda de la distribución; lo cual se explica con el cambio del parámetro de forma, que
ha pasado de ser -3 a ser 3.
Ahora la distribución representada es una GEV(1, 3, 0), se puede apreciar el cambio de escala
respecto a la GEV (1, 0.5, 0) y respecto a la GEV(1, 1, 0).
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Por último, se ha representado una GEV(3, 1, 2). Como suele ocurrir, la mayor masa de
probabilidad está concentrada en torno al parámetro de localización, y está también aplanada
por la parte izquierda aunque no tanto como la GEV(1, 1, 3), porque ahora el parámetro de
forma es menor.
3.5. Simulación de valores de distribuciones GEV.
En este apartado, usando el paquete estadístico R se van a simular valores de variables
aleatorias cuya distribución sea la de valores extremos generalizada. Para ello, se descarga el
paquete llamado “extRemes”, bastante útil y que, como su nombre indica, sirve para estudiar
aspectos relacionados con los valores extremos.
Entre otras cosas, el paquete permite simular valores de una variable con distribución GEV
para unos parámetros dados. Así, por ejemplo, se va a comenzar simulando una variable con
distribución
y sin tendencia. Los datos, que se almacenan con el nombre de
“datos1”, son los siguientes:
El gráfico de los 100 datos generados es el siguiente:
16
Ahora se van a generar datos de una misma distribución, pero que presente una tendencia de
0.5. Los valores generados (almacenados como “datos2”) son los siguientes:
El gráfico de los datos es el siguiente:
17
A la vista del gráfico se observa claramente la tendencia ascendente que se ha introducido.
En cambio, ahora se va a cambiar el valor del parámetro de escala. Primero se va a simular una
Los valores simulados (“datos3”) son los siguientes:
Y el gráfico con los valores generados se puede ver a continuación:
18
Ahora se cambia el parámetro de escala, que pasa a ser 4, con lo cual se va a trabajar con una
Los valores simulados de esa distribución (“datos4”) son:
Mientras que esos valores representados en un gráfico se pueden observar a continuación:
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Se puede ver claramente el cambio de escala, pues para esta muestra generada los valores
están en una escala mayor.
Ahora se va a modificar el parámetro de localización. Se va a generar una
(“datos5”):
La representación gráfica de los 100 valores generados es la siguiente:
20
Y ahora se cambia el parámetro de localización, que pasa a ser =3.5, con lo cual la
distribución que se tiene ahora es una
. Los datos que se han generado
(“datos6”) se muestran a continuación:
La representación gráfica de esta serie de valores generados es la siguiente:
21
Se ve que al cambiar el parámetro de localización, ahora los valores generados son más
pequeños que los anteriores.
Y para terminar, se van a generar valores de distribuciones con el mismo parámetro de
localización y de escala, pero distinto de forma. La distribución de la cual se generan primero
los valores es una
. Esos valores (“datos7”), son los siguientes:
Seguidamente, se pueden ver dichos datos representados gráficamente:
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Finalmente, se genera una
. Los datos (“datos8”), son los siguientes:
El gráfico de los datos se puede ver a continuación:
23
Se observa un cambio en la forma de la distribución los datos al modificar el valor del
correspondiente parámetro.
Un punto de vista interesante que proponen varios autores dentro de la teoría de valores
extremos es el de usar bloques de máximos para el estudio de valores extremos, esto es,
dividir los datos en bloques de igual longitud, para luego obtener máximos por bloque, y
ajustar la distribución de valores extremos generalizada bloque a bloque. Lo más normal es
que los bloques se elijan de longitud igual a un año, por ejemplo en el caso de datos mensuales.
Ese método se conoce como el método de Gumbel.
3.6. Ejemplos con datos reales.
Ejemplo 3: Se tienen datos (fuente: Australian Boureau of Statistics, ABS) correspondientes al
número de personas sin empleo en Australia desde Enero de 1979 hasta Diciembre de 1994.
Como se puede ver, se trata de datos mensuales durante 16 años, y se quieren dividir los datos
en bloques para estudiar el máximo por bloques. Al ser los datos, mensuales, lo ideal es que
los bloques de máximos sean máximos anuales; luego, para cada año, los datos en ese año
formarán un bloque.
Los datos, desglosados por año y mes, son los siguientes:
24
Como se puede ver, cada fila corresponde a un bloque. A continuación, se van a agrupar los
datos por variables, correspondiendo cada variable a un bloque y formándose los bloques por
orden:
En total, son 16 bloques, cada uno de tamaño igual a 12, una observación mensual. A
continuación se muestran los valores por cada bloque, junto a la representación gráfica del
bloque en cuestión:
25
26
27
28
29
30
31
32
3.7. Distribuciones relacionadas con la distribución de Valores Extremos Generalizada.
3.7.1. Distribución de Fréchet.
3.7.1.1. Características.
Es un caso especial de la distribución de valores extremos generalizada. Su función de
distribución, cuando se tienen tres parámetros, viene dada por
33
si
,mientras que la función de densidad es
donde
es el parámetro de forma,
el de escala y
localización. Cuando se tienen dos parámetros (en el caso en el que
distribución pasa a ser
el de
, la función de
y la función de densidad es
Por último, cuando la distribución sólo tiene un parámetro
,
y
El nombre de la distribución viene del matemático francés Maurice Fréchet, y su principal uso
es en el campo de la hidrología.
Algunas características de esta distribución son las siguientes:
Media
siempre que
Varianza
siempre que
Moda
Coeficiente de asimetría
si
Coeficiente de curtosis
Primer Cuartil
Mediana
Tercer Cuartil
Las características para la distribución de Fréchet con dos parámetros y con uno se pueden
calcular sin más que sustituir en las expresiones anteriores los valores
y
La distribución de Fréchet está relacionada con las siguientes distribuciones:

Si
entonces
.
34
Ejemplo 5: Sea

e Y=
Si
Entonces Y
entonces
Ejemplo 6: Sea

e Y=4X-2. Entonces
Si
e
Ejemplo 7: Sea
e
entonces
Entonces
.

Si
Ejemplo 8: Sea
entonces
Entonces
3.7.1.2. Representaciones gráficas.
A continuación se representa la función de densidad y de distribución de una variable aleatoria
con distribución de Fréchet, variando el parámetro:
En primer lugar se ha representado una Fréchet(2, 2), esto es, con parámetro de localización
igual a 0; al ser dicho parámetro 0, la función de densidad está representada para valores
mayores que 0. Se puede ver que es asimétrica hacia la izquierda.
35
Ahora la distribución representada es una Fréchet(2,3), ha cambiado el parámetro de escala
que ha pasado a valer 3. Se puede ver que la forma del gráfico es parecida, pero con el cambio
de la escala presente en esta nueva representación gráfica. Igualmente, se puede ver que la
función de distribución también tiene una forma parecida, sólo que ahora empieza a crecer
significativamente antes de llegar al valor x = 2, cuando para la distribución anterior dicho
crecimiento comenzaba a producirse antes de llegar a x = 1.
En esta nueva representación se ha introducido un parámetro de localización que vale 1, luego
la variable está representada para valores más grandes que dicho valor. La forma es
exactamente igual que para la distribución anterior, sólo que ahora se ha desplazado el gráfico
una unidad hacia la derecha fruto del mencionado cambio del parámetro de localización.
