Pruebas de hipotesis - Centro de Geociencias ::.. UNAM

Pruebas de hipótesis para
una muestra
Ref:
Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre
Instituto Tecnológico de Chiuhuahua
Las secciones anteriores han mostrado cómo puede estimarse un parámetro
de una población a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede
encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de
valores posibles (intervalo de confianza).
Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración,
requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una
proposición sobre algún parámetro de la población.
Esta proposición recibe el nombre de hipótesis.
tesis Este es uno de los
aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de
problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de
la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de
hipótesis.
tesis
Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto
sobre los parámetros de una o más poblaciones.
Empecemos con un ejemplo, suponga que se tiene interés en la rapidez de
combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida
de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la
rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en
decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede
expresarse de manera formal como dos alternativas o hipótesis:
Ho; μ = 50 cm/s La rapidez promedio sí es de 50 cm/s
H1; μ ≠ 50 cm/s La rapidez promedio no es de 50 cm/s
La proposición Ho; μ = 50 cm/s se conoce como hipótesis nula (PENSAR:
NO HAY DIFERENCIA) , mientras que la proposición H1; μ ≠ 50 cm/s, recibe
el nombre de hipótesis alternativa (PENSAR: SÍ HAY DIFERENCIA).
Ahora bien, se podría considerar sólo una dirección en el caso en la
hipótesis alternativa o sea que la hipótesis alternativa especifique valores de
μ que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, esto también se conoce
como hipótesis alternativa de una cola o unilateral.
unilateral En algunas situaciones,
lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en los
casos:
Ho; μ = 50 cm/s
H1; μ > 50 cm/s
o
Ho; μ = 50 cm/s
H1; μ < 50 cm/s
Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones
sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones
sobre la muestra.
muestra
Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la
hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes:
1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del
proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es
determinar si ha cambiado el valor del parámetro.
2.
Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona
con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de
hipótesis es verificar la teoría o modelo.
3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas
tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de
obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la
prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones.
Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en
particular recibe el nombre de prueba de hipótesis.
tesis Los procedimientos
de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en
la muestra aleatoria de la población de interés.
Si esta información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es
verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente con la
hipótesis, se concluye que esta es falsa.
Debe hacerse hincapié en que la verdad o falsedad de una hipótesis en
particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda
examinarse a toda la población.
Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es
necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en
cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada.
La hipótesis nula,
nula representada por Ho,
Ho es la afirmación sobre una o más
características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la
“creencia a priori”).
La hipótesis alternativa,
alternativa representada por H1, es la afirmación
contradictoria a Ho, y ésta generalmente es la hipótesis a investigar.
investigar
La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la
evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice
decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis
nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de
hipótesis son:
Rechazar Ho
o
No rechazar Ho.
Prueba de una Hipótesis
Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema anterior de la
rapidez de combustión. La hipótesis nula podría ser que la rapidez promedio
de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta
no es igual a 50 cm/s. Esto es, como se mencionó al principio, lo que se
desea probar es:
Ho; μ = 50 cm/s
H1; μ ≠ 50 cm/s
Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10
especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio
muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la
población. Un valor de la media muestral x que esté próximo al valor
hipotético μ = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la
media μ es realmente 50 cm/s; esto es, que apoya la hipótesis nula Ho. Por
otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una
evidencia que apoya la hipótesis alternativa H1. Por tanto, en este caso, la
media muestral es el estadístico de prueba.
La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que
si 48.5 ≤ x ≤ 51.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula Ho; μ = 50
cm/s, y que si x < 48.5 ó x >51.5, entonces se acepta la hipótesis
alternativa H1; μ ≠ 50 cm/s.
Los valores de x que son menores que 48.5 o mayores que 51.5
constituyen la región crítica de la prueba, mientras que todos los valores
que están en el intervalo 48.5 ≤ x ≤ 51.5 forman la región de
aceptación de la hipótesis nula. Las fronteras entre las regiones crítica y
de aceptación reciben el nombre de valores críticos.
ticos
La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula
Ho. Por tanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadístico de prueba cae
en la región crítica, de lo contrario, no se rechaza Ho.
¿Puedes ver la similitud
de esto con los
intervalos de confianza?
Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones
erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez
promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin
embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse
un valor del estadístico de prueba x que cae en la región crítica. En este
caso, la hipótesis nula Ho será rechazada en favor de la alternativa H1
cuando, de hecho, Ho en realidad es verdadera.
Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I.
El error tipo I se define
como el rechazo de la
hipótesis nula Ho cuando
ésta es verdadera.
Para probar si cometemos un error del tipo I consideramos un “nivel de
significancia” que nos ayuda a determinar la probabilidad de cometer
este tipo de error.
A este nivel se denomina con la letra α.
Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% (0.95) entonces el nivel de
significancia sería del 5% (0.05).
Nivel de confianza = (1- α)
Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de
significancia sería del 10%.
Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es
diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral x cae por error de
muestreo dentro de la región de aceptación.
En este caso se acepta Ho cuando ésta es falsa.
Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II.
II
A la probabilidad de tener un error de tipo II se denomina con la
letra β.
El error tipo II se define
como la aceptación de la
hipótesis nula
cuando ésta es falsa.
Tipos de Pruebas de Hipótesis
Como mencionamos antes, se pueden presentar dos tipos de pruebas de
hipótesis que son:
1.
De dos colas, o bilateral.
Ho; μ = 50
H1; μ ≠ 50
2.
De una cola, o uniilateral.
Ho; μ = 50
Este último puede ser de cola derecha o izquierda.
H1; μ > 50
H1; μ < 50
El tipo de prueba depende de lo que se necesite probar.
1. De una cola derecha.
El investigador desea comprobar la hipótesis de un valor mayor en el
parámetro que el de la hipótesis nula, en este caso el nivel de
significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las
regiones de aceptación y de rechazo.
Prueba de hipótesis:
Ho; Dato ≤ x
H1; Dato > x
Región de aceptación
de Ho
Región de rechazo
de Ho = α
2. De una cola izquierda:
El investigador desea comprobar la hipótesis de que el parámetro sea
menor que el de la hipótesis nula, en este caso el nivel de significancia
se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de
aceptación y de rechazo.
Prueba de hipótesis:
Ho; Parámetro ≥ x
H1; Parámetro < x
Región de rechazo
de Ho= α
Región de aceptación
de Ho
De dos colas:
El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro,
es decir, no importa si es mayor o menor y lo que se busca es si hay
diferencia con el valor planteado. El nivel de significancia se divide en
dos y existen dos regiones de rechazo.
Prueba de hipótesis:
Ho; Parámetro = x
H1; Parámetro ≠ x
Región de rechazo
de Ho= α/2
Región de aceptación
de Ho
Región de rechazo
de Ho= α/2
Una Regla para Rechazar H0
„ Seleciona la probabilidad de error tipo I: α
(nivel de significancia).
„ Encuentra el valor estadístico crítico correspondiente (zα en
la tabla de la distribución normal estándar o tα en la
distribución t de student).
„ Calcula el valor del estadístico para la muestra
„ Si Z o t cae en el rango crítico zα ,tα entonces, rechaza H0
EJEMPLOS.
1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el
año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una
desviación estándar poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la
vida media hoy en día es mayor a 70 años con base en esa muestra. La
muestra parecería indicar que es así pero ¿Cuál es la probabilidad de
que la media de la muestra no refleje la verdadera media de la
población?
Utilizar un nivel de significancia de 0.05.
Solución:
Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar
conocida.
1.Datos:
μ =70 años
s = 8.9 años
x = 71.8 años
n = 100
α = 0.05
2. Establecemos la hipótesis
Distribution Plot
Normal, Mean=0, StDev=1
Ho; μ = 70 años.
H1; μ > 70 años.
0.4
3. Nivel de significancia
α = 0.05, zα = 1.645
4. Regla de decisión:
Si z ≤ 1.645 no se rechaza Ho.
Si z > 1.645 se rechaza Ho.
Density
0.3
0.2
0.1
0.05
0.0
0
X
1.64
5. Cálculos:
6. Decisión y justificación.
Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia
del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.
2. Una empresa eléctrica fabrica baterías de celular que tienen una duración
que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de
800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra
aleatoria de 30 baterías tiene una duración promedio de 788 horas,
¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración
media no es 800? Utilice un nivel de significancia del 0.04.
Solución:
1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar
poblacional conocida. Por lo tanto usamos la distribución normal.
