POTENCIAS DE UN POLINOMIO n! ex

POTENCIAS
DE
UN
POLINOMIO
Por Alberto Rodriguez, S. I.
EI problema de elevar un polinomio a una potencia dada presenta un intere s teori co mas bien que prdcti co, En cualquier caso, y
sea cual fuere el rnetodo uti I i zado, resulta
una opercci on en extremo
laboriosa cuando tanto el grado del polinomio como el exponente de la
potencia
son relativamente
grandes.
Varios son los procedimientos que se pueden seguir :
por s i mismo el polinomio tantas
-EI elemental de multiplicar
veces como unidades tiene el exponente;
-EI de descomponer el polinomio dado en un binomio cuyo primer termino es el primero del polinomio
base, y el segundo, la suma
de los restantes. Se aplica entonces la formula para elevar un binomio
a una potencia, y en el desarrollo
cpcrecerein ahora potencias de polio
nomios cuyo grado es en una unidad inferior al grado del polinomio base, y que a su vez se descomponen en otros binomios, p rocediendo se
aSI sucesivamente
hasta Ilegar a potencias
de outent ico s binomios;
-Mediante la teorla del anali sis combinatorio,
y como opli co-
cion de las permutaciones con repeti cien, se prueba con facilidad
que
el termino general del desarrollo.
(1)
(a
+ a. + •.•
+ a
l + •..
o
+ a )n
m
I
es de la forma
<Xi
0(0
n!
01... ,I «.
y
I ... 0("
I .
(;1..;
a
a
i
o
0( "." .I
ex ...
•a
m
siendo
010
y recibiendo
+
0( • -r-
••
,
()(,
1" ••
,
0(,.,.,
= n
todos los sistemas posibles de valores naturales en que
se puede descomponer el exponente n.
-Utilizando
la formula de Maclaurin
2
(n)
(x) + (0) + f' (0) x + f' , '(o)xL
2!
21
en la que f (x) representarla
f'
, , (o~
3!
+ ...
f
x
(o).!-n+.
nt
la expre sien (1), y que requiere e'-calculo
17
de las diversas derivadas sucesivas
de dicha funci6n. Por ejemplo,
en el caso de un polinomio de grado cuarto elevado a la cuarta potencia, exigiria el cdlculo de dieciseis
derivadas, en las que luego hebr ic que particularizar
su valor para x = o ,
Cada procedimiento
tiene sus ventajas
y sus inconvenientes.
Tal vez el mayor de estos en los primeros sea la imposibilidad de su
aplicaci6n
cuando el exponente "n" deja de ser un ruimero natural.
Como elemental aplicaci6n de la primera derivada de un pol inomio y mediante el rnetodo de los coeficientes
indeterminados,
vamos
a indicar un nuevo procedimiento,
posiblemente mas prdctico, y valedero para cualquier valor que reciba el exponente "n" •
Dado el polinomio base, siempre Ie podemos
una funci6n de la variable "x", y ordenar conforme
crecientes de esta variable. Si el polinomio careciera
podriamos considerar cada uno de sus terminos como
dichas potencias crecientes
de una variable auxiliar
sultados finales bastaria hacer x = 1 para obtener la
da.
Sea, pues, el polinomio base grado "m",
a la potencia de exponente "n", de la forma
(2)
+ a x
.z
'~
== L:..
°iX
considerar como
a las potencias
de tal variable,
coeficientes
de
"x"; en los resoluci6n de sea-
que deseamos
elevar
2
2.
"-1
1=0
Y
su deri vada
(~)
f' (x)
F
(4)
. + i
+.•••
+ a x
... -.1
'"
(x)
y su deri vada
(5)
F' (x)
=
AI +2 A;zx + 3 A3xl + ...
Derivando con respecto
cando Iuego por f (x) :
38
a"
+ Aix,·l + .••
x " la expresi6n
(4), y multipli-
,,-,
(6)
f (x) F'
[x)
n f (x)
=
Los coeficientes
xo, xl, x2" ...
, xi-I,
f' (x) f [x)
de las diversas
Xl
•
,
n f' (x) F (x)
=
potencias
en orden creciente
del producto f (x) F' (x) son respectiva-
•
mente,
OoA,
a,A,
t
2. OoA.t
azA,
t
2 a,Az
aiA.
t
20i_,Az +
t,3 a.A3
(7)
.3
30i_zA.J
Q,-l."
