I.E.S. Zaurín 2015/2016 PROYECTO ESPONJA DE MENGER Actividad asociada al programa "Conexión Matemática" Introducción.- El objetivo de este proyecto es unir el trabajo de todo el personal del centro, alumnos, profesores, personal de servicios e incluso la familia de cada uno de estos, para construir una estructura fractal llamada "Esponja de Menger". Para evitarnos la explicación matemática de esta estructura, mostramos una imagen en la que podemos ver cómo es. Según vamos avanzando de izquierda a derecha vemos diferentes iteraciones de la esponja de menger. Nuestro objetivo es construir una estructura como la cuarta que aparece en la imagen. La esponja de menger. Vamos a ver cómo se construye paso a paso la esponja de menger. Los pasos para construirla matemáticamente son los siguientes. 1. Comenzamos con un cubo (primer cubo de la imagen). 2. Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, obteniendo una estructura como el cubo de Rubik. 3. Eliminamos los cubos centrales de cada cara (6) y el cubo central (1), dejando solamente 20 cubos (segunda imagen). 4. Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los veinte cubos menores restantes. 5. La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones. Construcción física de la esponja de menger. Nuestro objetivo es construir la esponja de menger entre todos. Partir de un cubo grande e ir perforándolo para obtener los diferentes niveles presenta muchas dificultades por lo que vamos a ir construyendo la estructura a base de unir estructuras sencillas de realizar. Como vemos en las imágenes, la primera iteración de la esponja de menger es una estructura que se puede formar con la unión de 20 cubos. Nuestro objetivo personal será construir una de estas estructuras. Juntando 20 de estas estructuras obtendremos una esponja de menger de nivel 2. Con el trabajo de 20 personas se puede construir la segunda iteración de la esponja de menger. Como en el centro hay alrededor de 380 alumnos y casi 50 profesores, además del personal de administración y servicios. La idea es que cada uno de nosotros se responsabilice de la construcción de una de estas estructuras de forma que con la unión de 400 de ellas consigamos construir la esponja de menger de nivel 3. Materiales necesarios. Para la construcción de nuestra estructura no necesitamos nada más que 30 hojas tamaño A4 y cola. Es importante que todos usemos el mismo tamaño de papel para que al juntar todas las estructuras encajen perfectamente. Además vamos a usar papel reciclado del generado en el centro para poner nuestro granito de arena en el cuidado del planeta y que además no nos suponga coste económico. Construcción de un cubo con papiroflexia. Como hemos visto la estructura que queremos construir se obtiene a partir de veinte cubos de papel. Solamente tenemos que aprender a hacer un cubo con papiroflexia. Para ello vamos a necesitar cuadrados de papel de un tamaño determinado. Cuatro de estos cuadrados los vamos a sacar de una hoja tamaño A4. En la siguiente imagen se ve cómo obtener un cuadrado de una hoja rectangular como nuestro A4. Una vez que tenemos el cuadrado, lo cortaremos en cuatro cuadrados iguales como se ve a continuación. Con seis de esos cuadrados elaboraremos los cubos que van a formar nuestra estructura. Aquí se muestra un enlace a un video en el que podemos ver cómo se hace un cubo con papiroflexia. http://www.youtube.com/watch?v=NQX9gtg-CWw&feature=youtu.be En nuestro caso, vamos a intentar que la estructura final quede lo más blanca posible de forma que si tenemos una hoja con una cara en blanco vamos a dejar esa cara hacia fuera para que se vea. Construcción de la esponja de menger de nivel 1 Una vez que hemos construido los veinte cubos podemos montar la esponja de menger de nivel 1. Para ello, primero vamos a unir tres cubos formando una torre. La unión de esos cubos la hacemos con cola y ponemos algo de peso sobre la torre para que se fije bien al mientras seca la cola. Hay que tener cuidado de no poner demasiado peso que pueda aplastar la torre, no hay que olvidar que está hecha de papel. Tenemos que hacer cuatro torres de tres cubos de altura cada una. De esta forma habremos usado doce de los veinte cubos que hemos hecho. Una vez que tenemos las tres torres, vamos a coger dos de ellas y a unirlas con dos cubos como se muestra en la siguiente imagen. Luego cogemos las otras dos torres que nos quedan y repetimos el mismo proceso. Así obtenemos dos estructuras como la anterior en las que hemos usado dieciséis de los veinte cubos que tenemos. Ahora sólo nos queda unir estas dos estructuras con los cuatro cubos que nos quedan como se ve en la siguiente imagen. Montaje de la estructura final. Una vez que todos hemos participado con nuestro granito de arena construyendo nuestras esponjas de menger de nivel 1, procederemos a ensamblarlas para el montaje de la estructura final. Para ello, en una actividad colectiva iremos juntando las esponjas de nivel uno de veinte en veinte, siguiendo el mismo procedimiento con el que hemos pegado nuestros cubos, para formar estructuras de nivel dos. Como la que vemos a continuación. Cuando tengamos estas estructuras, las ensamblaremos entre sí para formar la estructura final. Un objetivo impensable si no es con la colaboración y el trabajo de todos.