Guía 9

I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
Física Mecánica
Félix Rodríguez - Carlos Bastidas - 10°
Guía 9 – Aplicaciones Leyes de la Dinámica II
CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado
de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton,
lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza
resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el
sistema debe estar en equilibrio.
Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción
común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio
rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la
izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al
estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de
cada fuerza además de su magnitud.
Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura
1a. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda;
La primera condición de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y
verticales están equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema está en
equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican como indica la
figura 1b, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto
incluso si el vector que resulta de la suma de fuerzas sigue siendo cero. Es
obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el
movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condición se presentará
posteriormente, aunque antes es necesario definir algunos términos.
En la figura 1b, las fuerzas F no tienen la misma línea de acción.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se
extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas
direcciones.
Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo
punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado el eje de rotación.
En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea imaginaria que pasa a
través del perno en dirección perpendicular a la página.
EL BRAZO DE LA PALANCA
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la
fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia
de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si
se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran
rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su
centro (figura 2).
El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular
que hay de línea de acción de la fuerza al eje de rotación.
Fig. 1 (a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma línea de acción.
(b) No hay equilibrio porque las fuerzas opuestas no tienen la misma línea de acción.
Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la
figura 6), el brazo de palanca vale cero. Se observa que no hay efecto
rotacional, independientemente de la magnitud de la fuerza. En este sencillo
ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son simplemente la
distancia de los ejes de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin
embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no es más que
1
una sencilla construcción geométrica. El brazo de palanca se traza
perpendicular a esta línea. Debe ser igual la distancia del eje al punto de
aplicación de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza aplicada es
perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 3, r representa el
brazo de palanca; y O, el eje de rotación. Estudie cada ejemplo, observando
cómo se trazan los brazos de palanca y razonando si la rotación es en el
mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto
a O.
I
Fig. 3 Algunos ejemplos de brazos de palanca.
I
MOMENTO DE TORSIÓN
Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar un
movimiento. El momento de torsión se define como la tendencia a producir
un cambio en el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama
también momento de fuerza. Como ya hemos visto, el movimiento rotacional
se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza F como por su brazo de
palanca r. Por lo tanto, definiremos el momento de torsión como el producto
de una fuerza por su brazo de palanca.
Fig. 2 La fuerza no equilibrada F no produce ningún efecto rotacional sobre el
punto A, pero cada vez es más eficaz a medida que aumenta su brazo de palanca.
Es preciso entender que en la ecuación r se mide en forma perpendicular a
la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son
las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo, newton-metro
y
libra-pie
.
La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la
rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido
retrógrado (sr), o en dirección contraria a ellas o sentido directo (sd).
Seguiremos la misma convención que para medir ángulos. Si la fuerza F
tiende a producir una rotación contraria a la de las manecillas con respecto a
un eje, el momento de torsión se considerará positivo. Los momentos de
torsión en el sentido de las manecillas del reloj se considerarán negativos.
2
En la figura 4, todos los momentos de torsión son positivos (sd), excepto el
correspondiente a la figura 4a.
Fig. 4 Método de las componentes para el cálculo del momento de torsión.
En algunas aplicaciones, es más útil trabajar con las componentes de una
fuerza para obtener el momento de torsión resultante. En el ejemplo anterior
se podría haber separado el vector de 20 lb en sus componentes horizontal y
vertical. En vez de hallar el momento de torsión de una sola fuerza, sería
necesario encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes.
Como indica la figura 8, el vector de 20 lb tiene sus componentes Fx y Fy, las
que se calculan por trigonometría:
MOMENTO DE TORSIÓN RESULTANTE
La resultante de varias fuerzas se puede determinar sumando las
componentes x y y de cada fuerza, y así obtener las componentes de la
resultante.
Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección
común. Las fuerzas que no tienen una línea de acción común producen una
resultante del momento de torsión, además de una resultante de la fuerza
traslacional. Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el
momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de
torsión positivos y negativos debidos a cada fuerza.
