Seminario de Matemáticas Final

TEORIA DE CONJUNTOS
Expositor: Ramiro De La Vega
Estudiantes encargados:
_ Luis Felipe Idárraga 201113601
_ José Darío Jiménez 201115027
_ Camilo García M. 201125737
Problema: Queremos encontrar una función f: R  R tal que:


f(x+y) = f(x) + f(y)
f(x) ≠ ax
Herramientas:
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
Buen orden: (L,<) es un buen orden si:
o Toda A⊂L no vacío tiene un mínimo a. ejemplo:
 ( , <) es un buen orden.
 0<2<4<6<8…. Es un buen orden.
 0<|1<|2<|3… <|-1<|-2<|-3 (no es el orden natural, pero es un buen
orden).

X
(a, b) orden lexicográfico(es una relación de orden que se
utiliza para ordenar producto cartesiano de conjuntos ordenados).
o Teorema de buenos ordenes: cualquier conjunto se puede bienordenar (dar
relación binaria).
o Si tengo 2 buenos órdenes uno es el segmento inicial de otro.
o Conjunto enumerable: Sea A conjunto, diremos que A es enumerable si
|a|=| |.
Axioma de elección:
Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces se puede tomar un solo
elemento de cada conjunto de X.
Una función de elección es una función f, definida en un conjunto X de conjuntos
no vacíos disjuntos dos a dos, tal que para todo conjunto S ∈ X, f(S) ∈ S. El AE se
puede enunciar entonces así:
Para todo conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección
definida en X.
Sean conjuntos A,B y la relación binaria P ⊆ (AxB)
(∀x∈A)(∃x∈B)(P(x,y)) → (∃f: A→B)(∀x∈A)(P(x,(f(x))

Teorema de Recursión Transfinita Sea A un conjunto bien ordenado y H una
función de secuencia de tipo A en un conjunto X. Existe una única función g : A →
X que satisface las siguientes ecuaciones recursivas:
o g(a) = H (g|a) para cada a en A.
(Ver Anexo 1.1).
Construcción de f
Utilizando el teorema de buenos órdenes decimos que:
o sea ≤* un buen orden de
o sea ( I, ≤) un buen orden más grande que
por ejemplo:
o P ( ) entonces puedo inyectar
↔ P ( ) pero no hay biyección
ni sobreyección.
o i0 = mínimo (I).
o
o
o
{ ri : i Є I} ⊆
({ ri : i Є I} base de Hamel para sobre )
ri0= 1
ri (mínimo con respecto a ≤*) y
ri = {x Є
| x no se puede escribir como combinación lineal de elementos
en
…..... {rj: j<i}}
Combinación lineal : x + y + z
Se vuelve: ˠ1 x + ˠ2 y +ˠ3 z y ˠi Є
Como I >
abre un i ЄI tal que cualquier j ≤*i entonces rj = 0.
 f(x) = f(ˠ1rj1 + ….+ ˠnrjn) = ˠ Donde abra un especifico “ + ˠri0”
es fácil ver que f está bien definida por el carácter de unicidad de ri0.
Hay que ver que f cumpla que f(x+y) = f(x) + f (y).
Sea f(x) = ˠ y f (y) = ˠ’ entonces x = ˠ1rj1 +…+ ˠri0 +...+ ˠnrjn y
y = ˠ1’rj1 +…+ ˠ’ri0 +...+ ˠn’rjn, por lo tanto
x+y = (ˠ1rj1 +…+ ˠri0 +...+ ˠnrjn) + (ˠ1’rj1 +…+ ˠ’ri0 +...+ ˠn’rjn)
= (ˠ1rj1 +…+ ˠri0 +...+ ˠnrjn - ˠri0 ) + (ˠ1’rj1 + …+ ˠ’ri0 +...+ ˠn’rjn - ˠ’ri0) +
ri0(ˠ + ˠ’)
Entonces f(x+y) = ˠ + ˠ’ = f(x) + f (y) q.e.d (Ver Anexo 1.2)
Anexos:
Anexo 1.1: Recursión y recursión transfinita
4.2. Teorema de recursión:
La noción de función recursiva vista hasta ahora tiene una versión en el presente
marco también: recursión transfinita. El esquema es parecido, en su formulación,
al Principio de Inducción Completa. Definir una función utilizando el Teorema de
Recursión Transfinita es definir una función en un a ∈ A cuyo valor viene dado por
la aplicación de una función parámetro H aplicada a todos los elementos
predecesores de a. Para poder formular esto de una manera precisa introducimos
un poco de notación adicional.
Definición 44.1 Sea A un conjunto bien ordenado y X un conjunto arbitrario.
1. Sea a un elemento de A. Una secuencia de tipo a en X es una función
que va del segmento inicial de a en X (ie. una función en [seg(a) → X]).
2. Si g es una función de A en X, entonces notamos con |a a la restricción
de esa función al segmento inicial de a.
3. Una función de secuencia de tipo A en X es una función f cuyo dominio
son todas las secuencias de tipo a en X, para todo elemento a ∈ A, y cuyo
rango esta en X.
Seguidamente formulamos el Teorema de Recursión Transfinita. Respeta el
esquema de la formulación del Teorema de Recursión (Teorema 11) simplemente
que ahora la función H debe utilizar el valor de g en todos los elementos
precedentes a a (en el Teorema de Recursión, H se aplicaba solamente al valor de
g en n).
Teorema 45 (Teorema de Recursión Transfinita): Sea A un conjunto bien
ordenado y H una función de secuencia de tipo A en un conjunto X. Existe una
única función g : A → X que satisface las siguientes ecuaciones recursivas
g(a) = H(g|a) para cada a en A.
Anexo 1.2: Bases de Hamel:
(Esta definición es usada en la última demostración)
De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos al
concepto de base de Hamel o base lineal. Puede probarse que todas las bases de
Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama
dimensión lineal o dimensión de Hamel. Un conjunto constituye una base de
Hamel si y solo si:
Bibliografía:
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Anexo 2:
Wikipedia La enciclopedia Libre (2011). Base (Algebra) Consultado el día 14 de
noviembre de 2011 de
http://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29#Bases_de_Hamel_y_d
e_Hilbert
Anexo 1:
Cátedra de Paradigmas de Lenguajes de Programación (2005). Apunte
Introductorio sobre Inducción y Recursión. 15 - 16. Consultado el día 14 de
noviembre de 2011 de
http://www-2.dc.uba.ar/materias/plp/20061C/download/apunteInduccion.pdf
Forero Cuervo, A. (2011). Matemática Estructural. Bogotá, Colombia: Ediciones
Uniandes.
Axioma de elección:
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http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n