Conjuntos convexos ♦ Ejemplos de conjuntos convexos en R2 CONVEXIDAD ♦ DEFINICION: Un conjunto A es convexo ♦Conjuntos convexos ♦Convexidad de funciones λx + (1 − λ ) y cuando ∀ x, y ∈ A y ∀λ ∈ [0,1] se cumple λx + (1 − λ ) y ∈ A ♦ Conjunto convexo: R2 y λ =0 λ = 1/ 2 x λ =1 ♦ Conjuntos no convexos: Cualquier segmento que una puntos que pertenezcan al conjunto, está completamente contenido dentro del propio conjunto Combinación lineal convexa de m puntos x1 , x 2 ,K, x m ∈ R n x = λ1x1 + λ2 x 2 + K + λm x m siendo λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0,..., λm ≥ 0 λ1 + λ2 + K + λm = 1 Combinaciones lineales convexas Combinaciones lineales convexas 1 Poliedro convexo generado por un conjunto de puntos ♦ Conjunto formado por todas las combinaciones lineales convexas (CLC) de los puntos generadores Propiedades de los conjuntos convexos ♦ En general, ni la unión ni la diferencia de conjuntos convexos produce un conjunto convexo Propiedades de los conjuntos convexos ♦ Un conjunto es convexo si y solo si toda CLC de puntos del propio conjunto pertenece al conjunto ♦ La intersección de conjuntos convexos sigue siendo un conjunto convexo Envoltura convexa de un conjunto ♦ Es el menor conjunto convexo que lo contiene ♦ Intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen Vértices de un conjunto convexo Un vértice es un punto del conjunto que no puede ser expresado como CLC de otros dos puntos diferentes del propio conjunto 2 Tipos especiales de conjuntos convexos ♦ Hiperplanos { } H = x = ( x1 ,..., xn ) ∈ R n a1 x1 + am x2 + K + am xm = b { S = {x = ( x ,..., x ) ∈ R } < b} S = x = ( x1 ,..., xn ) ∈ R a1 x1 + am x2 + K + am xm ≤ b n ♦ Una función definida sobre un dominio convexo D, es convexa cuando ∀ x, y ∈ D y ∀λ ∈ [0,1] se cumple f (λx + (1 − λ ) y ) ≤ λf ( x) + (1 − λ ) f ( y ) ♦ Semiespacios 1 Convexidad de funciones n n a1 x1 + am x2 + K + am xm ♦ Polítopos: conjuntos que se expresan como intersección de un número finito de semiespacios cerrados Caso de funciones de una variable f(x) ♦ Una función definida sobre un dominio convexo D, es estrictamente convexa cuando ∀ x, y ∈ D y ∀λ ∈ (0,1) se cumple f (λx + (1 − λ ) y ) < λf ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) Una función es convexa cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función queda siempre por encima de la gráfica. f(y) Si el segmento queda siempre estrictamente por encima (salvo en los extremos), entonces la convexidad es además estricta λ f( x)+(1-λ) f( y) f(x) f(λx+(1-λ)y) Toda función estrictamente convexa es también convexa x λx+(1-λ)y y Diferencia entre convexidad y convexidad estricta Función convexa (no estrictamente) Función f(x,y)=x2+y2 Función estrictamente convexa 3 Funciones cóncavas Funciones cóncavas de una sola variable ♦ Una función definida sobre un dominio convexo D, es cóncava cuando ∀ x, y ∈ D y ∀λ ∈ [0,1] se cumple f (λx + (1 − λ ) y ) ≥ λf ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) ♦ Una función definida sobre un dominio convexo D, es estrictamente cóncava cuando ∀ x, y ∈ D y ∀λ ∈ (0,1) se cumple Función cóncava (no estrictamente) Función estrictamente cóncava f (λx + (1 − λ ) y ) > λf ( x) + (1 − λ ) f ( y ) Función cóncava de dos variables Funciones que no son cóncavas ni convexas Función f(x,y)=1-2x2-3y2 Propiedades de las funciones convexas ♦ Si f(x) es una función convexa entonces la función opuesta –f(x) es cóncava, y viceversa ♦ Las funciones lineales son a la vez cóncavas y convexas, pero no estrictamente f ( x1 , x2 , L , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn + d Caso de funciones de una variable: f(x) = cx+d f(x) –f(x) f(λx+(1-λ)y) = λf(x)+(1-λ)f(y) 4 ♦ La suma de funciones convexas sigue siendo una función convexa ♦ La suma de funciones cóncavas sigue siendo una función cóncava ♦ Cualquier combinación lineal con coeficientes positivos de funciones convexas es también una función convexa f1 ( x), f 2 ( x), K , f k ( x) funciones convexas λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, K , λk ≥ 0 ⇒ λ1 f1 ( x) + λ2 f 2 (x) + L + λk f k ( x) es convexa ♦ Si una función h(x) es lineal (cóncava y convexa) entonces los siguientes