Criterio de la primera derivada para valores extremos Teorema 1. Suponga que f es continua en x0 y derivable en una vecindad Vδ (x0 ) para alguna δ > 0. Entonces si ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) se tiene que f 0 (x) ≥ 0 y ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) se tiene que f 0 (x) ≤ 0 entonces f tiene un máximo local en c. Por otro lado si ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) se tiene que f 0 (x) ≤ 0 y ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) se tiene que f 0 (x) ≥ 0 entonces f tiene un mı́nimo local en c. Demostración. Si x ∈ (x0 − δ, x0 ) aplicamos el TVM al intervalo (x, x0 ) por tanto existe c ∈ (x, x0 ) tal que f (x0 ) − f (x) f 0 (c) = x0 − x pero por hipotesis f 0 (x) ≥ 0 por lo tanto f (x0 ) − f (x) ≥ 0 ⇒ f (x0 ) − f (x) ≥ 0 ⇒ f (x0 ) ≥ f (x) x0 − x Si x ∈ (x0 , x0 + δ) aplicamos el TVM al intervalo (x0 , x) por tanto existe c ∈ (x0 , x) tal que f 0 (c) = f (x) − f (x0 ) x − x0 pero por hipotesis f 0 (x) ≤ 0 por lo tanto f (x) − f (x0 ) ≤ 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) ≤ 0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) x − x0 ∴ ∀ x ∈ Vδ (x0 ) se tiene que f (x) ≤ f (x0 ) y f tiene un máximo local en x0 El caso del mı́nimo local se demuestra de manera analoga Ejemplo.-Entre todos los números cuya diferencia es 1, hallar el par cuyo producto sea mı́nimo. Demostración. Considerese los números x, x+1 y la función f (x) = x·(x+1) = x2 +x donde f 0 (x) = 2x+1 por lo que 1 f 0 (x) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = − 2 ahora bien 1 f 0 (x) < 0 ⇔ 2x + 1 < 0 ⇔ x < − 2 1 f 0 (x) > 0 ⇔ 2x + 1 > 0 ⇔ x > − 2 por lo tanto según el criterio de la primera derivada f alcanza su valor mı́nimo en x = − 12 por tanto los números buscados son − 21 , 12 1 Teorema 2. Teorema del Valor Intermedio para Derivadas Si f es derivable en un intervalo abierto que contenga a a y b donde a < b y si k es un número entre f 0 (a) y f 0 (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = k Demostración. Supongase que f 0 (a) < c < f 0 (b). Se define la función g(x) = kx − f (x) ∀ x ∈ (a, b) se tiene que g es continua, por lo tanto alcanza su valor máximo en [a, b] por lo tanto g 0 (a) = ka − f 0 (a) > 0 ⇒ g no alcanza su máximo en a g 0 (b) = kb − f 0 (b) < 0 ⇒ g no alcanza su máximo en a por lo tanto g alcanza su valor máximo en alguna c ∈ (a, b) teniendo ası́ g 0 (c) = 0 ⇔ k − f 0 (c) = 0 ⇔ f 0 (c) = k Ejemplo.-Probar que si f es derivable en un intervalo abierto I y ∀ x ∈ I se tiene que f 0 (x) 6= 0 entonces f 0 (x) tiene el mismo signo a lo largo del intervalo I Demostración. Si suponemos que existe a, b ∈ I tal que f 0 (a) < 0 y f 0 (b) > 0 por el teorema del valor intermedio para derivadas existe c entre a y b tal que f 0 (c) = 0 lo cual es una contradicción. Criterio de la segunda derivada para valores extremos Teorema 3. Supongamos que f 0 (x0 ) = 0. Si f 00 (x0 ) > 0 entonces f tiene un valor mı́nimo local en x0 Demostración. Por definición f 0 (x0 + h) f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 ) = lı́m h→0 h→0 h h f 00 (x0 ) = lı́m por otro lado f 0 (x0 + h) >0 h→0 h f 00 (x0 ) > 0 ⇒ lı́m por lo tanto f 0 (x0 + h) > 0 ⇒ h > 0 y f 0 (x0 + h) < 0 ⇒ h < 0 por lo tanto x0 es un mı́nimo local de f. Teorema 4. Supongamos que f 0 (x0 ) = 0. Si f 00 (x0 ) < 0 entonces f tiene un valor máximo local en x0 Demostración. Por definición f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 ) f 0 (x0 + h) = lı́m h→0 h→0 h h f 00 (x0 ) = lı́m por otro lado f 0 (x0 + h) <0 h→0 h f 00 (x0 ) < 0 ⇒ lı́m por lo tanto f 0 (x0 + h) > 0 ⇒ h < 0 y por lo tanto x0 es un máximo local de f. 2 f 0 (x0 + h) < 0 ⇒ h > 0 Ejemplo.