Ejemplos resueltos transformada Z inversa

Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a
Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
1. Indique la transformada Z inversa para cada función de variables compleja de la siguiente lista.
a)
b)
c)
d)
e)
z
z+6
z
z−1
6z
6 z+1
6z
6 z−1
z
z 5 (z−1)
Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista:
n
1) (−6) u(n)
2) 6−n u(n)
3) n 3n u(n)
−n
4) (−6)
u(n)
5) u(n − 5)
6) u(n)
7) δ(n) + δ(n − 4)
Solución
Para a) tenemos:
Z −1
z
z+6
Z
= Z −1
z
z − (−6)
n
= (−6) u(n)
Para b) tenemos:
−1
z
z−1
n
= (1) u(n) = u(n)
Para c) tenemos:
Z
−1
n
6z
6 z+1
o
=
Z
=
Z −1
−1
n
6z
6 (z+ 16 )
z
z+ 16
o
= − 61
n
u(n) = (−6)
−n
u(n)
Para e) tenemos:
Z
−1
n
6z
6 z−1
o
= Z
−1
= Z −1
n
6z
6 (z− 16 )
z
z− 16
o
=
1 n
6
u(n) = 6−n u(n)
z
z−1
o
Para d) tenemos:
Z −1
n
z5
z
(z−1)
o
n
= Z −1 z −5 ·
=
Z −1
n
z
z−1
o
= u(n − 5)
n=n−5
2. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
4 z2
z − 14 z − 12
Dé sus primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Apliquemos fracciones parciales a Z(x)/z:
4 z2
=z·
X(z) =
z − 14 z − 12
16
16
−
2z − 1 4z − 1
=
16 z
16 z
−
2z − 1 4z − 1
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
Por tanto
x(n)
= Z −1
=
16
2
n
16 z
2 z−1
n
· Z −1
2
−
z
z− 21
16 z
4oz−1
−
o
16
4
· Z −1
3. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
3 z2
n
z
z− 41
o
= 8
1 n
2
−4
1 n
4
· u(n)
z
− 6z + 3
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Al intentar aplicar fracciones parciales sobre X(z)/z en la TI obtenemos:
1
z
=z·
3 z2 − 6 z + 3
3 (z 2 − 2 z + 1)
esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado:
3 z2
z
1
1
= z·
− 6z + 3
3
(z − 1)2
Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema está en las fórmulas siguientes:
Z {an u(n)} =
z
z−a
y
Z {n x(n) u(n)} = −z ·
De ellas deducimos la fórmula
Z {n an u(n)} =
az
(z − a)2
d
Z {x(n) u(n)}
dz
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3
Si ahora regresamos a nuestro problema:
Z −1 {X(z)}
= Z −1
=
1
3
n
o
1
z
3 (z−1)2
· F −1
n
z
(z−1)2
o
=
1
3
· n · 1n · u(n) =
1
3
n · u(n)
4. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
3 z + z2
− 2z + 2
z2
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Al aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI obtenemos la misma expresión. Y al revisar las raı́ces del denominador
vemos que son complejas. Estas raı́ces las salvaremos en las variables v1 y v2 y cambiaremos el denominador de la expresión
original para buscar fracciones parciales con ellas.