+ i a,Ai
y
los coeficientes
f··· t (i-1.)
(i~l)
+
az"i-J
QoA,,.,
n f' (x) F (x) son, respectivamente
de! producto
n alAe
2rlozAo
3
no,A,
t
n aJAo
t ;}.n
azA,
VI
o,Az
+
o-o-»:».
+
(8)
i"ojAo
+
(i-.)nQ,_,A,
2
(L'I")
nOit-J!'o +
n 0.lA,-Z
inOiA,
+
3 n 03 Ai-l.
+
t···
no, Ai-J
T '"
(i-l)nac'_J~
t
+-
2. noz A,..,
+
+
no, Ai
Para que 10 expresi6n (6) se cumpla independientemente
del
valor de "x", es preciso que se convierta en una entidod, es decir,
que sean iguales en uno y otro miembro los coeficientes
correspondientes a los diversas p tencias de "x". Las diversas identidades
que iremos estableciendo
segun este criterio nos perrni tircn obtener
los coeficientes
A. en funci6n de los anteriores y de otros datos coI
nocidos.
10 notaci6n,
Con el fin de simplificar
(9)
n+l=pOC
,
D,
<X
;.
=
a.
00
hagamos
"'ct·
=~
I
Go
(I/: *i
!< m)
39
EI primer coeficiente
en 113 expresi6n (4), de donde
(10)
AI)
=
131 hacer x = 0
a~
Identificando
aoA,
A de F (x}, 10 obtenemos
o
chore los terminos
n a, Ao de donde
=
y considerando
independientes
en (7) y
c,
A 0-
AI
(8),
n+1 -
J
t
0"
(9).
1'-1
0(
(11)
1 1.
Analogamente, para calcular AZ idenflficnmos los ccefi cientes
de "x" en (7) y (8), y considerando luego (9) tendremos sucesivamente
a,A.
= 1
~QoAz
to
At.
J. au
n0.lAO
A,o.z }..Y1
=:
Az = Ao9-'
A,o, (
t
YI ~
1.)
A/~~
.l.(n+I)-~+
2.
00
(12)
(Y1-1)
A,O,
t
A1..
Ao
tX..1.. ~P-;?/~
t- A'o(l
p-~/,(
Para calcular A3 identificaremos
los coeficientes
cia cuadrada de 113 variable,
=0
QlA,/20tAl.
.3QoA3
AoQ.J3>?
=
A3 = Ao a3
A
tara
=0
f
A
o
,...,C3Ao f.ln
A a,
0.lA,
ex
3P33
3
2{-ntl)-3
r: A,
r natA~
+ A1o..,(n-z)
f
A,l ~
'au.3
3
3
3
=:
A,a.z(2n-t)
t
J(YI.II)-3
ao
( 13)
3 QoA3
f
de 113 poten-
{)Ht)-3
00
ex
2P-3
.l-3-
+-
3
A ex: P-3
'.<?
IT
,
Vamos ahora a calcular el coeficiente
general A· de F (x)j bas- •. -r:
.
..--'.
identificar los coeficientes
de 113 variable de exponente ttaif
al,-,A,
laoA,
•"
f
iOo,4,
40
.,'
1ai-ZA.l
+
=
">?a/Ao
+ (i-t)Y70/_1
2 n
=:
~ai-3113
f
0.z
Ai-z
AoQiln
f
n
0/
.,. A/al"-I
A/_I
(i-I)a/A('_/
f-
('-2)nCJ/_zAz
f
7-
f
"
[(i-I)n-j
t
Azat"-;z [(l'-Z.)
iJ.
IT...
ai-z.
+
(£-Z){nn)-I.'
a
1/
IIi-I
0,
a.
Z(-n,tt)-i
a»
t
ni-z -
{'
f
(".,,)-/
00
{.
ya que
(1-I)Yl-1
=
(Y1t-1)-~
(/-;:')>'7-l
(l'-j)n
==
l'Y7-Y7-1f-I.'-l
= U-z)n
U - 1)_/.' =
(l'- I)
(1.'-.<)
(t'-~)-/::
f
-~ fi-i
Y7
-f-
(i-;.) (n+2) - i
y con si derando (9), quedo finalmente,
(L'-z.)
p-i
2p-l
+
que nos da Ai en Iuncion de los
-r-
A,/-
m
p-i
I
c
anteriores, ya que
los correspondientes
':A ' no
De la observccien de (11), (12), (13) y (14) deducimos la for-
mula que nos expresa el coeficiente
ll=i-I
(15)
£X
coeficientes
para valores de "i" mayores que "m"
existen.
