observaciones conoscocópicas biáxicas

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
11.2.3. Cristales biáxicos
Las figuras de interferencia de los cristales biáxicos están
formadas, como en los uniáxicos, por una cruz oscura cuyos brazos
constituyen las isogiras, y una serie de bandas de interferencia, las
isocrormáticas, que en el caso de iluminación con luz blanca siguen
la serie de colores de la tabla de Michel-Levy. Para mejor
comprensión de la forma de estas figuras de interferencia, se discute
separadamente la formación de las isocromáticas y de las isogiras,
para luego considerar diversas orientaciones de cristales biáxicos en
observaciones conoscópicas.
Isocromáticas
Son bandas de colores de interferencia (negras y de color en el
caso de luz monocromática) producidas por la composición de las
ondas que han atravesado la lámina de cristal en las
direcciones del cono de luz que la ilumina desde el
condensador. Los colores dependen del espesor atravesado
y de la birrefringencia de cada dirección. En una lámina
delgada, el espesor t de cada dirección es
t = e cosϕ
Figura 23
donde e es el espesor de la lámina (Figura 23).
El desarrollo matemático de las superficies de igual retardo
(superficies de Bertin) que dan lugar a las isocromáticas es bastante
tedioso, por lo que en este texto se propone una explicación de
caracter intuitivo. Una buena aproximación puede ser considerar los
retardos que se producen en una perturbación óptica producida en el
interior del cristal que se propaga en todas direcciones.
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Las ondas que avanzan en las direcciones de los ejes ópticos
primarios no sufren retardo alguno, por lo tanto en esta dirección la
interferencia da color negro y corresponde a las salidas de los ejes
ópticos, denominadas melatopos.
Para otras direcciones, hay
que considerar la forma del
elipsoide de índices. En la Figura
24 se ha representado la sección
xz de un elipsoide biáxico, en la
que se han dibujado las trazas de
las
secciones
perpendiculares
elípticas
a
diversas
direcciones de propagación (EO,
1, 2, 3). Los índices de cada una
son los que se indican en la figura
Figure 24
y n y (que es común a todas ellas).
La dirección del eje óptico tiene birrefringencia cero, y las otras, más
o menos según sea su distancia, superior o inferior al eje óptico,
respectivamente.
Considerando uno de los cuadrantes
(Figura 24, derecha), y marcando sobre
diversas direcciones los retardos para los
espesores atravesados, correspondientes a
números enteros de longitudes de onda, es
posible unir los puntos de igual retardo
mediante
curvas.
Estas
curvas
se
corresponden con las secciones sobre el
plano xz de las superficies de Bertin. En la
Figura 25 se muestra una visión de estas
superficies en perspectiva.
Figura 25
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La forma de las curvas isocromáticas de cualquier figura de
interferencia corresponde a secciones de las superficies de Bertin en
la orientación de la lámina delgada. Por ejemplo, una
sección orientada perpendicularmente a la bisectriz
aguda de 2V muestra unas isocromáticas en forma de
óvalos de Cassini con los focos en los melatopos (Figura
26). Que aparezcan más o menos bandas depende del
espesor de la preparación y de su birrefringencia. Por
otra parte, según el valor del ángulo 2V, los melatopos
aparecen más o menos separados, y en algunos casos
incluso pueden no aparecer en el campo visual de la
figura de interferencia, la cual cosa ocurre con
frecuencia en secciones perpendiculares a la bisectriz
Figura 26. Las líneas de colores son las
isocromáticas, cuya forma son óvalos de obtusa de 2V.
Cassini.
Isogiras
Son las líneas oscuras que, en
algunas orientaciones forman una cruz
siguiendo las direcciones de vibración
de los polarizadores, y al girar la
platina, o en otras secciones, presentan
formas diversas. Para entender su forma
y su génesis hay que interpretar los
estados de polarización de las ondas
emergentes en diversas direcciones del
cristal.