conjuntos son siempre convexos S k = {x h( x) ≤ k } Semiespacio Tk = {x h( x ) ≥ k } Semiespacio H k = {x h( x ) = k } Hiperplano Relación entre conjuntos y funciones convexas ♦ Si una función f(x) es convexa entonces S k = {x f ( x) ≤ k } es un conjunto convexo para cualquier valor de k ♦ Si una función g(x) es cóncava entonces Tk = {x g ( x) ≥ k } es un conjunto convexo para cualquier valor de k EJEMPLO: Para estudiar si el siguiente conjunto es convexo ⎧ x12 + 3 x2 ≤ 10 ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ A = ⎨( x1 , x2 ) x1 − 2 x12 − x22 ≥ 7 ⎬ ⎪ 5 x1 + 2 x2 = 15 ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ bastaría comprobar que: f ( x1 , x2 ) = x12 + 3 x2 es una función convexa g ( x1 , x2 ) = x1 − 2 x − x22 es una función cóncava 2 1 h( x1 , x2 ) = 5 x1 + 2 x2 es una función lineal Estudio de la convexidad de funciones diferenciables Clasificación de matrices simétricas ♦ Se puede estudiar la convexidad a partir del ♦ Una matriz cuadrada simétrica A se dice... – Semidefinida positiva cuando xTAx ≥ 0 para cualquier vector x – Semidefinida negativa cuando xTAx ≤ 0 para cualquier vector x – Definida positiva cuando xTAx > 0 para cualquier vector x no nulo – Definida negativa cuando xTAx < 0 para cualquier vector x no nulo – Indefinida cuando la expresión xTAx toma valores positivos o negativos dependiendo del vector x estudio de la matriz hessiana ⎛ ∂2 f ⎜ 2 ⎜ ∂x1 ⎜ ∂2 f Hf ( x1 , x2 ) = ⎜ ∂x x ⎜ 2 1 ⎜ L ⎜ ∂2 f ⎜ ∂x x ⎝ n 1 ∂2 f ∂x1 x2 ∂2 f ∂x22 L ∂2 f ∂xn x2 ∂2 f ⎞ ⎟ ∂x1 xn ⎟ 2 ∂ f ⎟ L ⎟ ∂x2 xn ⎟ L L ⎟ ∂2 f ⎟ L ∂xn2 ⎟⎠ L Bajo ciertas condiciones de regularidad, la matriz hessiana de una función es una matriz simétrica 5 Clasificación a partir de los autovalores ♦ Los autovalores de la matriz A son las raíces del polinomio característico: a11 − λ det( A − λI ) = a21 L an1 a12 L a22 − λ L L L an 2 a1n a2 n L = 0 ⇒ λ1 , λ2 ,..., λn L ann − λ Los autovalores de una matriz simétrica son siempre números reales Clasificación a partir de los menores principales ♦ Los menores principales de la matriz A son n números reales obtenidos de la siguiente forma: ♦ Si todos los menores son diferentes de cero, salvo posiblemente el último, pero ni son todos positivos ni se alternan en el signo, entonces la matriz es indefinida. Cuando existe un menor nulo que no es el último el criterio de los menores principales no permite clasificar la matriz Ejemplo: ∆1 = 12 >0 ∆2 = 0 ∆3 = 5 > 0 ∆4 = 0 ♦ Una vez calculados los autovalores de una matriz simétrica, se tiene: – A es definida positiva si y solo si los autovalores son todos estrictamente positivos. – A es definida negativa si y solo si los autovalores son todos estrictamente negativos. – A es semidefinida positiva si y solo si los autovalores son todos mayores o iguales a cero. – A es semidefinida negativa si y solo si los autovalores son todos menores o iguales a cero. – A es indefinida si existen dos autovalores de diferentes signos. ♦ A es definida positiva si y solo si todos los menores principales son estrictamente positivos: ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0,..., ∆n > 0 ♦ A es definida negativa si y solo si los menores son todos ellos no nulos y de signo alterno, siendo siempre el primero negativo: ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ∆4 > 0,... ♦ Si todos los menores son estrictamente positivos salvo el último que es nulo, entonces la matriz A es semidefinida positiva. ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0,..., ∆n = 0 ♦ Si los menores son todos de no nulos, salvo el último, y además de signo alterno, siendo el primero negativo, entonces A es semidefinida negativa. ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ∆4 > 0,..., ∆n = 0 Estudio de la convexidad de la función a partir de la clasificación de su matriz hessiana ♦ f(x) es convexa si y solo si Hf(x) es semidefinida positiva para cualquier x en el dominio de la función. ♦ f(x) es cóncava si y solo si Hf(x) es semidefinida negativa para cualquier x. ♦ Si Hf(x) es definida positiva para cualquier x entonces f(x) es estrictamente convexa. ♦ Si Hf(x) es definida negativa para cualquier x entonces f(x) es estrictamente cóncava. 6