2. Datos:
μ =800 horas
s = 40 horas
x = 788 horas
n = 30
α = 0.04
3. Prueba de hipótesis.
Como a la empresa no le preocupa si la duración es igual o mayor a su
propuesta, entonces las hipótesis a plantear son:
Ho; μ ≥ 800 horas
H1; μ < 800 horas
4. Nivel de significancia
a = 0.04, za = -1.75
Distribution Plot
Normal, Mean=0, StDev=1
0.4
Density
0.3
0.2
0.1
0.04
0.0
-1.75
0
z
Distribution Plot
Normal, Mean=0, StDev=1
0.4
0.3
Density
5. Regla de decisión:
Si z ≥ -1.75 no se rechaza Ho.
Si z < -1.75 se rechaza Ho.
0.2
0.1
0.04
6. Cálculos:
0.0
-1.75
0
z
7. Decisión y justificación
Como -1.643 ≥ -1.75 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un
nivel de significancia del 0.04 que la duración media de las baterías no
ha cambiado.
Muestras pequeñas
„
Para el caso de muestras pequeñas (n <
30), el procedimiento a seguir es similar al
anterior, con la diferencia que empleamos
la distribución t de student
Ejemplos:
1. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de
Kilowatt-hora que gastan varios aparatos eléctrodomésticos. Se afirma
que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una
muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio indica que
las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una
desviación estándar de 11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de
significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de
46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora
es normal.
Solución:
1. Datos:
μ= 46 kilowatt-hora
s= 11.9 kilowatt-hora
x
= 42 kilowatt-hora
n = 12
α = 0.05
2. Prueba de hipótesis
Ho; μ = 46 kilowatt-hora
Distribution Plot
H1; μ < 46 kilowatt-hora
tc para 0.95 (α = 0.05)
con 11 grados de libertad
0.4
0.3
Density
3. Valores críticos
T, df=11
0.2
0.1
0.05
0.0
4. Regla de decisión:
Si t ≥ -1.796 No se rechaza Ho
Si t < -1.796 Se rechaza Ho
-1.796
0
X
5. Cálculo del valor t para los datos
Distribution Plot
T, df=11
0.4
Density
0.3
0.2
0.1
0.05
0.0
-1.796
0
X
42 − 46
x−μ
=
= −1.16
t=
11.9
s
12
n
6. Decisión y justificación :
Como –1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un
nivel de significancia del 0.05 que el número promedio de kilowatt-hora
que gastan al año las aspiradoras no es significativamente menor que 46.
Nivel de significancia α
¿Cuál es el máximo de probabilidad de error tipo
I (α) que estaríamos dispuestos a aceptar?
Región de rechazo
de Ho= α
Pruebas de Hipótesis en general
„ Si σ es conocida y los datos son normales, aplicamos el Teorema
del Límite Central y dependiendo de lo que se desea probar:
„ H0 : µ = µ 0
„ H0 : µ = µ 0
„ H0 : µ = µ 0
Se compara
Ha: µ < µ0 una cola izquierda
Ha: µ > µ0 una cola derecha
Ha: µ ≠ µ0 dos colas
z=
x − μ0
σ
n
con zα/2 ó zα
„ Si σ es desconocida (la desviación estándar de la población), pero
tenemos datos distribuídos de forma normal y n ≤ 30.
Usamos la prueba t con la desviación estándar de la muestra:
x − μ0
t=
s
n
y se compara con α/2 ó α
t
t
Recordando que:
„ La estadística de la prueba
t tiene una distribución t de
student con n-1 grados de libertad.
„ Cuando n > 30, se puede usar la tabla de la distribución normal
en vez de la t.
Valor p de la prueba
„ Es la probabilidad de observar un valor extremo de la estadística a
prueba si se supone que la hipótesis nula es cierta.
„ Si H0 es cierta, y la alternativa es Ha: µ< µ0 ¿Cuál es la probabilidad de
observar
z < -2.41?
El área desde z = -2.41 hacia el extremo
nos da un valor de
0.00798 por lo que
ese es el valor de p.
0.4
Distribution Plot
Normal, Mean=0, StDev=1
Density
0.3
0.2
0.1
0.00798
0.0
-2.41
0
X
Ejemplo de empleo del valor p.
El área color amarillo sería
el valor p para una t = - 2.41,
puede verse que es menor al
área azul que es la región
crítica. Eso implica que un
valor de t = - 2.41 rechaza la
hipótesis nula.