Figura 27
El
uso
de
la
construcción
geométrica de Biot-Fresnel puede ser de utilidad para predecir las
direcciones de vibración de las ondas que emergen en cualquier
dirección del cristal. Para ello, se considera el elipsoide de índices, en
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el cual los puntos E1 y E2 son las salidas de los ejes ópticos (Figura
27). Para determinar la vibración de las ondas que siguen la dirección
ON, se trazan los planos ONE1 y ONE2. La bisectriz del ángulo
diedro que forman los dos planos es una de las direcciones de
vibración, la otra, obviamente, es perpendicular.
Proyectando estas direcciones de vibración en una esfera se
obtiene el esquiodromo, concepto propuesto por Becke en 1905 y que
puede ser utilizado para la comprensión intuitiva de la forma y
evolución de las isogiras de figuras de interferencia de secciones
diversas. En la Figura 28 se han representado las proyecciones de los
planos principales del esquiodromo, en las cuales las líneas elípticas
representan la variación en el espacio de los planos de polarización.
Figura 28
Superponiendo
las
direcciones
de
vibración
de
los
polarizadores a la proyección del esquiodromo en la orientación
adecuada, se puede deducir gráficamente la forma de las isogiras y su
evolución al girar la platina.
Figuras de interferencia en distintas orientaciones
La figura de interferencia consta de las isogiras y las
correspondientes isocromáticas. La forma de unas y otras, así como
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su evolución en un giro completo de la platina depende de la
orientación de la lámina delgada respecto de los ejes del elipsoide de
índices. Consideremos algunas de las orientaciones características, a
partir de las cuales no es difícil extrapolar a secciones ligeramente
inclinadas respecto de estas.
- Sección perpendicular a la bisectriz
aguda
Con la platina de modo que el
plano de los ejes ópticos coincida con
uno de los hilos del retículo, los puntos
de
la
imagen
polarización
cuyos
planos
coinciden
con
de
los
Figura 29 Las isogiras se forman en los puntos donde las direcciones
de vibración coinciden con las de los polarizadores (p1 y P2). Las
polarizadores forman una cruz negra
dos imágenes corresponden a dos posiciones de la platina giaradas
45º. Nótese que en ambos casos, las bandas negras siguen los puntos (Figura 29, izquierda), que se va
del esquiodromo con las vibraciones N-S y E-O.
difuminando hacia los bordes. Debido a
la disposición de los planos de polarización de las ondas energentes
del cristal, cuando el plano de los ejes ópticos está en posición E-O,
el brazo N-S suele ser más grueso que el otro. Al girar 45º la platina,
el lugar geométrico de los puntos con los planos de polarización N-S
y E-O forman dos brazos de forma hiperbólica (imagen de la derecha).
Los siguientes 45º generan otra vez la cruz, aunque girada 90º
respecto de la anterior, y otros 45º de giro hacen aparecer los brazos
hiperbólicos en los otros cuadrantes.
Las isocromáticas forman una serie más o menos concéntrica
de óvalos de Cassini con los focos en los melatopos, lo cual
corresponde a una sección de las superficies de Bertin perpendicular
a la bisectriz aguda del ángulo 2V.
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Figura 30. Figura de interferencia de un cristal biáxico con la bisectriz aguda del ángulo 2V perpendicular a la
sección. La sucesión de imágenes corresponde a un giro de la platina, en el cual es posible ver la evolución de la
figura.
- Sección perpendicular a la bisectriz obtusa
En esencia es similar al caso anterior,
pero, como las salidas de los ejes
ópticos estan más separadas, al girar
45º la platina, los dos brazos
hiperbólicos
se
separan
significativamente, incluso en algún
caso pueden salir del compo visual
Figura 31 Formación de las isogiras de una sección perpendicular a la
bisectriz aguda, siempre respecto de la proyección del esquidromo,
representado en gris como fondo de las imágenes.
(Figura 31).
En
esta
orientación,
las
isocromáticas forman una figura similar al caso anterior, siempre con
los focos en los melatopos. Y si éstos están fuera del campo de visión,
no se observa la totalidad de los óvalos de cada retardo.