∑
Hay que recordar que los momentos de torsión en sentido contrario al
avance de las manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo
sentido de las manecillas son negativos.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
Cálculo del momento de torsión resultante:
1. Lea el problema y luego dibuje una figura y marque los datos.
Observe en la figura 8b que la línea de acción de la fuerza de 10 lb pasa por
el eje de rotación. Esto no produce ningún momento de torsión porque su
brazo de palanca es cero. Por lo tanto, el momento de torsión total se debe a
la componente de 17.3 lb, que es perpendicular al mango. El brazo de
palanca de esta fuerza es la longitud de la llave inglesa, y el momento de
torsión es
Note que utilizando este método se obtiene el mismo resultado. No hacen
falta más cálculos, porque la componente horizontal tiene un brazo de
palanca de cero. Si elegimos las componentes de una fuerza a lo largo y
perpendicularmente a la distancia conocida, tan sólo nos interesa el
momento de torsión de la componente perpendicular.
2. Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas,
distancias y el eje de rotación.
3. Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4. Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.
5. Calcule los brazos de palanca si es necesario.
6. Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza
independientemente de otras fuerzas; asegúrese de asignar el signo
apropiado (sd = + y sr = ).
7. El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los
momentos de torsión de cada fuerza.
3
EQUILIBRIO
Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio
rotacional.
La condición para el equilibrio traslacional quedó establecida en forma de
ecuación como
∑
∑
Si se desea asegurar que los efectos rotacionales también estén
equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsión resultante.
Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es:
La suma algebraica de todos los momentos de torsión en
relación con cualquier eje debe ser cero.
∑
La segunda condición de equilibrio simplemente nos indica que los
momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están
exactamente equilibrados por los momentos de torsión opuestos al avance
de las manecillas. Más aún, puesto que la rotación no ocurre respecto a
ningún punto, podemos elegir cualquier punto como eje de rotación. Mientras
los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el
momento de torsión resultante será de cero. Los problemas se simplifican si
se elige el eje de rotación en el punto de aplicación de una fuerza
desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca de cero, no
contribuye al momento de torsión, independientemente de su magnitud.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
Equilibrio rotacional
1. Trace y marque un bosquejo con todos los datos.
4. Sume los momentos de torsión correspondientes a cada fuerza con
respecto al eje de rotación elegido y establezca el resultado igual a cero.
5. Aplique la primera condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones
adicionales.
6. Calcule las cantidades que no se conocen.
CENTRO DE GRAVEDAD
Cada partícula que existe en la Tierra tiene al menos una fuerza en común
con cualquier otra partícula: su peso. En el caso de un cuerpo formado por
múltiples partículas, estas fuerzas son esencialmente paralelas y dirigidas
hacia el centro de la Tierra. Independientemente de la forma y tamaño del
cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado
todo el peso del cuerpo. Este punto se llama el centro de gravedad del
cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en este punto, pero
podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a un eje
dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto.
El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un
cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Este hecho
se utilizó en los ejemplos de la sección anterior, donde considerábamos el
peso de la viga completa actuando en su centro. Aun cuando el centro de
gravedad es un punto fijo, no necesariamente tiene que estar dentro del
cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un neumático tienen
su centro de gravedad fuera del material del cuerpo.
A partir de la definición de centro de gravedad, se acepta que cualquier
cuerpo suspendido desde este punto está en equilibrio. Esto es verdad, ya
que el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan
sobre cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo
tanto, es posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando
el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional.
2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las
distancias entre las fuerzas.
3. Elija un eje de rotación en el punto donde se tenga menos información,
por ejemplo, en el punto de aplicación de una fuerza desconocida.
4
EJEMPLO 1
Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un
tambor de 120 mm. ¿Cuál es el momento de torsión producido
aproximadamente al centro del tambor? (Ver la figura).
