Taller 3 - Probabilidades - RodrigoGutierrez-pmc

Universidad Católica Del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Pedagogı́a en Matemática Y Computación
Estadı́stica I
Taller 3 - Probabilidades
14 de Diciembre 2011.
Nombre Apellido
Victor
Córdova
Integrantes:
Rodrigo Gutiérrez
Natalia Sepulveda
1. Suponga que los sucesos A yB son tales que P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 5 y P (A∪B) = 0, 9. Determine
las siguientes probabilidades.
a) P (A ∩ B)
b) P (A ∩ B c )
c) P (Ac /B)
Desarrollo:
a) P (A ∩ B)
Sabiendo que P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B), se tiene que P (A∩B) = P (A)+P (B)−P (A∪B),
como P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 5 y P (A ∪ B) = 0, 9, entonces P (A ∩ B) = 0, 7 + 0, 5 − 0, 9.
∴ P (A ∩ B) = 0, 3
b) P (A ∩ B c )
Sabiendo que P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B), como P (A) = 0, 7 y P (A ∩ B) = 0, 3, entonces
P (A ∩ B c ) = 0, 7 − 0, 3.
∴ P (A ∩ B c ) = 0, 4
c) P (Ac /B)
Sabiendo que P (Ac /B) =
P (Ac ∩B)
,
P (B)
como P (Ac ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B), entonces
P (Ac /B) =
P (B) − P (A ∩ B)
P (B)
, luego
P (Ac /B) = 1 −
P (A ∩ B)
P (B)
. como P (A ∩ B) = 0, 3 y P (B) = 0, 5, se tiene que
P (Ac /B) = 1 −
0, 3
0, 5
.
∴ P (Ac /B) = 0, 4
.
2. SeanA y B eventos tales que P (Ac ) = 0, 2 , P (B) = 0, 5 y P (A∩B c ) = 0, 4. Encuentre P (B/A∪B c )
Desarrollo:
P (B/A ∪ B c ) =
P (B ∩ (A ∪ B c ))
P (A ∪ B c )
1) P (B ∩ (A ∪ B c )) = P ((B ∩ A) ∪ (B ∩ B c )), como B ∩ B c = ∅ y (B ∩ A) ∪ ∅ = (B ∩ A), se tiene
que
P (B ∩ (A ∪ B c )) = P (B ∩ A)
.
Sabemos que P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B), entonces P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B c ).
Si P (Ac ) = 0, 2, entonces P (A) = 0, 8
y P (A ∩ B c ) = 0, 4, luego P (A ∩ B) = 0, 4
∴ P (B ∩ (A ∪ B c ) = 0, 4
2) P (A ∪ B c ) = P (A) + P (B c ) − P (A ∩ B c ), como P (A) = 0, 8, P (B c ) = 0, 5 y P (A ∩ B c ) = 0, 4,
se tiene que
∴ P (A ∪ B c ) = 0, 9
Ası́
P (B/A ∪ B c ) =
0, 4
0, 9
,
∴ P (B/A ∪ B c ) = 0, 44...
3. Un inversionista está pensando en comprar un número de acciones de una compañia. La cotización
de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista.
Con base en esta información, se observa que la cotización se realiciona con el producto nacional
bruto PNB. Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de
0,8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0,2. Si
el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0,1. Si para los siguientes sesi meses se asignan
las probabilidades 0,4, 0,3 y 0,3 a los eventos, el PNB aumenta, el PNB es el mismo y el PNB
disminuye, respectivamente, determine:
a) La probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.
Desarrollo:
1) Sea P (A) la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los proximos seis meses.
2) Sean P (B1 ) = 0, 4, P (B2 ) = 0, 3, P (B3 ) = 0, 3, las probabilidades de que el PNB aumente,
se mantenga y disminuya, respectivamente.
3)
a) Sea P (A/B1 ) = 0, 8, la probabilidad de que dado el aumento del PNB, aumenten las acciones.
b) Sea P (A/B2 ) = 0, 2, la probabilidad de que dado la mantención del PNB, aumenten las
acciones.
c) Sea P (A/B3 ) = 0, 1, la probabilidad de dado la disminución del PNB, aumenten las acciones.
Luego la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los proximos seis meses,
esta dada por P (A) = P (B1 ) · P (A/B1 ) + P (B2 ) · P (A/B2 ) + P (B3 ) · P (A/B3 ), ası́
P (A) = 0, 4 · 0, 8 + 0, 3 · 0, 2 + 0, 3 · 0, 1
∴ P (A) = 0, 41
, Contextualizando se tiene que la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los
proximos seis meses es de un 41 %
b) ¿ Si las acciones aumentaron su valor, cuál es la probabilidad de que el PNB haya disminuido?
Desarrollo:
P (B3 /A) =
=
P (B3 ) · P (A/B3 )
P (A)
0, 3 · 0, 1
0, 41
P (B3 /A) = 0, 073...
Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que el PNB haya disminuido dado
que las acciones aumentaron su valor es aproximadamente 7,3 %.
4. El gerente de una linea aérea desea determinar la relación entre el tipo de pasajero y la forma de
pago. Ha recopilado la siguiente información:
Tipo de Pasajero
Habitual
No Habitual
Tipo de Pago
Crédito Contado
35 % 25 %
20 % 20 %
a) ¿Qué probabilidad hay de que se selecciona un pasajero al azar sea un pasajero habitual y
pague a crédito?
Desarrollo:
1) Sea H, la persona que es pasajero Habitual
2) Sea Cr, Credito, la forma de pago que emplean los pasajeros en una determinada linea aerea
.
∴ P (H ∩ Cr) = 35 %
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar un pasajero al azar sea
un pasajero habitual y pague a crédito, es de un 35 %.
b) ¿‘Qué probabilidad hay de que se selecciona un pasajero al azar, sea un pasajero habitual o
pague a crédito?
Desarrollo:
P (H ∪ Cr) = P (H) + P (Cr) − P (H ∩ Cr)
= 60 % + 55 % − 35 %
∴ P (H ∪ Cr) = 80 %
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar un pasajero al azar, sea
un pasajero habitual o pague a crédito, es de un 80 %.
c) Suponga que se sabe que el cliente ha pagado al contado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
un pasajero no habitual?
Desarrollo:
1) Sea N, la persona que no es pasajero Habitual
2) Sea Co, Contado, la forma de pago que emplean los pasajeros en una determinada linea
aerea.
P (N/Co) =
=
P (N ∩ Co)
P (Co)
20 %
45 %
∴ P (N/Co) = 44, 4 %
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar un pasajero al azar, no
sea pasajero habitual sabiendo que ha pagado al contado, es aproximadamente de un 44,4 %.
5. Los empleados de una compañia se encuentran separedos en tres divisiones: Administración operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división
clasificados por sexo:
Administración(A)
Operación de planta(O)
Ventas(V)
Total
Mujer(M) Hombre(H)
20 30
60 140
100 50
180 220
Total
50
200
150
400
a) Si se elige un empleado de forma aleatorea.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Desarrollo
1) Sea M, el grupo comformado por mujeres que pertenecen y desempeñan labores en la
compañia
2) Sea H, el grupo comformado por hombres que pertenecen y desempeñan labores en la
compañia
3) Sea A, el grupo comformado por mujeres y hombres que pertenecen a la compañia y
desempeñan labores especı́ficamente en el área de Administración
180
400
∴ P (M ) = 45 %
P (M ) =
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar una mujer que
desempeña labores en la empresa es de un 45 %.
2) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en administración?
Desarrollo
30
400
∴ P (H ∩ A) = 7, 5 %
P (H ∩ A) =
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar un hombre y que
trabaje en el área de Administracion es de un 7,5 %.
3) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujersi trabaja en administración?
Desarrollo
P (M/A) =
P (A ∩ M )
P (A)
P (M/A) =
20
400
50
400
20
50
P (M/A) = 40 %
P (M/A) =
Contextualizando, podemos decir que la probabilidad de seleccionar una mujer, sabiendo
que trabaja en el área de Administracion es de un 40 %.
b) ¿Son los eventos V y H independientes?. Justifique.
Desarrollo:
Los eventos V y H son Independientes si
P (V /H) = P (V )
o
.
P (V ∩ H) = P (V ) · P (H)
Como
P (V ) =
220
150
, P (H) =
400
400
y
. 50
P (V ∩ H) =
400
Entonces, se tiene que
50
150 220
=
·
400
400 400
pero como
50
150 220
6=
·
400
400 400
luego
0, 125 6= 0, 1875
Por lo tanto
P (V ∩ H) 6= P (V ) · P (H)
V y H Son eventos dependientes
c) Calcule: P (A ∪ M ), P (A ∪ M c ) y P (M/A)
1) P (A ∪ M )
Desarrollo:
.
P (A ∪ M ) = P (A) + P (M ) − P (A ∩ M )
180
20
. 50
+
−
P (A ∪ M ) =
400 400 400
.
∴ P (A ∪ M ) = 0, 525
2) P (A ∪ M c )
Desarrollo:
.
P (A ∪ M c ) = P (A) + P (M c ) − P (A ∩ M c )
.
P (A ∪ M c ) = P (A) + P (M c ) − (P (A) − P (A ∩ M ))
.
P (A ∪ M c ) = P (M c ) + P (A ∩ M )
20
. 220
+
P (A ∪ M c ) =
400 400
c .
∴ P (A ∪ M ) = 0, 6
3) P (M/A)
Desarrollo:
. P (M ∩ A)
P (M/A) =
P (A)
.
P (M/A) =
20
400
50
400
. 20
P (M/A) =
50
.
∴ P (M/A) = 0, 4