FIG 32 FIGURA INTERF BISECTR OBTUSA
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- Sección paralela al plano de los ejes ópticos
Esta
proporciona
difícilmente
orientación
una
figura
interpretable
porque pasa de una posición de
la platina en que aparece una
cruz que ocupa casi todo el
campo de visión, a desaparecer
súbitamente al girar ligeramente
la platina (Figura 33). Se trata
Figura 33 Formación de la figura flash en un cristal biáxico tallado
paralelamente al plano de los ejes ópticos.
Las
isocromáticas
de la denominada figura flash.
apenas
se
distinguen
porque
la
correspondiente sección de las superficies de Bertin intersecta pocas
de ellas. Por tanto, cuando no aparece la cruz, se observa el campo
visual prácticamente ocupado por un solo color de interferencia.
- Sección perpendicular a un eje óptico
Se observa una sola isocromática, en forma hiperbólica,
cuya curvatura depende del ángulo 2V, que gira al girar
la platina y se coloca paralela a los hilos del retículo cada
90º, cuando el plano de los ejes ópticos coincide con el de
uno de los polarizadores. La de la curvatura de la isogira
está orientada con la parte convexa hacia la bisectriz
aguda de 2V y la figura puede considerarse una parte de
la que se observa en una sección perpendicular a la
bisectriz aguda. Alrededor del melatopo se disponen las
Figura 34
isocromáticas, de las que se aprecia sólo una parte de los
óvalos, precisamente la que se situa alrededor del foco en
el melatopo.
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Determinación del ángulo 2V
A partir de aquellas figuras de interferencia
en que los dos melatopos aparecen en el campo de
visión, es posible la medición del ángulo 2V que
forman los dos ejes ópticos.
Las ondas que atraviesan la lámina cristalina
en la dirección de los ejes ópticos, sufren una
desviación en las superficies de la lámina, lo cual
provoca que el ángulo que se observa no coincida
con el real. En la Figura 35 se puede apreciar la
Figura 35 La prolongación de las direcciones de
propagación de las ondas que progresan en las
direcciones de los ejes ópticos, forma un ángulo 2E,
distinto del ángulo 2V.
geometría de esta desviación y, a partir de ella,
efectuar algunos cáculos sencillos.
En la dirección de los ejes ópticos, las ondas
tienen índice de refracción n y, por lo tanto
seni
sen E
, porque por construcción i = V, y r = E.
= ny =
senr
senV
Si los melatopos son visibles en el campo de la imagen, con un
ocular micrométrico se puede medir la distancia L entre ambos ( L en
unidades arbitrarias de la escala micrométrica del ocular). Para una
combinación determinada de objetivo, ocular y óptica intermedia si
la hubiere, se cumple:
L = k ⋅ sen E
donde k es una constante del sistema (llamada constante de Mallard)
y E el semiángulo aparente, relacionado con V por la expresión
deducida anteriormente.
Para determinar el ángulo 2V es preciso establecer el valor de
la constante de Mallard para una óptica determinada Ésto se consigue
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midiendo la distancia entre melatopos en un cristal convenientemente
orientado, del que se conozca el ángulo 2V y n y. A partir de ahi, para
la combinación de lentes para la que se ha establecido la constante, se
pueden medir otros cristales.
Estimación del ángulo 2V
En ocasiones no es posible efectuar la medición de la distancia
entre melatopos, o simplemente se hace necesaria una apreciación
rápida del ángulo 2V. En secciones perpendiculares a
uno de los ejes ópticos, se puede estimar el valor del
ángulo a partir de la curvatura de la isogira cuando el
plano de los ejes ópticos está a 45º de los planos de
polarización de los polarizadores. La precisión es baja
y no puede considerarse una medición cuantitativa,
porque el error es del orden de 10º.
La Figura 36 representa una serie de isogiras
Figura 36
correspondientes a la salida de uno de los ejes ópticos,
para ángulos 2V crecientes, desde 0º (es el caso de un cristal uniáxico)
hasta 90º.
Determinación del signo óptico
El signo óptico de los cristales biáxicos se determina a partir
de la figura de interferencia, mediante el uso de compensadores, igual
que en los cristales uniáxicos. En esta sección sólo se consideran las
orientaciones estudiadas anteriormente. Orientaciones ligeramente
inclinadas respecto de éstas, se pueden estudiar con idénticos
criterios.
