Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Resortes en serie y en paralelo

Laboratorio de Vibraciones Mecánicas
Departamento de Ingeniería Mecánica
Práctica
PARTICIPACION
5%
PRESENTACIÓN
10%
INVESTIGACIONES
10%
CÁLCULOS Y DIAGRAMAS
15%
NOMBRE
RESULTADOS
30%
MATRICULA
CONCLUSIONES
25%
GRUPO DE LAB
COMENTARIOS Y OBSERVACIONES
1a
Resortes en serie y
en paralelo
5%
PROFESOR
INSTRUCTOR
TOTAL
100%
OBJETIVOS
•
•
•
El alumno comprenderá el significado de la constante de rigidez de un resorte y su
relación con la fuerza elástica que éste ejerce sobre una masa en un sistema con
movimiento armónico simple.
Se analizarán las diferencias entre configuraciones de resortes en serie y paralelo en
forma analítica y experimental.
Se verificarán distintos métodos para determinar la constante de rigidez de un
resorte en forma experimental.
FUNDAMENTOS
Los resortes son elementos ampliamente utilizados para la construcción de sistemas
dinámicos. Dichos elementos tienen la propiedad de ejercer una fuerza restauradora de
naturaleza elástica cuando sufren una deformación relativa entre sus extremos. Esta fuerza
puede ser representada a través de la ecuación
F = − kx
(1)
donde el signo negativo indica que un resorte siempre ejercerá una fuerza en dirección
contraria a la dirección en que es deformado. La naturaleza de la fuerza restauradora de un
resorte es elástica dado que tiene un comportamiento lineal, como el que puede apreciarse en la
fig. 1.
Figura 1.- Representación gráfica de la relación fuerza vs.
deformación en una zona elástica enunciada por la Ec. (1).
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Cuando se analiza el efecto de las fuerzas ejercidas por los resortes sobre una o distintas
masas en un sistema dinámico se toman en cuenta las siguientes consideraciones:
a) La masa es despreciable, dado que no contribuye significativamente al peso
del sistema.
b) No existe amortiguamiento interno en el resorte.
La fuerza resultante que ejercen los resortes sobre las masas en los sistemas dinámicos
depende de su configuración espacial en dicho sistema: serie (fig. 2a) o paralelo (fig. 2b).
Figura 2.- Configuraciones de resorte. (a) serie, (b) paralelo y
(c) sistema equivalente.
Las configuraciones en serie y paralelo mostradas en la fig. (2) pueden ser representadas
a través de un sistema equivalente. El valor de la constante de rigidez equivalente para dicho
sistema (keq) es diferente para cada una de las dos configuraciones. Para encontrar el valor de
dicha constante se analizarán ambos casos.
A. Resortes en serie
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que aparece
en la fig. (3). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio
∑F =0
(2)
FR = Feq
(3)
por lo que
debe notarse que ambos resortes en serie están sometidos a la misma fuerza. Esto
significa que
FR = k1δ1 = k2δ 2
(4)
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donde δ1 y δ2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2 respectivamente, las
cuales se obtienen a partir de la Ec. (4) como
δ1 =
FR
k1
(5a)
δ2 =
FR
k2
(5b)
La deformación equivalente δeq es igual a la suma de las dos deformaciones δ1 y δ2 de los
resortes en serie
δ eq = δ1 + δ1
(6)
de acuerdo con las Ecs. (1) y (3) la deformación δeq es también
δ eq =
FR
keq
(7)
de tal manera que sustituyendo las Ecs. (7), (5a) y (5b) en la Ec. (6) se tiene que
FR FR FR
=
+
keq k1 k1
o bien
1
1 1
= +
keq k1 k1
(8)
por lo que la constante equivalente de rigidez de un sistema de resortes en serie es
keq =
k1k2
k1 + k2
(9)
Figura 3.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en serie y
(b) sistema equivalente.
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B. Resortes en paralelo
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el que
aparece en la fig. (4). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio de la Ec. (2) por
lo que
FR1 + FR 2 = Feq
(10)
debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posición de equilibrio, por lo que la
deformación de todos los resortes es la misma
δ1 = δ 2 = δ eq
(11)
sustituyendo Ec. (11) en la Ec. (10) se llega a la expresión
k1δ eq + k1δ eq = keqδ eq
o bien
k1 + k1 = keq
(12)
Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en paralelo y
(b) sistema equivalente.
MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR
•
•
•
•
•
Marco para soporte de sistemas masa – resorte.
Resortes con diversas constantes de rigidez.
Medidor Vernier.
Masas de distintos valores.
Cronómetro.
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PROCEDIMIENTO
Obtenga los valores de las constantes de rigidez utilizando los dos siguientes métodos:
1. Haga oscilar el sistema masa – resorte colocando una masa conocida y un resorte de
rigidez desconocida. Con la ayuda del cronómetro obtenga la frecuencia natural de
oscilación y posteriormente calcule el valor de k a partir de la Ec. (13). Nota:
recuerde que la frecuencia natural considerada en dicha ecuación tiene unidades de
rad/s y la relación que existe con el periodo T (en segundos) que usted puede medir
con el cronómetro es ω=2π/T.
ωn =
k
m
(13)
2. Fije un extremo del resorte en el marco de soporte y coloque en el otro extremo una
serie de masas conocidas. Para ello comience con una sola masa de tal manera que
produzca una elongación pequeña en el resorte y mida la nueva longitud del mismo.
Posteriormente coloque otra masa conocida y mida nuevamente la longitud del
resorte. Posteriormente calcule k utilizando la Ec. (14)
k=
g ∆m
∆l
(14)
Coloque los resortes y las masas de tal forma que construya distintos sistemas de
resortes: en serie y en paralelo.
REPORTE
1. Obtenga los valores de las constantes de rigidez k de cada resorte en forma
individual utilizando ambos métodos descritos en el procedimiento.
2. Obtenga una constante de rigidez k equivalente para cada configuración de resortes
(serie y paralelo).
3. Encuentre la frecuencia natural del sistema en forma analítica (Ec. (13)) y
experimental.
4. Realice los diagramas y cálculos necesarios para cada sistema.
5. Simule los procesos vistos en el laboratorio utilizando los paquetes Working Model y
MATLAB. Para estas simulaciones se pide
a) Obtener una gráfica desplazamiento vs. tiempo para la masa.
b) Calcular la frecuencia natural del sistema utilizando la gráfica anterior.
c) Calcular los porcentajes de error entre los resultados obtenidos en forma
experimental, analítica y computacional para la frecuencia natural de los
distintos sistemas.
d) Modificar la constante de rigidez k y describir el comportamiento del sistema
a diferentes valores.
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RESULTADOS
1. Llene la tabla de resultados que se muestra a continuación. En ella evalúe la
confiabilidad de las técnicas aplicadas en los espacios designados para tal fin.
Configuración
de resorte
ωn
Analítico
ωn
Working
Model
[rad/s]
ωn
Exp.
ωn
MATLAB
Analítico
vs. exp.
Analítico
vs. WM
Analítico
vs.
MATLAB
% Error
SERIE
PARALELO
PROGRAMA DE MATLAB
Grabe en un archivo llamado “smra.m” las
siguientes líneas
function yprime=smra(t,y)
f=2;
m=2.036;
b=0;
k=327;
yprime=[y(2)
f/m-b*y(2)/m-k*y(1)/m];
Grabe en otro archivo con el nombre que
desee “nombre.m” las siguientes líneas
rango=[0 5];
val_in=[0; 0];
[t,y]=ode45('smra',rango,val_in);
x=y(:,1);
v=y(:,2);
plot(t,x,t,v,'--')
xlabel('Tiempo, [s]')
ylabel ('Des., [m], Vel., [m/s]')
title ('Sistema Masa - Resorte')
grid
Figura 5.- Gráfica desplazamiento vs. tiempo
obtenida utilizando MATLAB.
Guarde ambos archivos “***.m” en el mismo
directorio y ejecute el archivo “nombre.m”
desde la ventana de comandos (Command
Window) de MATLAB.
REFERENCIAS
[1] Rao, Singiresu S. “Mechanical Vibrations”, Fourth Edition, Pearson. USA 2003.
[2] Steidel, Robert F. “An introduction to mechanical vibrations”, Third Edition, John
Wiley, USA 1989.
[3] Thomson, William T. “Theory of vibrations: applications”. Second Edition, Prentice
Hall, USA 1982.
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