Si se compara la Fréchet(3, 2) aquí representada con la Fréchet(2, 2) anterior se aprecia un
cambio evidente de forma en los datos
36
Ahora se ha cambiado el parámetro de escala respecto al caso anterior, y se ve que el gráfico
tiene la misma forma pero hay cambio en la escala, pues al aumentar el valor del parámetro el
gráfico se achica algo más.
Nuevamente se ha introducido un parámetro de localización, con lo cual tanto la función de
densidad como la de distribución existen para valores mayores a dicho parámetro, que ahora
vale 1. Comparando con la Fréchet (3,3) (o Fréchet(3, 3, 0)), la distribución está desplazada una
unidad hacia la derecha, siendo la forma y la escala exactamente iguales.
Aquí el parámetro de localización vuelve a ser 0, luego nuevamente los valores de esta
distribución están por encima de 0. La distribución es algo asimétrica hacia la izquierda.
37
En este nuevo cambio de escala se ve otra vez cómo la distribución se achica, ya que por
ejemplo, para la Fréchet(4,2), el valor x = 2 tiene asociado f(x)=0.7358, mientras que para la
Fréchet (4,3), ese mismo valor tiene asociado un f(x)=0.0641.
Se ha añadido, otra vez, un parámetro de localización. Comparando con la distribución anterior,
si se evalúa la función de densidad para x=3, que corresponde a desplazar x=2 una unidad
hacia la derecha, el valor de la función de densidad es el mismo en ese punto, f(x)=0.0641.
El último gráfico corresponde a una Fréchet(5,1).
3.7.2. Distribución de Gumbel.
3.7.2.1. Características.
Fue descubierta por Emil Julius Gambel, matemático judío nacido en Alemania a finales del
siglo XIX. Es un caso particular de la distribución de valores extremos generalizada, y también
es conocida como la distribución log-Weibull, o como la distribución exponencial doble. Según
Reiss y Thomas (1997), la distribución de Gumbel tiene la misma importancia que la
distribución Normal en otras aplicaciones.
La función de distribución de la distribución de Gumbel es
38
mientras que la función de densidad viene dada por
La distribución de Gumbel corresponde al caso en el que
y
En ese caso, la función de distribución viene dada por
mientras que la función de densidad de probabilidad sería
Media
Varianza
Mediana
Moda
Coeficiente de Asimetría
Coeficiente de Curtosis
Función Generatriz de Momentos
Función Característica

Dada una variable aleatoria U con distribución uniforme en el intervalo
, entonces
la variable
sigue una distribución de Gumbel de parámetros y
Ejemplo 9: Sea

Si se tiene
entonces
Otra distribución relacionada con la de Gumbel es la Gompertz. Cuando la función de
distribución de Y es la inversa de la distribución de distribución de la distribución de
Gumbel estándar,
entonces Y tiene una distribución de Gumbel.
3.7.2.2. Representaciones gráficas.
A continuación se van a representar funciones de densidad y de distribución teóricas de la
distribución de Gumbel. Se representarán tanto para el máximo como para el mínimo,
comenzando para el máximo:
39
En primer lugar se ha representado la distribución de Gumbel para el máximo con valor del
parámetro de localización igual a 0, y con parámetro de escala igual a 1. Se trata de la
distribución de Gumbel estándar, y como se puede ver es algo asimétrica positiva. Por otra
parte, la función de distribución comienza a crecer más significativamente después de x = -2.
Seguidamente, la distribución que se representa tiene parámetro de localización igual a 3 y de
escala igual a 1.5. El valor al que corresponde el pico más alto de la función de densidad es x =
3, cosa lógica si se tiene en cuenta que la moda de una distribución de Gumbel coincide con su
parámetro de localización.
Respecto a la distribución anterior, se ha cambiado el parámetro de localización, que ha
pasado a ser 4 cuando antes era 3, luego la distribución se puede ver que se “mueve” una
unidad hacia la derecha.
40
Conforme se hace mayor el parámetro de localización (ahora vale 5), el gráfico de la
distribución se mueve más a la derecha.
Ahora el parámetro de localización vale 3, y el de escala 2; con lo cual, si se compara con la
distribución anterior, el gráfico se “traslada” hacia la izquierda, mientras que la escala cambia
siendo el gráfico de la distribución algo menos leptocúrtica.
En este caso se mantiene el parámetro de localización anterior, pero el de escala es más
grande, pues vale 2.5; la moda sigue siendo 3, pero ahora f(3) vale menos que para la densidad
anterior, pues la distribución ahora es más “aplastada”.
41
Por último, se representa la densidad y la función de distribución de una variable con
distribución de Gumbel para el máximo con parámetros
y
la moda vale 4, y a su
alrededor es donde se concentra mayor probabilidad.
El que en todos los ejemplos vistos la variable sea asimétrica positiva no es casualidad, ya que
al ser el coeficiente de asimetría para una variable con distribución de Gumbel para el máximo
siempre positivo, cualquier variable con esa distribución será asimétrica positiva,
independientemente de cuáles sean los valores de los parámetros.
3.7.2.3. Distribución de Gumbel para el mínimo.
También existe la distribución de Gumbel para el mínimo, cuya función de distribución viene
dada por
mientras que la función de densidad es
Algunas representaciones para este caso particular son:
42
Se puede ver un cambio bastante evidente respecto a los gráficos vistos antes para la
distribución de Gumbel para el máximo; ahora, las colas se concentran a la izquierda en la
función de densidad, con lo que la distribución es asimétrica negativa. Igualmente, se puede
ver que ahora la moda es 0, que coincide con el parámetro de localización como viene siendo
habitual (el de escala vale 0.5), y también se puede observar que el mayor crecimiento de la
función de distribución se produce a partir de
Ahora se ha cambiado el parámetro de localización, y como viene ocurriendo con los gráficos
de variables aleatorias relacionadas con valores extremos, la distribución se “traslada”; en este
caso se mueve una unidad hacia la derecha, pues el parámetro de escala sigue siendo el mismo.
Por último, se ha representado la distribución de Gumbel estándar para el mínimo, esto es, al
igual que en el caso del máximo, con parámetro de localización igual a 0 y de escala igual a 1.
Como en los dos casos anteriores, la cola está concentrada a la izquierda; la explicación de esto
es que, opuesto al caso del máximo, para la distribución de Gumbel para el mínimo la densidad
es asimétrica negativa, independientemente de los valores de los parámetros.
3.7.3. Distribución de Weibull.
3.7.3.1. Características.
Recibe su nombre del matemático sueco Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en
1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por
Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños en determinadas
partículas.
43
La función de densidad de una variable con esta distribución es la siguiente:
si
.
k es el parámetro de forma y
es el parámetro de escala de la distribución.
Su función de distribución de probabilidad viene dada por
si
Momento n-ésimo
Media
Varianza
Mediana
Moda
si
Coeficiente de Asimetría
Coeficiente de Curtosis.
donde
Función Generatriz de momentos del
logaritmo.
Función Característica del logaritmo.
