Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Ingeniero Industrial Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2010/2011) EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 04/Julio/2011 APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duración: 45 minutos. EJERCICIO 2 Valor: 3,5 puntos. C INEM ÁTICA DEL PUNTO MATERIAL Y DEL S ÓLIDO R ÍGIDO . En el plano fijo OXY , un disco de radio R rueda sin deslizar sobre el eje OX con velocidad angular constante ω = −Ω k. Se sabe que el centro C del disco se hallaba sobre el eje OY en el instante inicial (t = 0). Sobre dicho disco se apoya una partı́cula P , la cual se encuentra suspendida del extremo de un hilo inextensible, de longitud πR/2, cuyo otro extremo se −→ halla fijo en el punto A de posición OA = 2R j. Sólo interesa el intervalo de tiempo 0 ≤ t < π/(2Ω), durante el cual la partı́cula P y el tramo de hilo (BP ) apoyado sobre el disco deslizan sobre él a medida que éste rueda, mientras que el resto del hilo (AB) permanece siempre tenso y horizontal (ver figura). Se pide: 1. Vector velocidad y ecuaciones cartesianas horarias del centro C del disco. 2. Dependencia respecto al tiempo del ángulo θ definido en la figura (función θ(t)). 3. Vectores de posición, velocidad y aceleración de la partı́cula P (en función del tiempo). 4. Aceleraciones tangencial y normal de la partı́cula P en el instante t = π/(6Ω). SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado): Y A C 2R B q P O X (Solución por detrás) Solución-Apartado (1) (Valor máximo : 1 punto) Sabemos que el centro instantáneo de rotación (punto I) del movimiento del disco respecto al plano OXY se halla en el punto de contacto entre el disco y el eje OX (porque el disco rueda sin deslizar sobre dicho eje). Entonces, el vector velocidad del centro C del disco se obtiene a partir de la ecuación del campo de velocidades: vI = 0 −→ ⇒ vC = vI + ω ∧ IC = −Ω k ∧ R j = ΩR ı ω = −Ω k Teniendo en cuenta la posición del punto C en el instante inicial (sobre el eje OY ) e integrando su vector velocidad, se obtiene el vector de posición de C en función del tiempo: ⎫ drC t ⎬ = ΩRı (cte) ⎪ −− → dt ⇒ OC = rC (t) = rC (0) + (ΩRı ) dt = ΩRtı + R j ⎪ 0 ⎭ rC (0) = R j De donde, separando componentes, se deducen las ecuaciones cartesianas horarias del punto C: Solución-Apartado (2) xC (t) = ΩRt yC (t) = R (Valor máximo : 0.5 puntos) El hilo tiene en cada instante un tramo rectilı́neo (segmento AB) y un tramo curvilı́neo (arco de circunferencia BP ). La suma de las longitudes de ambos tramos debe ser igual a la longitud del hilo, que es πR/2 según el enunciado. De dicha condición, es inmediato deducir la dependencia temporal del ángulo θ: AB(t) + BP (t) = Solución-Apartado (3) πR πR ⇒ ΩRt + Rθ(t) = ⇒ 2 2 θ(t) = π − Ωt 2 (Valor máximo : 1 punto) −− → De la geometrı́a del problema, se deduce que el vector OP se puede escribir como: −− → −−→ −−→ OP = OC + CP = {ΩRtı + R j } + {R sen(θ)ı + R cos(θ) j } y sustituyendo en dicha expresión la función θ = θ(t) previamente determinada, se obtiene el vector de posición de la partı́cula P en función del tiempo: −−→ OP = rP (t) = xP ı + yP j = R[Ωt + cos(Ωt)]ı + R[1 + sen(Ωt)] j Las derivadas primera y segunda del vector rP (t) con respecto al tiempo son, respectivamente, los vectores velocidad y aceleración de la partı́cula P : vP (t) = ẋP ı + ẏP j = ΩR {[1 − sen(Ωt)]ı + cos(Ωt) j } aP (t) = ẍP ı + ÿP j = −Ω2 R{cos(Ωt)ı + sen(Ωt) j } Solución-Apartado (4) (Valor máximo : 1 punto) Evaluando los vectores velocidad y aceleración de P en el instante t = π/(6Ω), se obtiene: √ √ π π 1 1 3 3 2 vP = ΩR ı + j ; aP = −Ω R ı + j 6Ω 2 2 6Ω 2 2 Finalmente, determinamos las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partı́cula P en dicho instante mediante las fórmulas correspondientes: aT √ 3 2 vP · aP = − Ω R ; = | vP | 2 aN = 1 2 | vP ∧ aP | = Ω R | vP | 2