Tema 6. Transmision de calor multidireccional y transitoria

Diapositiva 1
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR
MULTIDIRECCIONAL Y
TRANSITORIA
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
1
Diapositiva 2
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
ÍNDICE
1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL
2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE CALOR
POR CONVECCIÓN
2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME
2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA
- Parámetros adimensionales característicos
- Transmisión de calor estacionaria unidimensional
- Ecuación general
- Solución aproximada de Heissler
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
2
Diapositiva 3
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL
ρ ⋅ Cp ⋅
•estacionario
• g=0
• k=cte
∂T
= g + k ⋅ ∆T
∂t
Ecuación de
Laplace
⇒ ∆T = 0 ⇒
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+
+
=0
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
TRANSMISIÓN DE CALOR ESTACIONARIA BIDIRECCIONAL. PLACA CON
TEMPERATURAS CONOCIDAS EN LOS LADOS.
θ ( x, y ) = T ( x, y ) − T∞
L
H
Tb
T ( x, y )
T∞
T∞
x
∂ 2T ∂ 2T
∂ 2θ ∂ 2θ
+
= 0⇒ 2 + 2 = 0
∂x 2 ∂y 2
∂x
∂y
T = Tb
x=0
T = T∞
y=0
T = T∞
x=L
T = T∞
y=H
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
θ ( x, y )
θ = θb x = 0 θ = 0 y = 0
θ =0 x=L θ =0 y=H
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Diapositiva 4
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Aplicando el método de separación de variables: θ ( x, y ) = X ( x ) ⋅ Y ( y )
−
1 d 2 X 1 d 2Y
⋅
= ⋅
= λ2
X d x2 Y d y2
d2X
+ λ2 ⋅ X = 0
2
dx
d 2Y
− λ2 ⋅ Y = 0
2
dy
Solución general: θ = K [sinh(λx) + A cosh(λx)]⋅ [sin(λy ) + B cos(λy )]
Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos:
4 ⋅ θ b ∞ sinh[(2n + 1)π ( L − x) / H ] sin[(2n + 1)(πy / H )]
⋅
θ=
∑
π n =0 sinh[(2n + 1)(πL / H )]
2n + 1
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 5
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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Caso particular : Placa con dos lados a temperaturas diferentes
y
T
donde:
∞
H
Tb
T(x,y)
0
θb
T∞
L
0
∂ 2θ ∂ 2θ
+
=0
∂x 2
∂y 2
x
0
Ta
θ
θa
0
= θb
θ1
0
0
+
0
0
θ2
θ = θb
θ =0
θ = θa
θ =0
para
para
para
para
x=0
x=L
y=0
y=H
0
θa
La solución es la superposición de ambas:
θ ( x, y ) = θ 1 ( x, y ) + θ 2 ( x, y )
∂ 2θ 1 ∂ 2θ 1
∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2
+
= 0⇔ 2 +
=0
∂x 2
∂y 2
∂x
∂y 2
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
Condiciones de contorno