También existe la distribución de Weibull con tres parámetros (se le añade el parámetro de
localización , cuya función de densidad de probabilidad viene dada a continuación:
, para
3.7.3.2. Representaciones gráficas.
A continuación se representan la función de densidad y de distribución de la Weibull para
distintos valores de sus parámetros; también se incluyen casos en los que se tienen tres
parámetros:
44
La primera distribución representada es la que tiene como parámetro de forma igual a 2 y de
escala igual a 1; al no haber parámetro de localización, este se supone igual a 0, con lo cual la
densidad y la distribución existen para valores mayores que ese valor. A la vista de la gráfica de
la función de densidad, se puede deducir que en este caso la distribución es asimétrica positiva,
mientras que de la representación de la función de distribución se puede deducir que el
crecimiento suele ser constante hasta que x= 1.5, a partir de donde empieza a decaer
ligeramente para crecer cada vez menos.
Ahora se cambia el parámetro de escala, que es mayor, luego cambia la escala de la
distribución; a la vista de la representación de la función de densidad se ve que pasa a estar
más “aplastada”, pero a la vez es más “ancha”.
45
En este caso, el parámetro de forma vale 2.5, mientras que el de escala es igual a 1. La
distribución es asimétrica positiva al estar la cola a la derecha y los valores con mayor
probabilidad más a la izquierda.
Ahora se vuelve a cambiar el parámetro de escala, que vale ahora 1.5; mientras que el de
forma sigue siendo 2.5, con lo cual no varía la forma de la distribución. Como ocurre con los
cambios de escala cuando el parámetro pasa a ser mayor, la distribución se “aplasta más” pero
abarca más valores con probabilidad significativa.
Ahora se ha añadido un parámetro de localización,
representaciones son para valores superiores a 3.
con lo cual ahora las
La siguiente distribución representada es una Weibull con parámetro de forma igual a 3 y de
escala igual a 1; esta parece más centrada, y su forma se parece a la de la Normal.
46
En la última representación, el parámetro de escala se ha ampliado a 2; se aprecia un cambio
evidente en la escala de los datos; mientras que la forma sigue siendo la misma, la distribución
es bastante simétrica.
3.8. Niveles de retorno. Estudio gráfico de la bondad del ajuste.
Otra definición importante es la de los niveles de retorno, que en algunos campos como la
hidrología o la climatología tienen mucha importancia. Son considerados como los cuantiles de
la distribución de valores extremos. Así, si (el nivel de retorno) es el cuantil de orden p de
una variable con distribución GEV, entonces p es la probabilidad de que sea superado una
vez al año; y el período de retorno, , es el número de unidades de tiempo que transcurrirán
en media entre dos veces en los que la variable supere el valor de
Ejemplo 4: si se tiene un período de retorno de 50 años, eso equivale a una probabilidad anual
de 0.02; y si el periodo de retorno es de 10 años, la probabilidad correspondiente sería de 0.10.
Relacionados con los niveles de retorno, existen los gráficos de nivel de retorno, en los cuales
se representan los niveles de retorno estimados y sus periodos de retorno asociados en una
escala logarítmica, ya que según Ketchen y Ver (2006) así la cola de la distribución está
comprimida, con lo cual las estimaciones de niveles de retorno para períodos de retorno largos
se pueden visualizar en el gráfico. Otros gráficos de diagnóstico usados para comprobar como
de buenos son los modelos de valores extremos son el gráfico P-P, el gráfico Q-Q y el gráfico de
densidad.

Sea
Gráfico P-P:
una muestra de una población con función de distribución estimada
Entonces, se representa el gráfico de dispersión de los puntos
,
gráfico que recibe el nombre de gráfico P-P. Si el modelo se ajusta bien a los datos, entonces
los puntos en el gráfico formarán una recta cuyo ángulo sea bastante cercano a los 45 grados.

Gráficos Q-Q:
Sea
una estimación de la función de distribución F basada en
una muestra
de una población con función de distribución estimada. Entonces, el gráfico de dispersión de
los puntos
i = 1, 2, …, n recibe el nombre de gráfico Q-Q. Al igual que en el
47
gráfico P-P, si el modelo se ajusta bien a los datos, entonces los puntos en el gráfico formarán
una recta cuyo ángulo sea bastante cercano a los 45 grados.
Otro gráfico que se suele utilizar para comprobar visualmente cómo de bueno es el modelo de
valores extremos es el gráfico de densidad, que representa los valores junto a un histograma y
la densidad teórica de la distribución.
Más adelante se verán ejemplos en los que se usan dichos gráficos para comprobar
gráficamente la bondad del ajuste.
3.9. Estimación de los parámetros por Máxima Verosimilitud.
Al ser los parámetros desconocidos, hay que estimarlos; según Coles (2004), existen muchas
técnicas distintas para hacer dichas estimaciones, pero la preferible es la estimación por
máxima verosimilitud. No es la técnica perfecta, ya que para algunos casos concretos los
estimadores obtenidos no se comportan adecuadamente, pero sí es la más útil para este caso
concreto. La estimación se hace por bloques, y lo que se quiere maximizar es la siguiente
función (logaritmo de la verosimilitud):
con la condición de que
para
Mientras que en el caso de que
la función a maximizar es la siguiente:
No es posible lograr una solución analítica para ninguna de las ecuaciones, pero si se tienen
unos datos concretos, se pueden resolver usando algoritmos de optimización numéricos
estándar. Más adelante, en este trabajo se verán con el paquete R estimaciones de los
parámetros por máxima verosimilitud dados conjuntos de datos concretos.
3.10. Ejemplos con bloques y con análisis gráficos.
Ejemplo 10: A continuación se va a trabajar con unos datos a los cuales se les va a aplicar un
modelo de valores extremos.
Los datos (Hipel and Mcleod, 1994) corresponden al desempleo anual en los Estados Unidos
desde 1890 hasta 1970.
Lo primero que se hace es cargar el fichero con los datos.
Luego, se crea un data.frame con los años y los valores para cada año.
48
Los valores junto con el año al que corresponden y su número de observación se pueden ver a
continuación:
Mientras que la representación gráfica de los datos es la siguiente:
49
A la vista del gráfico de los datos, se puede ver que los valores más grandes se dan entre 1930
y 1940.
A continuación se va a ajustar un modelo GEV para los datos, para lo cual hay que cargar el
paquete extRemes. Una vez dentro de él, se leen los datos y se le pide que ajuste los datos a
una distribución de valores extremos generalizada
50
Como se puede ver, el vector de parámetros estimado es:
mientras que la matriz de varianzas-covarianza es
El valor del estadístico usado para el test de razón de verosimilitudes es 20.19778, claramente
mayor que el valor crítico de una Chi-Cuadrado con un grado de libertad.
A continuación se pueden ver el gráfico probabilístico, el gráfico de cuantiles, el gráfico de
niveles de retorno y el gráfico de densidad:
51
A la vista de estos gráficos, el ajuste no parece malo, pues los datos están más o menos
dispuestos sobre la línea recta del gráfico probabilístico y el de cuantiles. En el gráfico de
niveles de retorno, se puede ver sin más que extrapolar que aproximadamente un nivel de
retorno igual a 30 corresponde a un período de retorno cercano a los 100 años.
