Problema 10

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2007/2008)
EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 30/Enero/2008
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duración: 50 minutos.
EJERCICIO 3
C INEM ÁTICA
Y
D IN ÁMICA
Valor: 2 puntos.
DEL PUNTO MATERIAL .
Una partı́cula P , de masa m, se mueve en el plano horizontal OXY conforme a las ecuaciones horarias:
−−→
r = r (t) = OP (t) = −a sen(ωt)ı + b cos(ωt) j
donde a, b y ω son constantes conocidas. Este movimiento se debe, exclusivamente, a la acción de dos resortes elásticos
ideales e idénticos, de constante k y longitud natural nula, los cuales solicitan la partı́cula desde sus respectivos puntos de
anclaje: C(−λ, 0) y D(λ, 0).
a) Determine, sólo para el instante inicial (t = 0), las componentes tangencial, aT (0), y normal, aN (0), de la aceleración de la partı́cula P , ası́ como el radio de curvatura, Rκ (0), de su trayectoria.
b) A partir de la segunda ley de Newton, deduzca el valor de la constante k de los resortes (en función de m y ω).
O , de la partı́cula P respecto al origen de coorc) Determine, para todo instante de tiempo, el momento cinético, L
denadas O, ası́ como su energı́a mecánica, E; y enuncie los teoremas de conservación que justifican que se hayan
obtenido valores constantes a lo largo del tiempo para ambas magnitudes.
Y
Y
v (0)
m P
k
r (t)
k
k
D
C
l
Solución-Apartado (a)
O
l
b
instante
inicial
(t=0 )
P
k
a (0)
D
C
X
l
O
l
X
(Valor máximo : 0,75 puntos)
Derivando respecto al tiempo el vector de posición r(t) de la partı́cula P , se obtiene el vector velocidad instantánea v (t); y
derivando respecto al tiempo este último, se obtiene el vector aceleración instantánea a(t). A continuación, se evalúan los tres
vectores para el instante inicial (t = 0):
r(t) = − a sen(ωt)ı + b cos(ωt) j
−→
r(0) = b j
v (t) =
dr
= − ω [a cos(ωt)ı + b sen(ωt) j ]
dt
−→
v (0) = − ωaı
a(t) =
dv
= − ω 2 [−a sen(ωt)ı + b cos(ωt) j ] = − ω 2 r(t)
dt
−→
a(0) = − ω 2 b j
Las componentes tangencial (aT ) y normal (aN ) de la aceleración, ası́ como el radio de curvatura (Rκ ) de la trayectoria, se
pueden determinar (para cualquier instante y, en particular, para t = 0) mediante fórmulas deducidas en la teorı́a:
aT (0) =
v (0) · a(0)
= 0 ;
v(0)
aN (0) =
| v (0) ∧ a(0) |
= ω2 b ;
v(0)
Rκ (0) =
a2
[v(0)]2
=
aN (0)
b
donde v(0) = ωa es la velocidad escalar (módulo del vector velocidad) en el instante inicial.
De todos modos, cabe señalar que la ortogonalidad entre el vector velocidad instantánea v (0) (de dirección tangencial) y el
vector aceleración instantánea a(0) permite deducir directamente (sin necesidad de fórmula alguna) la nulidad de la aceleración
tangencial aT (0) y, en consecuencia, la coincidencia de la aceleración normal aN (0) con el módulo del vector aceleración
instantánea.
Solución-Apartado (b)
(Valor máximo : 0,50 puntos)
(t) que actúa sobre la partı́cula P es la suma de las fuerzas ejercidas por los dos resortes:
La fuerza neta F
−
→
−−→ −−→
(t) = −k −
F
CP (t) + DP (t) = −2k OP (t) = −2k r(t)
mientras que el producto de la masa inercial m y la aceleración instantánea a(t) de la partı́cula P viene dado por:
ma(t) = −mω 2 r(t)
Entonces, aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene:
(t) = ma(t)
F
=⇒
Solución-Apartado (c)
−2k r(t) = −mω 2 r(t)
=⇒
2k = mω 2 (igualando coeficientes)
=⇒
k=
1
mω 2
2
(Valor máximo : 0,75 puntos)
El teorema de conservación del momento cinético establece que si la fuerza neta que actúa sobre un punto material P es nula
o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto al punto O permanece constante a lo largo del tiempo.
(t) es central con centro en O. Por tanto, el momento cinético L
O de la partı́cula P
En el caso que nos ocupa, la fuerza neta F
respecto al punto O es independiente del tiempo. Podemos determinar su valor en el instante inicial (cálculo más sencillo), ya
que dicho valor es el mismo para todo instante de tiempo:
−
→
O = −
L
OP (0) ∧ mv (0) = b j ∧ (−mωaı) = mωab k
El teorema de conservación de la energı́a mecánica establece que si las fuerzas que realizan trabajo sobre un punto material
son todas conservativas, su energı́a mecánica E (suma de las energı́as cinética y potencial) se conserva constante a lo largo del
tiempo.
(t) es conservativa. Por tanto, la energı́a mecánica E de la partı́cula P es independiente
En el caso que nos ocupa, la fuerza neta F
del tiempo. Podemos determinar su valor en el instante inicial (cálculo más sencillo), ya que dicho valor es el mismo para todo
instante de tiempo:
E =
2 1 2
1
1
1 1
m [v(0)]2 + k CP (0) + k DP (0) = m ω 2 a2 + k(b2 + λ2 ) = mω 2 (a2 + b 2 + λ2 )
2
2
2
2
2
donde se ha utilizado la expresión de k (en función de m y ω) obtenida en el apartado (b).