Se analizarán las direcciones de vibración en direcciones
seleccionadas, y se discutirá los casos en los que ocurre adición del
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retardo del compensador y en cuales substracción. Los efectos
concretos (cambios de color, etc.) que ocurren intercalando un tipo u
otro de compensador son los mismos que han sido ampliamente
analizados para los cristales uniáxicos.
- Sección perpendicular a la bisectriz aguda de 2V
En la Figura 37 se ha representado la emergencia de dos frentes
de onda en el plano de los ejes ópticos para un elipsoide positivo y
otro negativo, uno (dirección 1) entre la bisectriz aguda y un eje, y
otro (dirección 2) entre el eje y la bisectriz obtusa. Las
correspondientes secciones elípticas tienen un semieje en común (n y)
y el otro vale n 1 para la dirección 1, y n 2 para la dirección 2. Las
direcciones de vibración se han representado en color naranja, tanto
en el punto de emergencia en el elipsoide, como en la figura de
interferencia que se forma en el plano focal del objetivo, dispuesta
con el plano de los ejes ópticos a 45º de los planos de los
polarizadores, en la dirección NO-SE.
.
Se cumplen las siguientes relaciones en los cristales positivos y
negativos:
- positivo
n1 < ny ; n2 > ny , o sea, v1 > v y ; v2 < v y
- negativo
n1 > ny ; n2 < ny , o sea v1 < v y ; v2 > v y
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Figura 37 .
En un cristal positivo, las direcciones que emergen en el plano
de los ejes ópticos, entre los melatopos y la bisectriz aguda, contienen
una onda que vibra en el plano de los ejes y que es más rápida que la
que vibra perpendicularmente a ella. Por el contrario, cualquier
dirección, siempre en el plano de los ejes ópticos, entre el melatopo
y la parte exterior de la figura de interferencia contiene dos ondas, de
las cuales la que vibra en el plano de los ejes está retardada respecto
de la otra que vibra perpendicularmente a ella.
Cuando estas ondas atraviesan el compensador, en la línea
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entre los dos melatopos se produce adición de retardos, mientras que
más allá de las salidas de los ejes ópticos tiene lugar substracción,
siempre considerando un cristal ópticamente positivo. En un cristal
negativo, ocurre lo contrario: substracción en la línea entre
melatopos, y adición en los otros segmentos de esa misma línea.
Según el tipo de compensador se produce un efecto u otro: por
ejemplo, con un compensador de 550nm aparece un punto azul en las
zonas donde hay adición y uno amarillo donde ocurre substracción.
Por lo tanto, la determinación del signo óptico en una sección
perpendicular a la bisectriz aguda se realiza colocando la figura de
interferencia con el plano de los ejes ópticos a 45º de los hilos del
retículo en la dirección NO-SE. Si al intercalar un compensador, se
produce adición de retardos junto a los melatopos, en la parte convexa
de las isogiras, el cristal es positivo. Si la adición ocurre en la parte
cóncava de las mismas, el cristal es negativo.
FIG 38 FIGURA INTERF, + COMPENSADOR
- Sección perpendicular a la bisectriz obtusa de 2V
Cuando es posible reconocer que la lámina es perpendicular a
la bisectriz obtusa, sea porque se ha medido el ángulo 2V de la
sección, sea por la rápida formación de las isogiras hiperbólicas al
girar la platina, es posible determinar el signo óptico.
Los criterios a aplicar son exactamente los contrarios a los que
se han determinado para la bisectriz aguda. Con la figura de
interferencia colocada con el plano de los ejes ópticos a 45º (siempre
en dirección NO-SE), si hay adición en la parte convexa de las
isogiras, el cristal es negativo, contrariamente a lo que se ha discutido
para las secciones perpendiculares a la bisectriz aguda.
- Sección perpendicular a un eje óptico
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Esta figura se puede considerar como una parte de la que se
observa en una sección perpendicular a la bisectriz aguda, por lo tanto
cuando la isogira presenta forma curvada y el plano de los ejes ópticos
está a 45º de los planos de los polarizadores (NO-SE), la bisectriz
aguda está en la dirección de la parte convexa.