Para terminar, se muestra el gráfico de la vida media residual:
52
Seguidamente se tiene con ejemplo:
Ejemplo 11: Se tienen datos correspondientes a las inundaciones en el “Río de las Plumas”
(Feather River), situado en California. Los datos van de 1902 a 1960, y están expresados en
pies cúbicos por segundo.
*Fuentes: (Benjamin, J.R. y Cornell, C.A. (1970). Probability, Statistics and Decicions for Civil
Engineers. McGraw-Hill, New York; y Pericchi, L.R. and Rodriguez-Iturbe, I. (1985). On the
statistical analysis of floods. En: A Celebration of Statistics. The ISI Centenary Volume, A.C.
Atkinson y S.E. Fienberg (eds.), 511-541.)
Se leen primero los datos.
A continuación se muestran junto con el año al que corresponden:
53
El ajuste que se ha hecho es el siguiente:
54
Se destaca el valor del estadístico del test del cociente de verosimilitud, es 2.725639, que es
menor que el valor crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de libertad (cuando se toma un
nivel de significación del 5%); el p-valor es 0.0987, y las estimaciones de los parámetros por
máxima verosimilitud serían las siguientes:
.
55
A la vista del gráfico probabilístico y el de cuantiles, los datos están cercanos a formar una
línea recta, así que el ajuste parece adecuado.
A continuación se va a ajustar un modelo de la distribución GEV para cada uno de los bloques
vistos en el ejemplo anterior; en esta ocasión, en vez de usar el menú de extRemes, se usará la
sentencia “gev.fit” que viene incluida en el paquete ISMEV:
56
“conv” corresponde al código de convergencia. Si vale 0 significa que hay convergencia, como
es el caso de este primer bloque.
“nllh” muestra el valor del logaritmo negativo de la verosimilitud evaluado en los estimadores
de máxima verosimilitud. En este caso vale 139.5141.
“mle” muestra el valor de los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros. La
estimación del parámetro de localización es 395112.9; del parámetro de escala 24147.69, y del
de forma, -0.12526. La razón de valores tan grandes es que al estar los datos divididos por
bloques, y ser en este caso los bloques de 12 datos, el número de datos no es demasiado
elevado, con lo cual se obtienen esas estimaciones con sesgos también altos. En este caso, la
desviación estándar del estimador del primer parámetro es 22709.13; del segundo, 18259.47,
y del tercero, 0.7003.
Para el segundo bloque que se ha formado hay convergencia a la hora de estimar; el logaritmo
negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones vale 138.3817, los valores estimados
de los parámetros son
y los correspondientes
errores estándar valen
.
Para el tercer bloque que se ha formado hay convergencia a la hora de estimar; el logaritmo
negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones vale 138.5130, los tres valores
estimados de los parámetros son
y los
correspondientes errores estándar valen
.
57
Para el cuarto bloque hay convergencia a la hora de estimar; el logaritmo negativo de la
verosimilitud evaluado en las estimaciones vale 145.6419, los valores estimados de los
parámetros son
y los errores estándar valen
; para
aparece un “NaN” (Not a Number),
posiblemente por haber tenido que dividir entre 0.
Para el bloque número 5 también hay convergencia; el logaritmo negativo de la verosimilitud
evaluado en las estimaciones tiene el valor de 141.5824, y los estimaciones de máxima
verosimilitud son
Como se puede ver, para los
errores estándar, aparece un “NaN” para cada parámetro.
Para el sexto bloque que se ha formado hay convergencia a la hora de estimar; el logaritmo
negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones vale 146.7671, los valores estimados
58
de los parámetros son
y los correspondientes
errores estándar valen
.
Para el bloque número 7, igual que para los seis anteriores, también hay convergencia; el
logaritmo negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones tiene el valor de 145.3059;
y los estimaciones de máxima verosimilitud son
Como se puede ver, para los errores
estándar aparece un “NaN” para cada parámetro.
Para el bloque 8 hay convergencia a la hora de estimar; el logaritmo negativo de la
verosimilitud evaluado en los estimaciones vale 140.4077 , las estimaciones de los parámetros
son
y los correspondientes errores estándar
valen
.
59
Por su parte, para el bloque 9 se tiene lo siguiente: hay convergencia también; el valor del
logaritmo negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones es 144.473. Los valores
estimados de los parámetros son
y los
correspondientes errores estándar valen
.
Para el bloque 10 se tiene que hay convergencia también; el valor del logaritmo negativo de la
verosimilitud evaluado en los estimaciones es 148.0332. Los valores estimados de los
parámetros son
y los correspondientes
errores estándar valen
.
Con el siguiente bloque, el 11, igualmente hay convergencia. El valor del logaritmo negativo de
la verosimilitud evaluado en los estimaciones es 145.0853. Los valores estimados de los
parámetros son
y los errores estándar para los
parámetros de escala y de forma valen
. Para el
parámetro de localización no se obtiene.
60
Para el bloque 12 se tiene que hay convergencia también; el valor del logaritmo negativo de la
verosimilitud evaluado en las estimaciones es 143.9937. Los valores estimados de los
parámetros son
y los errores estándar
asociados valen
.
Con el siguiente bloque, el 13, al igual que con los doce anteriores, también hay convergencia.
El valor del logaritmo negativo de la verosimilitud evaluado en las estimaciones es 143.621. Los
valores estimados de los parámetros son
y los errores estándar para los parámetros de escala y de forma valen
. Para el parámetro de localización no se obtiene valor del error
estándar.
Para el último bloque también hay convergencia; el logaritmo negativo de la verosimilitud
evaluado en las estimaciones vale 139.2543. Los valores estimados de los parámetros son
61
y los errores estándar asociados valen
.
En el caso del penúltimo bloque se da asimismo la convergencia, el valor del logaritmo
negativo de la verosimilitud evaluado en los estimaciones vale 142.731. El vector con las
estimaciones es
El valor del error estándar del
estimador sólo aparece para
y es igual a 0.2883.
Por último, en el bloque 16 también se cumple la convergencia, con la cual la hay en todos los
bloques. El vector con las estimaciones es
y
Los errores estándar valen
; para
aparece un “NaN”
(Not a Number).
62
CAPÍTULO 4: MODELOS DE UMBRALES.
4.1. Excedencias.
Los autores suelen dar bastante importancia a los modelos de umbrales dentro de la teoría de
valores extremos. En algunos casos, es mejor usar modelos de umbrales para estudiar valores
extremos, antes que usar la distribución GEV.
En este contexto, se parte de unos datos originales
Entonces a los valores
si
superaciones del umbral.
y se fija un umbral u.
se les llama excedencias o
Una definición más formal de las excedencias es la siguiente:
-Definición 1: Sea
que el suceso
una variable aleatoria unidimensional, y sea u un umbral fijado. Se dice
es una excedencia del umbral u, si se cumple que
Ejemplo 1: Un dique rompeolas se puede destrozar cuando las olas por ejemplo alcanzan una
altura de 10 metros, 1 con lo cual no importa si la altura de la ola es de 10.1, 11.5 ó 25 metros
pues en cualquier caso el rompeolas será destrozado.