 x = 0 θ1 = θ b

x = L θ1 = 0

y = 0 θ = 0
1


 y = H θ1 = 0
θ2 = 0
θ2 = 0
θ2 = θa
θ2 = 0
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Diapositiva 6
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE
CALOR POR CONVECCIÓN
2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME
Cuerpos de pequeñas dimensiones y conductividad elevada. En dichas condiciones,
la temperatura en el interior del cuerpo se puede considerar uniforme en cualquier
instante de tiempo:
T = T (t )
− ρ ⋅V ⋅ C ⋅
dT
h⋅ A
dT
= Qconv = h ⋅ A ⋅ (T − T∞ ) ⇒
=−
dt
ρ ⋅ C ⋅V
dt
T − T∞
T(t)
Integrando y aplicando la condición inicial de T=Ti en t=0:
A ⋅h
A ⋅h
dT
T − T∞
t
=
−
⇒
=
−
ln
dt
t
∫Ti T − T∞ ∫0 ρ ⋅V ⋅ C
ρ ⋅V ⋅ C
Ti − T∞
T
A⋅h
t
−
t
−
θ T − T∞
=
= e ρ ⋅V ⋅C = e τ
θ i Ti − T∞
τ=
ρ ⋅V ⋅ C
A⋅ h
h, T∞
(tiempo característico)
(*)En caso de existir también intercambio por radiación se puede, bien introducir la
ecuación de calor intercambiado, o bien, utilizar el concepto de coeficiente equivalente a la
radiación.
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Diapositiva 7
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θ
θi
Ei
t
0
La energía total intercambiada hasta un tiempo t es:
T
t
t
0
0
t
−
τ
t
−
τ
E(t) =−m⋅Cp ⋅ ∫dT=∫ q⋅ A⋅dt = ∫ A⋅h⋅θ ⋅dt= ρ⋅V⋅C⋅θi ⋅(1−e ) = Ei ⋅(1−e )
o
t
−
E
= 1− e τ
Ei
Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase al
Ei = ρ ⋅V ⋅ C ⋅θi
equilibrio térmico con el fluido que la rodea.
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Diapositiva 8
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA.
PARÁMETROS ADIMENSIONALES
Comparación entre la variación de temperatura en el interior de la
pieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido.
T
Qcond
Ts,1
Bi<<1
Bi≈1
Bi>>1
Qconv
En condiciones estacionarias, el calor que se transmite
por conducción en la placa ha de ser igual al que se
transmite por convección entre la superficie de la placa y
el fluido en contacto con ésta
Ts,2
k placa ⋅ A
Ts,2
L
Ts,2
Ts ,1 − Ts , 2
Ts , 2 − T∞
L
x
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
(Ts ,1 − Ts , 2 ) = h ⋅ A(Ts , 2 − T∞ )
=
L k placa ⋅ A
1 h⋅ A
Número de Biot: Bi=
=
Rconduc.
h⋅ L
=
Rconvec. k placa
h⋅L
k solido
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Diapositiva 9
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
EVOLUCIÓN DE TEMPERATURAS EN FUNCIÓN DEL VALOR DEL
NUMERO DE BIOT:
T(x,0)=Ti
h, T∞
h, T∞
T∞
-L
L
x
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
T(x,0)=Ti
-L
L
Bi<<1
T=T(t)
T∞
T∞
T∞
-L
L
Bi= 1
T=T(x,t)
-L
L
Bi>>1
T=T(x,t)
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Diapositiva 10
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura uniforme si Bi<<1.
Bi =
h ⋅ Lcarac.
V
⇒ Lcarac. =
k
Aint ercambio


plana (e = 2 L) → Lcarac. = L
 pared


r


⇒ cilindro muy l arg o (ro ) →Lcarac.
= o 
2 

ro


esfera (ro ) →Lcarac. = 3

En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientes
condiciones: Placas: Bi<0.1
(Diferencia de temperatura entre
Cilindro: Bi<0.05
Esferas: Bi<0.03
superficie y centro inferior al 5%)
El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizar
en función del parámetro adimensional de Biot: h ⋅ L
θ
=e
θi
A⋅h
−
⋅t
ρ ⋅V ⋅C p
=e
h⋅ L
k
t
− c⋅
⋅
k ρ ⋅C p Lc ⋅Lc