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Agrupando el resultado obtenemos:
X(z)
Por tanto
x(n) =
r2 +3
r2 +3
1
1
+
1
·
−
·
= z·
r1 −r2 z−r1
r1 −r2 z−r2
r2 +3
r2 +3
z
z
=
+
1
·
−
r1 −r2
z−r1
r1 −r2 · z−r2
1 1
− i
2 2
1 1
n
n
(1 + i) u(n) − − − i (1 − i) u(n)
2 2
Simplificando:
x(n) =
O bien
x(n) =
1
1
(1 − i) (1 + i)n + (1 + i) (1 − i)n
2
2
u(n)
1
1
(1 − i) (1 + i) (1 + i)n−1 + (1 + i) (1 − i) (1 − i)n−1
2
2
y observando que (1 − i) (1 + i) = 2 tenemos que:
x(n) = (1 + i)n−1 + (1 − i)n−1 u(n)
u(n)
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5
5. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
−3 z 2
z2 − 9
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Aplicamos fracciones parciales a X(z)
z :
−3 z 2
=z·
z2 − 9
−3 z
z2 − 9
3
1
3
1
3
z
3
z
=z· − ·
− ·
=− ·
− ·
2 z+3 2 z−3
2 z+3 2 z−3
Por lo tanto y usando linealidad:
Z −1 {X(z)}
=
=
Por lo tanto
n
o
z
z
Z −1 − 32 · z+3
− 23 · z−3
o
o
n
n
z
z
− 32 · Z −1 z−3
− 32 · Z −1 z+3
3
3
n
x(n) = Z −1 {X(z)} = − · (−3) u(n) − · 3n u(n)
2
2
6. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
−2 z
z2 − 9 z + 9
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI
obtenemos la misma expresión:
El algoritmo se basa en la factorización en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresión
nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las raı́ces son irracionales o
complejas. Para probar busquemos las raı́ces complejas del denominador:
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6
Observamos que en nuestro caso las raı́ces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que
la primera de ella es r1 y la segunda r2 ; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z 2 en del denominador es 1,
podemos pensar que la expresión original es
−2 z
X(z) =
(z − r1 ) (z − r2 )
Si aplicamos fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:
2
1
2
1
2
z
2
z
X(z) = z ·
·
−
·
=
·
−
·
r1 − r2 z − r2
r1 − r2 z − r1
r1 − r2 z − r2
r1 − r2 z − r1
Por tanto
x(n)
n
z
2
· z−r
− 2 ·
= Z −1 {X(z)} = Z −1 r1 −r
2
2 n r1 −r2
n
o
o
2
2
z
z
−1
−1
·
Z
−
·
Z
= r1 −r
z−r
r
−r
z−r
2
2
1
2
1
Y ası́:
x(n) =
z
z−r1
o
2
2
n
n
· (r2 ) u(n) −
· (r1 ) u(n)
r1 − r2
r1 − r2
Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes cálculos (observe que r1 y r2 son palabras reservadas en la
calculadora!):
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7. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z tenemos:
X(z) = z · −
−10 z + 21 z 2
−1 + 8 z − 21 z 2 + 18 z 3
3
9
2
+
+
3 z − 1 (3 z − 1)2
2z − 1
De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando):
X(z) = −
z
z−
1
3
+
z
z−
1 2
3
+
z
z−
1
2
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Aquı́ debemos recordar la fórmula:
Z {n an u(n)} =
obtenemos que:
x(n)
=
=
az
(z − a)2
n
n
u(n) + 3 n 13 u(n) + 12 u(n)
n
n
(3 · n − 1) · 13 u(n) + 21 u(n)
−
1 n
3
8. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
−4 z + 20 z 2
−z 2 + 4 z 3
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:
16
4
4
z
X(z) = z ·
− + 2 =4·
4z − 1 z
z
z−
De donde:
1
4
− 4 · 1 + 4 z −1
n
1
x(n) = 4
u(n) − 4 δ(n) + 4 δ(n − 1)
4
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9. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =
6z
23 − 10 z + z 2
Dé los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solución
√
√
Como las raı́ces del denominador de X(z) no son enteras (son r1 = 5 + 2 y r2 = 5 − 2), manejémoslas en forma simbólica
para hacer el desarrollo en fracciones parciales a X(z)/z:
X(z)
6
1
6
1
X(z) = z ·
=z·
·
−
·
z
r1 − r2 z − r1
r1 − r2 z − r2
Por lo tanto,
Z −1 {X(z)}
=
o
n 1
6
1
6
·
−
·
Z −1 z · r1 −r
z−r1
r1 −r2 z−r
2
o 2
n
z
6
z
6
·
−
·
Z −1 r1 −r
z−r2
2 n z−r1 o r1 −r2
n
o
6
6
z
z
−1
− r1 −r2 · Z −1 z−r
r1 −r2 · Z
z−r1
2
=
=
6
n
− 6 · rn · u(n)
r1√
−r2 · r1 · u(n)
√ n r1 −r2 √2 n 3· 2
2) − (5 − 2) · u(n)
2 · (5 +
=
=
10. Resuelva la ecuación en diferencias:
1
y(n − 1)
4
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1)n y
(1/4)n .
Solución
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
1
Z {y(n)} = Z x(n) + y(n − 1)
4
y(n) = x(n) +
Por la propiedad de linealidad:
Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1
Z {y(n − 1)}
4
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Por la propiedad de adelantamiento de señales:
Z {x(n − 1)}
Z {x(n − 2)}
Z {x(n − 2)}
= z −1 Z {x(n)} + x(−1)
= z −2 Z {x(n)} + z −1 · x(−1) + x(−2)
= z −3 Z {x(n)} + z −2 · x(−1) + z −1 · x(−2) + ·x(−3)
..