Ejemplo 2: Este ejemplo está relacionado con el llamado “límite elástico”. Normalmente, los
puentes colgantes están sujetos por cables largos, pero en algunos laboratorios se
experimenta con cables más cortos que son mucho más resistentes que los largos, lo cual se
explica por el “principio del eslabón más débil”, según el cual la fuerza de una pieza larga es la
mínima fuerza de todas las piezas que la forman. Por lo tanto, el ingeniero que realiza el
estudio en el laboratorio, tiene que extrapolar sus resultados teóricos a cables reales. En este
caso, el diseño de un puente colgante requiere que se sepa cuál es la probabilidad de que la
resistencia del cable esté por debajo de ciertos valores, así que por esa razón en este ejemplo
los valores debajo de un umbral son importantes.
Ejemplo 3: Se considera una muestra de 10 valores generados según una Poisson de
parámetro 10, y se considera el umbral u=40. Dichos valores (generados con R) son los
siguientes:
Para ver las excedencias, hay que restar a los valores de la muestra el umbral, y luego ver
cuáles de estos valores son positivos:
Como se puede ver, resultan sólo dos valores positivos, luego sólo dos valores de la muestra
son mayores que el umbral establecido. Si se consideran como valores extremos a los que
cumplen esa condición, ser mayor que el umbral, entonces los dos únicos valores extremos de
la muestra serían la octava y novena observación.
63
Los datos representados junto al umbral (dibujado mediante una línea horizontal) se pueden
ver a continuación:
Ejemplo 4: Se tienen los datos reales (Hipel and Mcleod, 1994) que corresponden al número
de nacimientos por cada 10.000 de mujeres de 23 años en los Estados Unidos desde 1917 a
1975.
Como es habitual con este tipo de ejemplos, primero se leen los datos externamente y luego
se asignan a un “data.frame”:
Los datos son los siguientes:
64
Mientras que los datos representados junto al umbral que se selecciona a priori
son los siguientes:
65
Como se puede ver, son siete los valores mayores que el umbral, por lo que si se consideran
como valores extremos aquellos mayores que el umbral dado, dichos valores serán valores
extremos para estos datos.
En concreto, los valores mayores que el umbral son los siguientes:
que son los años entre 1956 y 1962, ambos inclusive.
También se puede ver cuáles son los valores extremos usando las excedencias:
66
La nueva columna, “exced”, sirve para obtener las excedencias del umbral calculando las
diferencias de cada valor respecto al umbral, para luego saber qué valores son superiores a u y,
por tanto, son excedencias:
Como se puede ver, los años en los que el valor supera al umbral (que coinciden con los que la
variable “exced” es mayor que 0) son los mismos que antes.
La distribución de la excedencia del umbral u, partiendo de una variable aleatoria
es :
67
Según Coles, para un umbral suficientemente grande se puede calcular dicha distribución, que
aproximadamente sería
definida para
donde
Dicha función de distribución corresponde a la de la familia de Pareto Generalizada,
distribución que se estudiará más adelante en este trabajo.
Así, las observaciones de las excedencias,
se consideran realizaciones de una
variable aleatoria con distribución aproximada de Pareto generalizada.
Por otra parte, también es importante estudiar el número de veces que las observaciones son
mayores que el umbral, esto es, el número de excedencias sobre u. Dadas las variables
aleatorias
idénticamente distribuidas, se define K como
donde
Entonces la distribución de K viene dada por
que corresponde a la f.m.p. de una variable Binomial de
parámetros n y p, donde
, ya que es la probabilidad de que el valor sea superior
al umbral. Con lo cual, el número medio de excedencias del umbral vendrá dado por
Ejemplo 5: Sean
variables idénticamente distribuidas según una Normal con
media 45 y desviación típica 3. Se considera el umbral
Se quiere calcular el número
esperado de excedencias del umbral.
Se tiene que
y ahora se ha de calcular
Se tiene que
por lo que simplemente hay que calcular la probabilidad de que
una Normal con media 45 y desviación estándar 3 sea menor o igual que 50. Dicha
probabilidad, calculada en R, es:
Por tanto,
Con lo cual, se espera que el umbral sea superado en media
veces, y redondeando, lo esperable es que de cada 10 veces sólo 1 se supere el umbral.
Ejemplo 6: Se considera el ejemplo 1 visto anteriormente del rompeolas. En particular, se
tiene un rompeolas cuya esperanza de vida es 60 años, y se supone que la probabilidad de que
la ola supere la altura de 10 metros es 0.15, entonces la probabilidad de que haya 15 años en
los que haya excedencias durante esos 60 años de vida viene dada por la probabilidad de que
una Binomial con parámetros n = 60 y p = 0.10 tome el valor 15; esto es,
68
También, para un n suficientemente grande, se pueden aproximar las probabilidades
anteriores de la Binomial mediante una Poisson. La Poisson aproximada tendría como
parámetro
Ejemplo 7: (Castillo, Hadi, Balakrishnan y Sarabia (2004)). Un ejemplo de la distribución de
Poisson aplicada a valores extremos es el siguiente: Se supone que las tormentas con cierta
intensidad ocurren en media cada 80 años en un determinado lugar, y se quiere calcular la
probabilidad de que no haya una tormenta en un año determinado. Si se supone que la
variable tiene una distribución de Poisson, su parámetro  viene dado por 1\80=0.0125, así
que la probabilidad que se quiere calcular es
Por tanto, la probabilidad de que no haya tormenta en cierto año es 0.9876.
Relacionados con el número de excedencias sobre el umbral, también algunos autores como
Reiss y Thomas (1997) mencionan los tiempos de excedencias, esto es, en qué momentos el
umbral es superado, algo que también es de interés. Si
son las excedencias
sobre el umbral u, entonces
son los tiempos de excedencia ordenados.
Si se tiene una sucesión infinita de variables aleatorias
idénticamente distribuidas, y
se tiene un umbral u, el primer tiempo de excedencia en ese umbral viene dado por
, mientras que el segundo tiempo de excedencia es
, de lo cual se deduce que para un r genérico,
para
Es también interesante estudiar la distribución de los tiempos de excedencia respecto a un
umbral. Los tiempos de excedencia,
son independientes entre sí (y
consiguientemente, los periodos de retorno,
, también) y están
distribuidos según una variable geométrica de parámetro
ya que se mide el
número de intentos hasta el primer éxito (cuando el umbral es superado). Así, la probabilidad
de que por ejemplo el primer tiempo de excedencia sea k suponiendo que las variables sean
además independientes es la siguiente:
siendo k un entero positivo.
Por tanto, el tiempo esperado para que ocurra la primera excedencia viene dado por la
esperanza de una variable geométrica de parámetro
, esto es,
Ejemplo 8: Se tiene el ejemplo anterior de las variables
idénticamente
distribuidas según una
con umbral
Se calculó antes que
Entonces, la media del primer tiempo de excedencia viene dada por
La probabilidad de que el primer tiempo de excedencia sea k sería la siguiente:
69
para k entero positivo.