-t.05 = -1.7293
P(t<-1.7293) = .05
-2.41
-1.7293
Si t < -1.7293 se rechaza
H0 al nivel α del 5% de
significancia.
Pero también se puede
comparar el valor de p
directamente con el de
α (= 0.05).
0.05)
Si p es menor que α se
rechaza H0 al nivel del
5% de significancia.
Más ejercicios de Pruebas de Hipótesis.
1. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de hojuelas de maíz pesan, en
promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. El
fabricante quiere poner en la etiqueta que el peso promedio es de 5.5
onzas. Probar la hipótesis de que μ ≥ 5.5 onzas contra la hipótesis
alternativa, μ < 5.5 onzas con un nivel de significancia de 0.05.
Solución.
Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar
desconocida, pero como el tamaño de muestra es mayor a 30 se puede
tomar la desviación muestral como un estimador puntual para la
poblacional.
Datos:
Datos
μ= 5.5 onzas
s= 0.24 onzas
x = 5.23 onzas
n = 64
α = 0.05
Prueba de hipótesis
Ho; μ ≥ 5.5 onzas
H1; μ < 5.5 onzas
Regla de decisión:
Si Z ≥ -1.645 No se rechaza Ho
Si Z < -1.645 Se rechaza Ho
Cálculos
x − μ 5.23 − 5.5
z=
=
= −9
s
0.24
n
64
Justificación y decisión:
Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de
significancia del 0.05 que las bolsas de hojuelas de maíz pesan en promedio
menos de 5.5 onzas.
2. Un constructor afirma que se instalan calefactores en 70% de todas las
casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de
acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta
ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas calefactores ? Utilizar un
nivel de significancia de 0.10.
Solución.
Se trata de una distribución muestral de proporciones y una prueba de dos
colas.
Datos:
P= 0.70
p = 8/15 = 0.5333
n = 15
α = 0.10
Como nP ≥ 5 y n(1-P)
casi 5, 30 podemos
usar la z
Prueba de hipótesis
Ho; P = 0.70
H1; P ≠ 0.70
t= -1.7613
t=1.7613
Regla de Decisión:
Si –1.7613 ≤ t ≤ 1.7613 No se rechaza Ho
Si Z < -1.7613 ó si Z > 1.7613 Se rechaza Ho
Cálculos:
t=
p− P
P (1 − P )
n
=
0.533 − 0.70
(0.70)(0.30)
15
= −1.41
Decisión y justificación:
Como –1.7613≤ -1.41 ≤ 1.7613 No se rechaza Ho y se concluye con un
nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.
3. Una lata de 12 onzas de refresco se diseña para que contenga una
cantidad ligeramente mayor que 12 onzas, de tal manera que si excede este
volúmen no hay problemas. Sin embargo, un volúmen menor a 12 onzas
ocasiona que los consumidores demanden al fabricante. En el proceso
normal de producción, el fabricante supone que μ es igual o mayor a 12
onzas. Suponiendo que se prueba una muestra de 45 latas y se encuentra
un volúmen promedio de 10.5 onzas con una desviación estándar de 2
onzas, establecer si se puede afirmar con un nivel de significancia de 0.01
que el fabricante está en lo correcto.
Solución
Se trata de una distribución de medias con n > 30.
Datos:
μ= 12
x =10.5
s=2
n = 45
α = 0.01
Prueba de hipótesis
Ho; μ ≥ 12 onzas
H1; μ < 12 onzas
α =0.01
Zα=-2.326
Regla de decisión:
Si Z ≥ -2.326 No se rechaza Ho
Si Z < -2.326 Se rechaza Ho
Cálculos:
x − μ 10.5 − 12.0
z=
=
= −5.03
s
2
n
45
Justificación y decisión:
Como –5.03 < - 2.326 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel
de significancia del 0.01 que no se pude afirma que las latas tengan un
volumen de 12 onzas en promedio.
4. Resolver el problema anterior considerando un nivel de significancia de
0.05.
Solución
Mismos datos excepto α = 0.05
Mismas hipótesis
Mismos cálculos
Encontramos que el valor crítico de Z es ahora Zα = -1.649, por lo que el
resultado anterior no se altera ya que –5.03 < - 1.649, por lo tanto la
Ho también se rechaza a un nivel de significancia de 0.05