c
=
Bi
 k
 θ
= e − Bi⋅Fo ⇒
⇒ = e − Bi⋅Fo

α ⋅ t = Fo  θ i
 L2c

Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo,
tiempo adimensional característico del transitorio.
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Diapositiva 11
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN TRANSITORIA
UNIDIRECCIONAL.
ECUACION GENERAL
La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, y sin generación
interna de calor, es:
∂T
∂T
∂T
ρ ⋅ Cp ⋅
= g + k ⋅ ∆T ⇒ ρ ⋅ Cp ⋅
= k ⋅ ∆T ⇒
= α∆T
∂t
∂t
∂t
SOLUCIÓN PARA PLACA PLANA, DE ESPESOR 2L, CON
CONVECCIÓN POR AMBOS LADOS:
QCONV
2L
En una sola dirección en coordenadas cartesianas:
θ ( x, t ) = T ( x, t ) − To
∂T
∂ 2T
= α ⋅ 2 ⇒ en función de θ ⇒ 
∂t
∂x
θ ( x, t ) = X ( x) ⋅ T (t )
Se introduce la diferencia de temperaturas, y de nuevo el método
de separación de variables:
2
θ ( x, t ) = e − λ αt ⋅ ( B1 ⋅ sen λx + B2 ⋅ cos λx)
2 ⋅ sin λn
x
T − T∞ ∞ −λn2 ⋅Fo
= ∑e
⋅
⋅ cos λn ⋅ siendo λ n
λn + sin λn ⋅ cos λn
Ti − T∞ n=1
L
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/ cot λ n =
λn
Bi
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Diapositiva 12
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
SOLUCIÓN APROXIMADA DE HEISLER
TRANSMISIÓN DE CALOR CONVECTIVA EN PLACAS, CILINDROS Y
ESFERAS EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
• Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoy
en día solución analítica fácilmente programable.
• Resolución por métodos numéricos.
• Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923)
• Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme
• Heisler (1947): aproximación con un término de la serie
funcional solución . Limitaciones:
– No son válidas para Fo < 0.2
– Gráficos difíciles de leer para Fo < 1
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Diapositiva 13
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR
UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARA
PLACA INFINITA DE ESPESOR 2L
x/L
x
∈ [0 ,1]
L
 T − T∞ 
T(x, t ) − T∞  T − T∞ 
⋅ o
=


Ti − T∞
 To − T∞  FIG.2  Ti − T∞  FIG.1
J.M.Corberán, R. Royo (UPV) To:
temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t)
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Diapositiva 14
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR
UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARA
CILINDRO DE RADIO r0 Y LONGITUD
INFINITA
r/r0
r
∈ [0,1]
r0
 T − T∞ 
T(r , t ) − T∞  T − T∞ 


⋅  o
= 
Ti − T∞
 To − T∞  FIG.4  Ti − T∞  FIG.3
To: temperatura en el eje del
cilindro=T(r=0,t)
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 15
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR
UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA
PARA UNA ESFERA DE RADIO r0
r/r0
r
∈ [0,1]
r0
 T − T∞ 
T(r, t ) − T∞  T − T∞ 


= 
⋅  o
−
Ti − T∞
T
T
 o
∞  FIG.6  Ti − T∞  FIG .5
To: temperatura en el centro de
la esfera=T(r=0,t)
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 16
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL TRANSITORIA
PLACA DE DIMENSIONES 2L*2H
SOLUCIÓN BIDIMENSIONAL
y
y
hH
2H
x
=
hL
hL
hL hL
x
2L
*
hH
2H
hH
2L
θ ( x, y, t ) 
θ ( x, t ) 
θ ( y, t ) 
=
⋅






 θi
 2 L⋅2 H  θ i  PLACA2 L  θ i  PLACA2 H
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 17
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
CILINDRO DE DIMENSIONES 2L,r0
x
hL
2L
=
hr
hL
hr
*
hr
hr
x hL
L 0
hL
r0
0 r0 r
θ (r , x, t ) 
 θ
 CILINDRO
i

 RADIO ro
LONGITUD 2 L
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
θ (r , t ) 
θ ( x, t ) 
=
⋅


 θ i  CILINDRO
 θ i  PLACA
RADIO ro
ESPESOR 2 L
INFINITO
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Diapositiva 18
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
PRISMA DE DIMENSIONES 2L*2H*2W
hw
hH T∞
y
H
z
hL
hw
hH
hw
0
x
2H
y
hL
hL
2L
0 L
x
hH
z W
θ ( x, y, z , t ) 
θ ( x, t ) 
θ ( y, t ) 
=
⋅




θi
θ i  PLACA2 L  θ i  PLACA2 H

 2PRISMA

L⋅2 H ⋅2W
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
0
θ ( z , t ) 
⋅

 θ i  PLACA2W
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Diapositiva 19
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA, UN CILINDRO, Y UNA
ESFERA CON EL MEDIO QUE LO RODEA HASTA EL TIEMPO T
E
=
⋅ Ei
E (t )  
 Ei  FIG.7
Ei = ρ ⋅ V ⋅ C p ⋅ (Ti − T∞ )
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA
E
Ei
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 20
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL CILINDRO
E
Ei
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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Diapositiva 21
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA ESFERA
E
Ei
J.M.Corberán, R. Royo (UPV)
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