Para varios valores de k, la probabilidad asociada viene en la siguiente tabla:
k
PROBABILIDAD
1
0.10565
2
0.0945
3
0.0845
4
0.0756
5
0.0676
6
0.06045
7
0.0541
8
0.04835
9
0.0432
10
0.0387
Para terminar con esta parte, se va a estudiar un concepto similar al de niveles de retorno visto
en el capítulo sobre la distribución GEV; dicho concepto es el de umbral de retorno, y viene
dado por
, que corresponde al umbral en el cual la media del tiempo de
la primera excedencia es T.
Es fácil ver que
por lo que sin más que despejar, se obtiene que
El umbral de retorno es superado con probabilidad por la observación en un
periodo dado.
4.2. La Distribución de Pareto Generalizada.
La distribución de Pareto Generalizada tiene una gran importancia en los modelos de umbrales
en particular y en la teoría de valores extremos en general, ya que es la distribución límite de
las excedencias de umbrales.
Ahora se van a estudiar varias características de la distribución de Pareto Generalizada. Para
comenzar, los parámetros de la distribución cuando ésta tiene tres parámetros son
(parámetro de localización), (parámetro de escala) y (parámetro de forma).
Su función de densidad viene dada por
70
ó
para
cuando
y
cuando
mientras que la función de distribución
es la siguiente:
para
cuando
,y
cuando
donde
Algunas características de esta distribución son las siguientes:
Media
Varianza
(siempre que
(siempre que
)
Mediana
En el caso de que la distribución tenga dos parámetros (caso más común, corresponde a
, su función de densidad viene dada por:
mientras que la función de distribución es:
El p-cuantil viene dado por:
También existe la distribución Generalizada de Pareto para el mínimo, cuya función de
densidad es
71
La función de distribución correspondiente es:
que es la distribución límite de

Y el cuantil de orden p viene dado por
Para simular valores de una variable distribuida según una distribución de Pareto
Generalizada con tres parámetros, se usa el siguiente resultado: si U es una variable
con distribución Uniforme y definida en el intervalo
entonces la siguiente
variable
sigue una distribución de Pareto Generalizada con parámetros
La d¡Distribución de Pareto Generalizada para el máximo con parámetros (
siguientes casos particulares:



tiene los
Cuando
la distribución de Pareto Generalizada con dos parámetros para el
máximo es la distribución exponencial con media
Cuando
la distribución de Pareto Generalizada con dos parámetros para el
máximo es la distribución uniforme de parámetros 0 y
Mientras que esa distribución para el mínimo y también con parámetros
particulares análogos:

y
y tiene casos
Cuando
la distribución de Pareto generalizada con dos parámetros para el
mínimo es la distribución exponencial inversa con media
Cuando
la distribución de Pareto generalizada con dos parámetros para el
mínimo es la distribución uniforme de parámetros –
y 0.
La distribución generalizada de Pareto para el máximo y su caso análogo para el mínimo están
relacionadas de una forma bastante similar al caso de la distribución GEV para el mínimo y
para el máximo. Si
donde
es la distribución generalizada de Pareto
para el máximo, entonces
siendo
la distribución generalizada
de Pareto para el mínimo. Igualmente,
72
Aunque en este trabajo lo que se hará será simular valores de esta distribución usando el
paquete extRemes; con dicho programa sólo hay que introducir los parámetros de escala y de
forma y el umbral para simular los datos.
A continuación, y como se hizo en el tema anterior de este trabajo con la distribución de
valores extremos generalizada, se van a simular valores de variables con distribución de Pareto
Generalizada usando R.
4.3. Ejemplos.
4.3.1. Datos simulados.
Para empezar, se comienza simulando datos de una variable GP(5, 0.6). El umbral se pone
como 0, el número de datos que se van a simular es 50 y los datos se guardan como “datos1”:
La representación gráfica de los datos es la siguiente:
73
(Se puede ver que todos los datos generados son superiores al umbral establecido).
A continuación se van a generar datos también de una GP(5, 0.6), pero ahora el umbral se va a
aumentar y va a pasar a ser 10. Los datos se almacenan como “datos2”:
74
(Al igual que para los datos anteriores, todos los valores son superiores a 10, que es el umbral).
Ahora se va a generar una GP(7, 0.3), siendo el umbral 5. Los 50 valores simulados (“datos3”)
son los siguientes:
El gráfico de los datos se puede ver a continuación.
75
(También los 50 valores generados son mayores que el umbral, 5).
Ahora se cambia el parámetro de forma, con lo cual la distribución que se simula es una GP(7,
0.9), con umbral igual a 5. Los datos (“datos4”) son los siguientes:
Y la representación gráfica de los datos es:
76
Al igual que para los otros datos, los valores son todos superiores al umbral, pero se puede
apreciar claramente que la forma de la distribución de los valores ha cambiado.
Por último, se va a probar a cambiar el parámetro de escala, así que primero se van a generar
50 valores de una GP(10, 0.2), con umbral 15. Dichos datos (“datos5”) son los siguientes:
La representación gráfica de estos datos se puede ver a continuación:
77
(Como viene siendo habitual, todos los valores simulados son mayores que el umbral).
Ahora se va a simular una GP(20, 0.2) con umbral 15, se ha cambiado en esta ocasión el
parámetro de escala. Los datos generados (“datos6”) son los que vienen a continuación:
Y su representación gráfica:
78
Se puede apreciar un cambio en la escala de variación de los datos.
4.3.2 Representación de distribuciones de Pareto generalizadas teóricas.
En este apartado se van a representar varias distribuciones teóricas de la distribución de
Pareto generalizada. Al igual que con las representaciones para la distribución GEV, para el
programa EasyFit, si bien para la Pareto Generalizada se incluyen los mismos parámetros,
estos aparecen en otro orden: primero el de forma, segundo el de escala y tercero el de
localización:
La primera distribución representada es una GP(0, 1, -3), o una GP(1, -3) con dos parámetros.
Como se puede ver, la cola de la distribución está a la izquierda, y partir del valor
comienza un crecimiento significativo.
79
Ahora se cambia el parámetro de forma, y la distribución representada tiene parámetro de
escala también igual a 1, pero de escala igual a -0.7. A la vista de los gráficos de la función de
densidad y de distribución se observa un cambio bastante evidente en la representación.
En este caso también se mantienen los parámetros de localización y de escala, pero el de
forma ahora es positivo; al contrario que en el primer ejemplo, ahora las colas están a la
derecha, y el crecimiento va disminuyendo conforme aumentan los valores de x. La forma de la
función de distribución también es bastante distinta pues el mayor crecimiento ahora es al
principio.
Lo que se cambia ahora es el valor del parámetro de escala, que es 1.25 (se tiene una GP(1.25,
3)); se puede apreciar el cambio en la escala pues ahora la representación está más “aplastada”
y con una cola que abarca más.
80
Esta representación es análoga a la anterior, simplemente el parámetro de escala sigue
aumentando y pasa a ser 1.75. Como es lógico, la cola se ensancha más.
La distribución que se tiene ahora es una GP(1, 3, 3), respecto a la anterior se ha cambiado el
parámetro de localización y el de escala; sobre todo se destaca el cambio del parámetro de
localización, pues ahora la densidad y la distribución están representadas para valores
superiores a 1.