Solución
Note que la línea de acción de la fuerza de20 N es perpendicular al diámetro
del tambor. Por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor. Si
se convierte el diámetro a metros (0.12 m), el radio es de 0.06 m. El
momento de torsión se calcula a partir de la ecuación:
Solución
Primero trace un bosquejo ordenado, extienda la línea de acción de la fuerza
de 20 lb, y dibuje el brazo de palanca como se mostró. Observe que el brazo
de palanca res perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al
eje de rotación. Debe recordar que el brazo de palanca es una construcción
geométrica y puede estar o no sobre alguna estructura física, como por
ejemplo el mango de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene
Si se desea, este momento de torsión se puede transformar en 14.4 lb · ft.
El momento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación en el
sentido de las manecillas del reloj.
EJEMPLO 3
EJEMPLO 2
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave inglesa
de 10 in, como se observa en la figura. Si este tirón forma un ángulo de 60°
con el mango de la llave, ¿cuál es el momento de torsión producido en la
tuerca?
Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne, como se observa en la
figura. Determine el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas
de 60 N y 80 N.
Solución
Se traza un diagrama de cuerpo libre y se construyen los brazos de palanca
r1 y r2 como en la figura (b). Las longitudes de los brazos de palanca son:
5
Si se considera A como eje de rotación, el momento de torsión debido a F 1
es negativo (sr) y el causado por F2 es positivo (sd). El momento de torsión
resultante se encuentra así:
Solución
Se traza un diagrama de cuerpo libre para que muestre claramente todas las
fuerzas y las distancias entre ellas. Note que se considera que todo el peso
de la viga uniforme actúa en su centro. En seguida aplicamos la primera
condición de equilibrio, ecuación:
∑
El momento de torsión resultante es 200 N · cm, en sentido contrario a las
manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa mejor como 2.00 N · m en
unidades del SI.
o bien,
Puesto que esta ecuación tiene dos incógnitas, es preciso tener más
información.
Por lo tanto, aplicamos la segunda condición de equilibrio.
EJEMPLO 12
Considere la situación que se presenta en la figura. Una viga uniforme que
pesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. De acuerdo con las
distancias y fuerzas que aparecen en la figura, ¿cuáles son las fuerzas
ejercidas por los soportes?
En primer lugar, debemos seleccionar un eje desde el cual podamos medir
brazos de palanca. La elección lógica es el punto de aplicación de alguna
fuerza desconocida. Eligiendo el eje en B, el brazo de palanca de esta fuerza
es cero. La suma de los momentos de torsión respecto a B dan por resultado
la siguiente ecuación:
∑
6
Note que la fuerza de 400 N y la fuerza A tienden a producir una rotación en
el sentido de las manecillas del reloj con respecto a B. (Sus momentos de
torsión fueron negativos.) Simplificando se obtiene
Añadiendo (12 m) A a ambos lados y simplificando queda
Dividiendo ambos lados entre 12 m, resulta
Ahora, para determinar la fuerza ejercida por el soporte B, tomemos en
cuenta de nuevo la ecuación obtenida a partir de la primera condición de
equilibrio,
Es posible determinar la tensión del cable a partir de la segunda condición de
equilibrio.
Despejando B se obtiene
∑
EJEMPLO 13
Un puntal uniforme de 200 lb de peso y 24 ft de longitud está sostenido por
un cable, como se observa en la figura. El puntal se apoya en la pared y el
cable forma un ángulo de 30° con respecto al puntal, que está en posición
horizontal. Si una carga de 500 lb se cuelga del extremo derecho, ¿cuál es la
tensión T del cable? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la
fuerza ejercida por el pivote?
Solución
Consideremos el puntal como un objeto en equilibrio. De las dos fuerzas
desconocidas F y T, tenemos menos datos de la fuerza F. Por lo tanto,
resulta lógico elegir este pivote como eje de rotación para sumar momentos
de torsión. De este modo, la fuerza desconocida F tendrá un brazo de
palanca igual a cero, haciendo que el momento de torsión alrededor de A
sea también cero. (No cometa el error de suponer que la fuerza ejercida por
este pivote coincide totalmente con lo largo del puntal).