I
general Ai
{<,-h)p-l
Ai=Z
At,
cXL-h.
h=o
Este proceso
del exponente "n".
10
i
hemos realizado independientemente del valor
Cuando "n"
es un nurnero natural,
[f()(.)JY1
ten-
dra mn+1 terminos, luego la formula (15) para valores de i > mn-sl los
coeficientes
Ai son nulos. Si el exponente '·n"
entero y positivo,
vos coeficientes
no fuera un ruimerc
entonces esta misma formula nos dar'la, los sucesidel desarrollo
en serie de f (x),
EI desarrollo de las potencias naturales del binomio no es sino un caso particular
cientes,
del presente. La ley de tormaci6n de sus coefi-
formul a de T argagl ia general izada posteriormente por - Newton
41
para exponentes no enteros, es equivalente ala obtenida en (15) y particularizada
para este coso.
En efecto,
sea
f~)
::Qo
tO,X:
f(~)
'"
Aplicando
(00
/
a,
0.;;' ao
_
Z
4/
+
Z
A..l
-
I (n ~,) -~
c::., "" -
~
c)
0, rr
1
z:
= (YI)z
a?" -~a,z
c)
0","-1
0
u
I-
tn
serdn
a m - /0
VI
I1n
t + - _. +
10 formula (15), los coeficientes
t » r: I ) z:
Ao TA, X
=
tOI~)Yl
a;'
:; (~)
-I
el,
I
9..!. (
n - /)
:;
Y7
(n - ,)
ao..z.
2
Z
Como cpl icocion del metodo expuesto, y dejando 01 lector el
trabajo de obtener y corriprobcr los coeficientes,
copiamos a continua-
cion el resultado de elevar a 10 cuarta potencia un polinomio de cuarto
grado.
(1-31.
+,zX'
f2cJ~Xs
+41.3
-190K'
1:4)
-
r 58'8J:.~
ere :" _ zS2X.'
,z
/.:/1'
-
Enestecaso
,
p=5-
1. -j2X.
:::
f R8' Xl4 -/6
=-1-
'4
- ;.2Y4X.9
1-71/1;:'''
){/3
la formula (15), un coeficiente
=4-
'2
'3
cualquiera,
A
IV
s&J8
=2I
1
r
46
tlO
I-
Xl'
=-3-)yaplicando
'
ya calculados,
se ob-
y de los da-
del modo siguiente:
4P-1/
~1~1 -----~
.11
=
t.IS
~
por ejemplo el All
t~ndr6 en tuncien de los cuatro anteriores,
tos conocidos
113X4
-f.6ZX'-lG4K.'+
(-I)
f
A
¥
l/~
0(
J
.3P-/i
-I-
/1
(4)
A'1~~ ?~-'!-
i
.1/
1; r
(-1.2F4)
(.?)
A;oa(,
=-.:!.L.J"
=
Como el desarrollo
42
tiene mn=1 terminos,
en nuestro caso 17,
los
coeticientes
A i para iiese anulan. Por ejemplo,
~ A(3 GL", 4,P -/7
o
;116
.!2!!11
~I
2::.!..
N
o
11
+-1
s:
+ All- Ol~ .3,P -0
~ q
(-141l)
(-3)
-IZ
Ii'
(-I)
2.
A/~' ~.l
i
I-
17
KII .
2f'
-11
7-
/1
<1 ~
I-
11
(-/6j
I
11
=0
tl
procedimiento
general
expuesto mediante el empleo de 'Ia
primera derivada del polinomio y los coeficientes
se encuentra en sus l inecs fundamentales,
cion y desarrollo,
en los primeros escritos
indeterminados, ya
aunque con diversa notacientfficos
co sudamericano, el doctor Federico Villarreal,
de un mctemdri-
publicados en el siglo
pasado.
Sin embargo, su trabajo no es tan conocido como debiera serlo,
Y es que, como en otros muchos campos, tornbi en en este de las Matemati cas el meritc de nuestros valores intelectuales
cuando no se hallaba incomprendido
diferencia
0
asfixiado
permanecia oculto,
en un ambiente de in-
que afortunadamente va desapareciendo.
ALBERTO
RODRIGUEZ
Granada,
enera
S. I.
de 1957
43