Por último, se representa una GP(2.5, 1, 3). La distribución no es nula para valores mayores
que 2.5, la cola está concentrada a la derecha con lo cual los valores más probables están a la
izquierda (a la derecha de
, y el mayor crecimiento de la función de distribución, como
es esperable, es para también los valores más cercanos a la izquierda.
4.3.3. Ejemplos con datos reales.
81
A continuación se van a usar ejemplos prácticos de modelos de umbrales con datos reales.
Ejemplo 9: El primer ejemplo, corresponde a la temperatura corporal en grados Celsius medida
a una mujer por la mañana durante 60 días seguidos (la fuente exacta de los datos es
desconocida, pero están sacados de la página http://robjhyndman.com/TSDL/health/), y son
unos datos útiles para esta parte del trabajo pues justamente la temperatura corporal es un
muy buen ejemplo del uso de umbrales; se dice que una persona tiene fiebre cuando su
temperatura es mayor que 37º C, con lo cual se puede considerar el umbral como 37, con lo
cual habría excedencias siempre que se rebasase dicha temperatura.
Primero de todo, se leen en R los datos externos:
A continuación, se pueden ver los 60 datos:
Y la representación gráfica de los datos se puede visualizar a continuación:
82
A continuación, se va a intentar ajustar una distribución de Pareto generalizada a los datos
usando el paquete extRemes. Como umbral, se introducirá 37, y el número de observaciones
anuales coincidirá con el número de observaciones que hay en los datos, pues todas las
observaciones son en 60 días seguidos.
El estadístico del cociente de verosimilitud es relativamente grande, 154.2240, que es superior
al valor crítico de la chi-cuadrado con 1 grado de libertad, con lo cual el p-valor es bastante
pequeño. Se puede ver que hay un total de 6 excedencias, y que el valor estimado del
parámetro de escala es 1.5047, mientras que el del parámetro de forma es -1.6719. La
representación de la distribución teórica con esos parámetros es la siguiente:
Los gráficos probabilístico, de cuantiles y de niveles de retorno parecen además que el ajuste
no es bueno:
83
El gráfico de densidad no aparece, como se puede ver, presumiblemente por la escasez de
excedencias.
Ejemplo 10: Se van a intentar ajustar otros datos (Shumway y Stoffer, 2000) correspondientes
al espesor de 634 varvas glaciares en el estado norteamericano de Massachusetts.
Dichos datos son los siguientes:
84
85
Un resumen estadístico inicial de los datos se puede ver a continuación:
86
La representación gráfica de los datos es la siguiente:
Al contrario que en el ejemplo anterior, esta vez no hay un umbral “predeterminado”, con lo
cual habrá que buscar alguna forma de seleccionar un umbral. Una buena opción es usar el
gráfico de la vida media residual, que puede servir para ver cual umbral es mejor en función de
la representación gráfica.
87
Se va a seleccionar un umbral u = 75, pues a partir de ese valor aproximadamente se aprecia
un cambio significativo en el que el gráfico comienza a ser lineal (localmente). Así que en
principio se va a seleccionar dicho umbral.
El análisis es el siguiente:
El valor del estadístico del test de la razón de verosimilitudes es 5.1454, que es mayor que el
valor crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de libertad, que es 3.841459, mientras que el pvalor es 0.0233. En total hay 29 excedencias de umbral, y el vector de parámetros estimado es
el siguiente:
Los errores estándar estimados son 3.0616 y 0.3421,
respectivamente,mientras que la matriz estimada de covarianzas es la siguiente:
Y para terminar con este ejemplo, se tienen el gráfico probabilístico, el gráfico de cuantiles, el
gráfico de niveles de retorno y el gráfico de densidad:
88
Para este ejemplo sí se puede ver el gráfico de densidad. En los gráfico probabilístico y de
cuantiles, los datos están más o menos en línea recta (sobre todo en el primer gráfico), aunque
se observan ciertas desviaciones.
Ahora se va a cambiar el umbral, para probar si el ajuste realizado es peor o mejor que el
anterior. El nuevo umbral, también en una zona cercana al anterior donde empieza a haber
linealidad, ahora es u = 85.
Primero de todo, se ve que el valor del estadístico del test de la razón de verosimilitudes es
bastante más pequeño, 0.1757, con lo cual se sugiere que este modelo sí es más adecuado
para los datos que el anterior. Ahora el número de excedencias es menor, 13 en concreto.
89
El vector de parámetros estimado es el siguiente:
Los errores
estándar estimados son 10.2617 y 0.4992, respectivamente; mientras que la matriz estimada
de covarianzas es la siguiente:
Por último, se muestran los gráficos para visualizar el ajuste del modelo:
Al igual que en el caso anterior, los datos están más o menos en línea recta (sobre todo el
gráfico probabilístico), pero no demasiado clara, aunque se observan ciertas desviaciones.
90
CAPÍTULO 5: OTROS ASPECTOS.
En este último capítulo se tratan otros aspectos relacionados con la teoría de valores extremos
que, si bien no pretenden en este trabajo darles un desarrollo tan extenso como el de los dos
capítulos anteriores, si merecen que se les mencione brevemente.
5.1. Valores extremos en Series Estacionarias.
Intuitivamente, una serie temporal se considera estacionaria si sus propiedades estadísticas
(media, varianza…) son constantes a lo largo del tiempo.
Otra definición algo más concreta es la siguiente: una proceso (o serie) estacionario es aquel
en el que las distribuciones de probabilidad se mantienen estables a lo largo del tiempo; esto
es, que la distribución de un conjunto de variables se mantiene igual aunque dichas variables
se desplacen h unidades. Esta misma definición, se puede expresar de una manera más formal
de la siguiente forma:
-Definición 1: Sea
una serie temporal. Se dice que dicha serie es estacionaria si
para cada conjunto de índices temporales
la distribución conjunta de
coincide con la distribución conjunta de
Según Beirlant, Segers, De Waal y Ferro, estudiando series temporales dependientes, se tiene
que la dependencia afecta al comportamiento cualitativo de los valores extremos; con lo cual
se necesitan nuevos métodos y herramientas para abarcar este tipo de estudio de valores
extremos.
Existen dos formas de analizar valores extremos en una serie temporal; la primera consiste en
elegir un modelo para los valores extremos del proceso, y ajustarlo a los valores extremos de
los datos. La segunda parece más difícil, porque trata de elegir un modelo de serie temporal
para el proceso completo, ajustarlo a los datos y luego intentar estudiar el comportamiento de
los valores extremos de dicho proceso.
Se tiene la siguiente definición de la que hacen mención varios autores:
-Definición 2: Una serie estacionaria
si, para todo
donde
para alguna sucesión
se dice que satisface la condición de los
con
entonces
de forma que
cuando
Según Coles, esa condición asegura que, para grupos de variables que están suficientemente
lejanas, la diferencia en probabilidades anterior (mientras no sea 0) es suficientemente
cercana a cero para no tener efecto en las leyes de límites para extremos.
Se tiene el siguiente teorema, de Leadbetter:
-Teorema 1: Sea
un proceso estacionario y defínase
si
y
son sucesiones de constantes de forma que
Entonces
91
cuando
donde G es una función de distribución no degenerada, y la condición de los
se cumple
para
para cada real z, entonces G pertenece a la familia de distribuciones de
valores extremos generalizada.
