Análisis Matemático III, FaMAF - UNC SEGUNDO CUATRIMESTRE 2013 Derivadas de orden más alto Teorema I: Supongamos que f está definida en un conjunto abierto E ⊂ R2 , y ∂f y ∂x ∂ 2f existen en cada punto de E. Supongamos que Q ⊂ E es un rectángulo cerrado con ∂y∂x vértices (a, b), (a + h, b), (a + h, b + k), (a, b + k) y (h, k) 6= 0. Definimos ρ(a, b, h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b) Entonces existe un punto (ξ, η) en el interior de Q tal que ρ(a, b, h, k) = hk ∂ 2f (ξ, η) ∂y∂x Demostración: Definamos la función u(x) = f (x, b + k) − f (x, b), entonces ρ(a, b, h, k) = u(a + h) − u(a). ∂f ∂f ∂f para cada punto en E, existe entonces u0 (x) = (x, b + k) − (x, b). ∂x ∂x ∂x Aplicando entonces el Teorema del valor medio de la derivada a la función u(x) en el intervalo (a, a + h) podemos escribir Como existe ρ(a, b, h, k) = u(a + h) − u(a) = hu0 (ξ) ∂f ∂f = h (ξ, b + k) − (ξ, b) . ∂x ∂x ∂ 2f en cada punto de E podemos aplicar nuevamente el Teore∂y∂x ∂f ma del valor medio de la derivada a la función (ξ, y) en el intervalo (b, b+k) obteniendo ∂x ∂ 2f (ξ, η). ρ(a, b, h, k) = hk ∂y∂x Nuevamente como existe Teorema II: Supongamos que f está definida en un conjunto abierto E ⊂ R2 , y ∂f ∂f , ∂x ∂y ∂ 2f ∂ 2f existen en cada punto de E. Además supongamos que es continua en algún ∂y∂x ∂y∂x ∂ 2f punto (a, b) ∈ E. Entonces existe en el punto (a, b) y ∂x∂y y ∂ 2f ∂ 2f (a, b) = (a, b) ∂x∂y ∂y∂x 1 Análisis Matemático III, FaMAF - UNC ∂ 2f es continua en (a, b). Dado > 0 podemos elegir (h, k) ∂y∂x suficientemente pequeños 2 2 ∂ f ∂ f < (ξ, η) − (a, b) ∂y∂x ∂y∂x Demostración: Como usando el Teorema I para (ξ, η) ∈ Q tenemos que 2 ρ(a, b, h, k) ∂ f − (a, b) < hk ∂y∂x con ρ(a, b, h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b). Fijando h y tomando ∂f existe podemos escribir ∂y 2 1 ∂f ∂f ∂ f < (a + h, b) − (a, b) − (a, b) h ∂y ∂y ∂y∂x Como es arbitrario y h 6= 0 obtenemos el resultado. k → 0 y puesto que 2