A partir de la figura (b)
o sea que
Para encontrar las componentes horizontal y vertical de F, podemos aplicar
la primera condición de equilibrio. La componente horizontal se encuentra
sumando las fuerzas a lo largo del eje x.
∑
de donde
7
La componente vertical se determina sumando las fuerzas a lo largo del eje
y.
∑
3. Dibuje e identifique con un letrero el brazo del momento si el eje de
rotación está en el punto A de la figura 5b. ¿Cuál es la magnitud del
brazo del momento?
4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5b.
Despejando Fy, obtenemos
5. Si la fuerza F de la figura 5a es igual a 80 lb, ¿cuál es el momento de
torsión resultante en torno al eje A (considerando insignificante el peso
de la varilla)? ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno al eje
B?
o bien,
6. La fuerza F ilustrada en la figura 5b es de 400 N y el peso del hierro del
ángulo es insignificante. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en
torno del eje A y en torno del eje B?
TRABAJO EN CLASE
TRABAJO EN CASA
Figura 5
1. Dibuje e identifique con un letrero el brazo del momento de la fuerza F
sobre un eje en el punto A de la figura 5a. ¿Cuál es la magnitud del
brazo del momento?
2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5a.
1. Una persona que pesa 650 N decide dar un paseo en bicicleta. Los
pedales se mueven en un círculo con 40 cm de radio. Si todo el peso
actúa sobre cada movimiento descendente del pedal, ¿cuál es el
momento de torsión máximo?
2. Una sola correa está enrollada en dos poleas. La polea de tracción tiene
10 cm de diámetro y la polea exterior de salida tiene un diámetro de 20
cm. Si la tensión en la parte superior de la correa es esencialmente de
50 N en el borde de cada polea, ¿cuáles son los momentos de torsión de
entrada y de salida?
8
3. Se ha tendido horizontalmente un cable en la punta de dos postes
verticales colocados a 20 m de distancia uno del otro. Un letrero de 250
N está suspendido del punto medio del cable y hace que éste se pandee
en una distancia vertical de 1.2 m. ¿Cuál es la tensión en cada uno de
los segmentos del cable?
6. Calcule el momento de torsión resultante en el caso de la figura 7 si el
eje se mueve hasta el extremo izquierdo de la barra.
7. Calcule el momento de torsión resultante en torno a la esquina A para la
figura 8.
4. La varilla liviana de la figura 6 tiene 60 cm de longitud y gira libremente
alrededor del punto A. Halle la magnitud y el signo del momento de
torsión provocado por la fuerza de 200 N, si el ángulo θ es de (a) 90°, (b)
60°, (c) 30° y (d) 0°.
Figura 7
Figura 6
8. Halle el momento de torsión resultante en torno al punto C en la figura 8.
5. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno al punto A de la
figura 7? No tome en cuenta el peso de la barra.
9. En una regla graduada se colocan pesas de 10 N, 20 N y 30 N en las
marcas de 20 cm, 40 cm y 60 cm, respectivamente. La regla se balancea
sobre un solo apoyo en su punto medio. ¿En qué punto habrá que
agregar una pesa de 5 N para obtener el equilibrio?
Figura 7
10. Una correa de cuero está enrollada en una polea de 20 cm de diámetro.
Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. ¿Cuál es el momento de
torsión en el centro del eje?
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BIBLIOGRAFÍA
 Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II
 Publicaciones Cultural, Física General
 Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física
 Editorial Voluntad Física Investiguemos
 Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro
Fisicanet
 Ver FÍSICA OLIMPIADAS 11 (Editorial Voluntad) Ejercicios de
página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios
virtuales
 PIME Editores, Física 1, Mecánica y Calorimetría
 www.educaplus.org www. Ibercajalav.net/
 Santillana, Física 1 Nueva edición.
 Limusa Noriega Editores, Física Recreativa
Diseño_Lucho_Acevedo
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