5.2. Valores Extremos en Series no estacionarias.
Al contrario que en los procesos estacionarios, las características de las series temporales no
estacionarias cambian con cierta frecuencia a lo largo del tiempo.
La no estacionariedad se puede expresar a través de cambios en los parámetros del modelo;
por ejemplo, se puede expresar el parámetro de localización como un polinomio de tercer
grado:
O como una función lineal sin termino constante:
Con lo cual el modelo que se tiene para la serie temporal no estacionaria es:
Que desglosando más, sería una
para el primer caso, y una
para el segundo.
También se puede expresar la no estacionariedad en el parámetro de escala:
Pero para el parámetro de forma, es menos bueno expresarlo también en función de tiempo
ya que los parámetros de forma son difíciles de estimar con precisión.
Aún así, un modelo con todos sus parámetros expresados en función del tiempo sería:
Al igual que con el modelo GEV “estándar”, y con los modelos de umbrales, también se pueden
hacer estimaciones por máxima verosimilitud, o mediciones de la bondad del ajuste del
modelo.
5.3. Caso de variables no independientes ni idénticamente distribuidas.
Éste es otro caso que mencionan algunos autores y que es interesante tratar. Aquí se parte de
las variables aleatorias
, donde cada una tiene su distribución marginal,
y donde
además esta vez no se supone que las variables sean independientes entre sí.
Este tipo de variables se usan en campos donde existe una relación de dependencia, tales
como ecología o meteorología.
92
Según Falk, Hüsler y Reiss (2010), para tratar los valores extremos de este tipo de secuencias,
se necesita una teoría más general para valores extremos, pues la teoría clásica está bastante
limitada para las series no independientes ni idénticamente distribuidas.
El caso de las variables no independientes ni idénticamente distribuidas se puede generalizar
de varias maneras mediante la no suposición de independencia o no suponiendo la idéntica
distribución de las variables
Según los autores anteriores, se ve que en el caso estacionario o en el que existe sólo
independencia, el comportamiento de los valores extremos y sus excedencias de un nivel u
puede ser bastante distinto al caso de las variables independientes e idénticamente
distribuidas.
5.4. Caso Multivariante.
Según Kotz y Nadarahaj (2001), la teoría que trata los valores extremos multivariantes, pese a
ser bastante nueva, se ha convertido en un campo en el cual se ha avanzado bastante.
Un ejemplo en el que se puede utilizar la teoría de valores extremos multivariante está
relacionado con Internet; concretamente con datos de tráfico en Internet, ya que su
distribución se comporta como una variable con cola pesada. En este ejemplo (Maulik Et. Al,
2002), la teoría de valores extremos multivariante puede usarse en varias de las variables
usadas, como son el tamaño del archivo transferido, la tasa media de “thoughput” (término
usado para denotar el volumen de información que fluye a través de un sistema) y la cantidad
de tiempo que se toma para transferir el archivo.
El desarrollo multivariante es análogo al univariante; si se tienen los vectores aleatorios
e idénticamente distribuidos con función de distribución conjunta F, el
máximo se obtendrá componente a componente.
Así,
por lo que
ya que se cumple que
si y sólo si,
Para definir los máximos multivariantes, se calculan los extremos componente a componente.
Al igual que en el caso unidimensional, la función de distribución se puede sustituir por una
distribución límite:
para vectores
y
Si se cumple para elecciones adecuadas de
Multivariante de Valores Extremos.
y
entonces G es una Distribución
Según Coles, un problema que tienen los procesos multivariantes es que en niveles altos la
dependencia suele estabilizarse, de tal modo que los sucesos más extremos están más
cercanos a la independencia, por lo cual, según dicho autor, el aplicar métodos tradicionales a
procesos de ese tipo puede conducir a resultados engañosos.
93
5.5. Extremos espaciales.
Existen casos en los que interesa tratar con valores extremos en un contexto espacio-temporal,
pues aparte de los valores de la variable correspondiente en el tiempo, se tiene una
localización. Algunos ejemplos de este tipo de extremos son avalanchas, olas de calor, etc. Si
las localizaciones están indexadas, se puede definir
como el valor de la variable en una
localización
Se trata de trabajar con el
(y en su caso con
esto es, con el máximo (y mínimo) de variables espaciales. Al igual que en el caso no-espacial,
existe un análogo de las series máximo y mínimo estables (los procesos espaciales máximo y
mínimo estables). Cuando se pretende modelizar procesos espaciales, la metodología usada es
análoga a la usada anteriormente con el teorema de valores extremos.
5.6. Teoría bayesiana aplicada a valores extremos.
La teoría bayesiana también tiene aplicación dentro de los valores extremos. Es más, es
bastante importante porque en muchas ocasiones es preferible su uso a otros métodos
clásicos de estimación de valores extremos tales como la máxima verosimilitud. Coles afirma
que es bueno incluir análisis bayesianos de valores extremos pues al ser los datos extremos
escasos, el usar una distribución a priori puede ser útil para tener más información; y sobre
todo porque la inferencia bayesiana proporciona un análisis más completo que la inferencia
por máxima verosimilitud, porque además esa inferencia no depende de hipótesis, al contrario
que en el caso de máxima verosimilitud, que sí las requiere. Así, se puede estimar la
probabilidad de que un suceso futuro alcance un nivel extremo a través de la distribución
predictiva, que tiene en cuenta la incertidumbre del modelo, y la incertidumbre debida a la
variabilidad en futuras observaciones.
5.7. Procesos puntuales.
La teoría de procesos puntuales tiene bastante utilidad en el campo de los valores extremos
(en particular, tienen especial utilidad en el campo de la ingeniería), pues proporciona
herramientas útiles que sirven para demostrar resultados importantes para valores extremos.
Un proceso puntual se puede definir, de forma no demasiado formal, como una distribución
aleatoria de puntos dentro de un espacio. Una vez que se ha definido un proceso puntual, se
pueden calcular probabilidades como las siguientes:
-Probabilidad de ocurrencia de un número dado de sucesos.
-Probabilidad del tiempo que pasa entre sucesos consecutivos.
-Probabilidad de que el suceso k-ésimo ocurra en un tiempo sea mayor que un cierto valor t.
Según Coles, existen dos motivos por los que considerar esta aproximación: el primero, porque
proporciona una interpretación del comportamiento de los valores extremos que unifica todos
los modelos vistos hasta ahora; segundo, el modelo conduce directamente a una verosimilitud
que permite una formulación más natural de la no-estacionariedad en las superaciones de
umbrales de la que se obtiene con el modelo de Pareto generalizado.
94
5.8. Caso de colas pesadas.
En Estadística, las distribuciones con colas pesadas son aquellas cuyas colas son más pesadas
que la de la distribución exponencial, que es la distribución referencia para afirmar si una
distribución tiene colas pesadas o no. Según Embrechts, Klüppelberg y Mikosch (2008), este
tipo de distribuciones son importantes sobre todo en series financieras. Al tener las colas más
pesadas, hay más probabilidad concentradas en ellas, luego es más probable encontrar valores
extremos en ese tipo de distribuciones que en una distribución que no tenga colas pesadas.
95
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