Operaciones con Números Complejos

Operaciones con números complejos
Objetivos de aprendizaje
·
·
·
·
·
Sumar números complejos.
Restar números complejos.
Multiplicar números complejos.
Encontrar conjugados de números complejos.
Dividir números complejos.
Introducción
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar
números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
(6x + 8) + (4x + 2)
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con
el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.
(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
Puedes sumar
con
porque ambos términos tienen el mismo radical,
, del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y
exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a
. Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea
que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias
(los términos con i) y combinas las partes reales.
Problema
Ejemplo
Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i = Reacomoda las sumas
−3 + 7 + 3i – 2i para juntar los términos
semejantes.
−3 + 7 = 4 y Combina los términos
3i – 2i = (3 – 2)i = i semejantes.
Respuesta
Problema
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Ejemplo
Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = Asegúrate de distribuir el
−3 + 3i – 7 + 2i signo de resta a todos los
términos del sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas
para juntar los términos
semejantes.
−3 – 7 = −10 y Combina los términos
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i semejantes.
Respuesta
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
converted by W eb2PDFConvert.com
Restar. (5 + 3i) – (3 – i)
A) 2 + 4i
B) 6
C) 2 + 2i
D) 8 + 2i
Mostrar/Ocultar Respuesta
Multiplicando números complejos
De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar.
(5x)(−3x)
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
(5x)( −3x)
=
(5)( −3)(x)(x)
=
−15x2
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método
para multiplicar 5i y −3i.
(5i)( −3i)
=
(5)( −3)(i)(i)
=
−15i2
Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más.
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a
.
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1.
(5i)( −3i)
Problema
=
(5)( −3)(i)(i)
=
−15i2
=
−15(−1)
=
15
Ejemplo
Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i) Multiplica los coeficientes
= 6i2 de i y luego multiplica i por i.
6i2 = 6(−1) Reemplaza i2 con –1.
Respuesta
6(−1) = −6 Multiplica.
(3i)(2i) = −6
converted by W eb2PDFConvert.com
¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.
Multiplica y simplifica. (3i)( −i)
A) 3
B) −3
C) 3i
D) −3i2
Mostrar/Ocultar Respuesta
Usando la propiedad distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de
la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación.) Una vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
= 24x2 + 12x + 32x + 16
= 24x2 + 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i2.
Ejemplo
Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
Problema
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
24 + 44i + 16i2
Respuesta
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
(6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
Se están multiplicando dos
binomios, por lo que necesitas la
Propiedad Distributiva de la
Multiplicación.
Podríamos usar FOIL e ir
directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
Combina los términos
semejantes.
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si
puedes averiguar por qué!
Ejemplo
Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
Problema
Respuesta
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el
producto.
36 – 64i2
Combina los términos
semejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
(6 + 8i)(6 – 8i) = 100
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
converted by W eb2PDFConvert.com
Así como
y
son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente
algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales
excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a
48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre
será un número real (y no complejo).
Multiplicar. (9 + i)(9 – i)
A) 82 + 18i
B) 80 – 18i
C) 80
D) 82
Mostrar/Ocultar Respuesta
División de números complejos
Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debería
sorprenderte, el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!
Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio.
Problema
Ejemplo
Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la división como una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
Respuesta
Problema
Respuesta
Problema
−24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene
denominador, no es
necesario seguir
simplificando.
Ejemplo
Simplifica. 32i ÷ 6i
32i ÷ 6i =
Trata a la división como una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador. Observa que
en este caso, i es parte del
factor común.
La fracción quede en su
forma simple.
Ejemplo
Simplifica. 56 ÷ −7i
Trata a la división como una
fracción. Simplifica la
fracción usando un factor
que tengan en común el
numerador y el
denominador.
converted by W eb2PDFConvert.com
En este caso, el
denominador todavía tiene el
término i. Como i es un
radical, debes seguir
simplificando para
racionalizar el denominador.
Como el denominador es
sólo un término, no
necesitas pensar en
conjugados complejos. Sólo
multiplica por 1 en la forma
y simplifica. (Recuerda, el
producto de dos números
imaginarios es real, por lo
que el denominador es real.)
Respuesta
56 ÷ −7i = 8i
Simplifica. 12 ÷ 10i
A)
B)
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el
denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número
real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.
Problema
Ejemplo
Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)
Trata la división
como una
fracción. Simplifica
la fracción usando
un factor común
que tengan el
numerador y el
denominador, si
existe.
Ten cuidado de
usar la propiedad
distributiva, los
números deben
ser un factor de
todos los
términos.
converted by W eb2PDFConvert.com
En este caso, el
denominador aún
tiene el término i.
Para racionalizar
el denominador,
multiplica por el
conjugado
complejo del
denominador. En
este caso, el
conjugado
complejo es (7 –
5i).
(En los
conjugados
complejos, las
partes reales son
iguales y las
partes imaginarias
son inversos
aditivos.)
Expande el
numerador y el
denominador.
Recuerda, el
denominador debe
ser un número real
(sin el término i) si
escoges el
conjugado
complejo correcto
y realizas la
multiplicación
correctamente.
Reemplaza i2 con
−1 y simplifica.
¡Asegúrate de
remplazar i2 en el
numerador y en el
denominador!
El cociente puede
escribirse en la
forma a + bi
usando fracciones
para a y b.
Siempre
comprueba el
producto final para
ver si se puede
simplificar más.
En este caso,
ambas fracciones
pueden
simplificarse.
Respuesta
(56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =
converted by W eb2PDFConvert.com
Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i)
A)
B) 2 – 2i
C)
D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Operaciones con números complejos
Para sumar o restar, combinar términos semejantes.
Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números
imaginarios i. Si aparece i2, reemplazar con −1.
Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de
la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.
Para dividir, tratar el cociente como una fracción.
· Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es
necesario.
· Reemplazar i2 por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.
· Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación de a
y b cuando son fracciones.
Sumario
Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la
multiplicación y la división, podrías necesitar reemplazar i2 con −1 y continuar simplificando.
converted by W eb2PDFConvert.com