El criterio desarrollado para las figuras de interferencia de
secciones perpendiculares a la bisectriz aguda es de aplicación en este
caso. Si al intercalar el compensador, junto al único melatopo que
aparece en la imagen, se produce adición de retardos hacia la parte de
la bisectriz aguda, se trata de un cristal positivo. Lo contrario indica
que se trata de un cristal negativo.
Figura 39 FIGURA INTERFERENCIA + COMPENSADOR
Hay que señalar que cuando el ángulo de los ejes ópticos es de
90º, el signo óptico no puede determinarse, aunque por otra parte, no
tiene sentido hablar del signo óptico de un cristal de estas
cartacterísticas.
- Sección paralela al plano de los ejes ópticos
La figura que aparece, muy similar a la figura flash de los
cristales uniáxicos no puede ser utilizada para la detemrinación del
signo óptico
Dispersión de la figura de interferencia
La dispersión de la posición de los ejes ópticos es la que
determina la dispersión de la figura de interferencia. Los criterios a
aplicar para estudiarla son los discutidos en el capítulo 5 en relación
a la dispersión de cualquiera de las superficies de referencia. En esta
sección se pondrá énfasis en los efectos que
la dispersión del
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elipsoide produce en la figura de interferencia.
- Cristales rómbicos
La simetría mmm del grupo de Laue de estos cristales coincide
con la del elipsoide, por lo tanto los planos principales de uno y otro
han de coincidir. Los ejes ópticos están situados necesariamente sobre
uno de los planos principales del cristal (001), (010) o (100). Sin
embargo, los sí son dispersados valores de los índices y los ejes
ópticos para distintas frecuencias, no son coincidentes.
A lo largo del espectro
visible, los ejes ópticos pueden
variar de posición en su propio
plano, pero raramente de
plano. Un caso excepcional lo
presenta la brookita, cuyos
ejes ópticos varían, desde el
plano (010) para el azul al
(001) en el rojo. Obviamente,
existe una frecuencia para la
cual la brookita es uniáxica,
aquella en la que los ejes
ópticos se funden en uno solo
sobre el eje cristalográfico.
Figura 40
En la figura de interferencia, la dispersión de los ejes ópticos
(cuyo plano se mantiene fijo) se puede poner de manifiesto en unas
franjas rojas o azules en las isogiras, cuando el plano de los ejes
ópticos se lleva a 45º de los polarizadores (Figura 40). Ello se debe a
que si en una parte de la misma aflora el eje correspondiente al azul,
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este color se extingue (retardo cero) y se observa la otra parte del
espectro (el rojo). Y lo contrario en la parte opuesta de la isogira.
Con el plano de los ejes ópticos paralelo a uno de los
polarizadores, no es posible apreciar efecto alguno porque los
melatopos correspondientes a los ejes ópticos del rojo y del azul están
dentro de la cruz que forman las isogiras.
- Cristales monoclínicos
Los cristales monoclínicos
tienen una simetría de Laue 2/m, lo
cual impone que uno de los semiejes
del elipsoide coincida con el eje
cristalográfico b, y los otros dos
esten en el plano ac. Sea cual sea el
plano de los ejes ópticos, no tiene
porque ser el mismo para las
distintas frecuencias del espectro
visible. Por tanto, los cristales
monoclínicos pueden presentar
dispersión del ángulo 2V, así como
el plano que contiene los ejes
ópticos (Figura 41).
Si la dispersión es suficiente,
Figura 41
se pone de manifiesto en la figura de
interferencia, tanto con el plano de los ejes ópticos paralelo a los
polarizadores, como a 45º. Si los ejes correspondientes a los extremos
rojo y azul están bastante separados, las franjas roja y azul que se han
discutido en el apartado anterior, se observan en ambas posiciones de
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la figura. Y ello ocurre tanto si sólo está dispersado el ángulo 2V
como si lo está 2V y la posición de la bisectriz.
- Cristales triclínicos
Los cristales del sistema triclínico no tienen restricciones en
la orientación del elipsoide. Por tanto, es posible cualquier posición
de los ejes ópticos para distintas frecuencias.
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