.
Al aplicarla a Z {y(n − 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1
· z −1 Z {y(n)} + y(−1)
4
Si pasamos los términos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:
1
1
1 − z −1 Z {y(n)} = Z {x(n)} + y(−1)
4
4
Por lo tanto
Z {y(n)} =
1
·
Z
{x(n)}
+
y(−1)
4
1 − 14 z −1
1
Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n); la expresión queda:
3
z
1
+
·
Z {y(n)} =
z − (−1) 4
1 − 41 z −1
Y haciendo álgebra y fracciones parciales nos queda:
Z {y(n)} =
z (7 z + 3)
=z·
(z + 1) (4 z − 1)
19
4
+
5 (4 z − 1) 5 (z + 1)
Por tanto, la solución para y(n) nos queda:
y(n)
o
n
19
= Z −1 {Y (z)} = 5·4
Z −1 z−z 1 +
4
19 1 n
4
n
= 20 4 u(n) + 5 (−1) u(n)
4
5
Z −1
n
z
z+1
o
En la última imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la solución encontrada al menos satisface los primeros
valores.
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11. Resuelva la ecuación en diferencias:
1
y(n − 1)
5
si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1/5)n
y (1/5)n .
Solución
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
1
Z {y(n)} = Z x(n) + y(n − 1)
4
y(n) = x(n) +
Por la propiedad de linealidad:
1
Z {y(n − 1)}
5
Por la propiedad de adelantamiento de señales a Z {y(n − 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)} +
Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1
· z −1 Z {y(n)} + y(−1)
5
Si pasamos los términos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:
1 −1
1
1− z
Z {y(n)} = Z {x(n)} + y(−1)
5
5
Por lo tanto
Z {y(n)} =
1
· Z {x(n)} + y(−1)
5
1 − 15 z −1
1
Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5)n u(n); la expresión queda:
1
z
4
Z {y(n)} =
·
+
5
1 − 15 z −1
z + 15
Y haciendo álgebra y fracciones parciales nos queda:
z (45 z + 4)
Z {y(n)} =
=z·
(5 z − 1) (5 z + 1)
5
13
+
2 (5 z + 1) 2 (5 z − 1)
Por tanto, la solución para y(n) nos queda:
y(n)
=
=
n
o
5
Z −1 z+z 1 +
Z −1 {Y (z)} = 2·5
5
1
1 n
13 1 n
u(n) + 10 5 u(n)
2 −5
13
2·5
Z −1
n
z
z− 15
o
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12. Resuelva la ecuación en diferencias:
y(n + 1) = x(n) + 3 y(n)
si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3n · u(n) y
n · 3n · u(n).
Solución
Si suponemos que la señal y(n) es cero para n < 0, podemos pensar que y(n) = y(n) · u(n), y ası́ Z {y(n + 1)} = z ·
Z {y(n)} − z · y(0). Entonces al aplicar la transformada Z a la ecuación de recurrencia tenemos:
Z {y(n + 1)} = Z {x(n) + 3 y(n)}
Ası́:
z · Z {y(n)} − z · y(0) = Z {x(n)} + 3 · Z {y(n)}
De donde
z · Z {y(n)} − 3 · Z {y(n)} = Z {3n u(n)} + 3 · z =
z
+3·z
z−3
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Por lo tanto
Z {y(n)} =
z
z−3
+3·z
z−3
z
z
+3·
(z − 3)2
z−3
=
Y ası́
y(n) = Z −1 {Z {y(n)}} = Z −1
z
z
+3·
(z − 3)2
z−3
Como
Z {n · an · u(n)} =
Ası́
Z −1
z
(z − 3)2
= Z −1
a·z
(z − a)2
1
3·z
·
3 (z − 3)2
y
=
Z {an · u(n)} =
1
· Z −1
3
3·z
(z − 3)2
z
z−a
=
1
· n · 3n · u(n)
3
y por tanto
y(n)
= 13 · n · 3n · u(n) + 3 · 3n · u(n)
= 3 · 3n · u(n) + 31 · n · 3n · u(n)
= 3 + 31 · n · 3n · u(n)
De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n · u(n) es 3, mientras que el coeficiente de
n · 3n · u(n) es 1/3.