- Encontrar las coordenadas del punto sobre la gráfica de la función f (x) = punto (2, 0) del eje X. √ x, más cercano al Demostración. Tenemos que la fórmula de la distancia entre dos puntos q p √ d = (x − 2)2 − ( x)2 = x2 − 3x + 4 donde al derivar se obtiene 2x − 3 d0 = √ 2 x2 − 3x + 4 N otamos que x2 − 3x + 4 6= 0 ∀ x la última observación la justificamos de la siguiente forma. √ −(−3) ± −7 por lo tanto x2 − 3x + 4 6= 0 ∀ x x2 − 3x + 4 tiene raíces 2 ahora bien 2x − 3 3 = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = 2 2 2 x − 3x + 4 √ Mientras que d00 = √ 4 x2 − 3x + 4 − (2)(2x − 3) 2√x2x−3 2 −3x+4 4(x2 vamos a evaluar en x = − 3x + 4) 3 2 =√ la segunda derivada 3 7 d00 = 2 2 4 23 − 3 1 (2x − 3)2 7 − 3 = 3 2 x2 − 3x + 4 4(x2 − 3x + 4) 2 4(x − 3x + 4) 2 3 2 +4 por lo tanto según el criterio de la segunda derivada en x = 3 2 33 = √ > 0 7 3 2 la distancia es mı́nima Funciones Convexas Definición 5. Se dice que una función f es convexa en un intervalo I, si ∀ a, b ∈ I, el segmento rectilineo que une a (a, f (a)) con (b, f (b)) queda por encima de la gráfica de la función Tenemos que la recta que una tales puntos es: g(x) = f (b) − f (a) (x − a) + f (a) b−a y según la condición de convexidad f (x) < g(x) ⇒ f (x) < f (b) − f (a) f (b) − f (a) f (x) − f (a) f (b) − f (a) (x−a)+f (a) ⇒ f (x)−f (a) < (x−a) ⇒ < b−a b−a b−a b−a por lo tanto una función f es convexa en un intervalo I, si ∀ a, x, b ∈ I con a < x < b se tiene f (b) − f (a) f (x) − f (a) < b−a b−a Teorema 6. Supongase que f 00 (x) existe ∀ x ∈ (a, b) y si f 00 (x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) entonces f es convexa Demostración. Sean x1 , x2 ∈ (a, b) tal que x1 6= x2 y x1 < x2 y como f 00 (x) existe ∀ x ∈ (a, b) entonces f es derivable y continua en [x1 , x] y en [x, x2 ] por lo que según el teorema del valor medio existen c1 y c2 tales que f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) f 0 (c1 ) = y f 0 (c2 ) = x − x1 x2 − x como f 00 (x) > 0 se tiene que: f 0 (c1 ) < f 0 (c2 ) ⇒ f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) < ⇒ (f (x) − f (x1 ))(x2 − x1 ) < (f (x2 − f (x)))(x − x1 ) x − x1 x2 − x ⇒ f (x)(x2 − x) − f (x1 )(x2 − x) < f (x2 )(x − x1 ) − f (x)(x − x1 ) 4 ⇒ f (x)(x2 − x + (x − x1 )) < f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x) ⇒ f (x)(x2 − x) < f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x) − f (x1 )(x2 − x1 ) + f (x1 )(x2 − x1 ) ⇒ f (x)(x2 − x) < f (x1 )(x2 − x − x2 + x1 ) + f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x1 ) ⇒ f (x)(x2 − x) < f (x1 )(x2 − x1 ) + f (x2 )(x − x1 ) − f (x1 )(x − x1 ) ⇒ f (x)(x2 − x) < f (x1 )(x2 − x1 ) + (f (x2 ) − f (x1 ))(x − x1 ) ⇒ f (x) < f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) x2 − x1 como esto se cumple ∀ x1 , x2 ∈ (a, b) entonces f es convexa en (a, b) 5