La ca¶ ³da de una chim e ne a A nge lManzur Guzm ¶ an De p arta m e nto de F¶ ³sica ,C B I,UA M-I e -m a il: am g@xanum .ua m .m x R e ci bi d o : 11de novi e m bre de 2 003. A ce p tad o : 5 de di ci e m br e de 2 003. p ar te s; p or e je m p lo,casosp ar ti culare s,casosl ¶ ³m ite y a p lica cione sp ue den se r ana li zadose n e l¶ u lti m o p aso p r i nci p a l. Intro d ucci on ¶ C on la re soluci¶ o n de p r oblem a sde f¶ ³sica se busca q ue e le studiante se a ca p a z de usa r corr e ctam e nte losconce p tosf¶ ³sicosy lashe r ra m ienta sm a te m ¶ a tica s; q ue i nte rp re te la soluci¶ o n y la uti li ce p a ra p r e decir re sultadosy calcular e le fe cto p ro duci do e n e lr e sulta do cuando se va r¶ ³a n losvalore sde a lgunosp a r¶ am etros; y q ue se a ca p a zde ge ne r ali za r lascondi ci one s delp roblem a p a ra incluir otrose fe ctose n e lr e sulta do.Una ve z q ue e le studiante ha obte ni do la soluci¶ o n te ¶ or i ca,sa be e n q u¶ e p ar te delp ro ce so se introduje ron lasap r oxim a ci one so idea li zaci one sq ue p e rm itieron logr ar una soluci¶ o n se nci lla y,conse cue nte m e nte ,cono ce losa lcance sy lim ita cione sde la soluci¶ o n e n lasp osi blesap li ca cione s. A q u¶ ³se p re se nta la obte nci o n de la soluci¶ ¶ o n de un p roblem a de m e c¶ a ni ca e lem e nta ldonde se ha n se guido los p a sos p rincip a les p rop ue stos.La i nte nci¶ o n e n e ste a rt¶ ³culo e si lustrar con un e je m p lo e l p ro ce so de c¶ o m o r e solve r un p roblem a de m e c¶ a nica e lem e nta ly,p r i nci p a lm e nte ,de c¶ om o i nte rp re tar la soluci o n.La clave p a ra re solve r p roblem a s ¶ nue vosy dif¶ ³cilese st¶ a conte ni da e n e lconjunto de habili dadesq ue se adq uier e n alr e solve r p roblem a s se nci llos. Pr o bl e m a [3] Una va rilla e st¶ a incli na da form a ndo un ¶ a ngulo µ con la l ¶ ³ne a ve rtica ly ti e ne su e xtre m o infe rior ¯jo; la va ri lla p ue de gi ra r sin fr i cci¶ o n r e sp e cto a un e je hori zontalq ue p a sa a trav¶ e sdele xtre m o i nfe ri or.Si la var i lla se deja ca e r,>q u¶ e di fe re nciase xi ste n e ntre e lva lor de la com p one nte ve r ti ca lde la a ce lera ci¶ o n li ne a lde cua lqui e r p unto de la va rilla,e n p ar ti cular dele xtre m o libre ,y e lva lor de la a ce lera ci¶ o n de una ca¶ ³da libre ? Lo q ue se busca no e sla ap lica ci¶ o n de una r e ce ta o una f¶ o rm ula,sino la com p re nsi¶ o n de la f¶ ³sica involucr ada y e ldesa rr ollo de ha bi li dades.La re sp ue sta num ¶ e rica a cua lquier p r oblem a e n e lnive le lem e nta lno e stan i m p orta nte com o lo son lasha bi li dades o he rra m ienta susa dasy la e xp e rienci a q ue se a dq uiere altra ba ja r e n la b¶ u sq ue da de la soluci o n.E lin¶ te r¶ e se sq ue ca da e studi a nte ,con la p r¶ a ctica de re solve r p roblem a s,te nga su m a q ui na ria m e ntalbi e n e ntre na da p a ra q ue p ue da re solve r losp roblem a sq ue se le p re se nte n.N ue stra m e ta e sp re p a ra r e studi a nte sp a ra to doslosp osi blesfuturos,a rm ¶ a ndoloscon e lm o do cient¶ ³¯co de p e nsa r. Pl a nte a m i e nto La ¯gura 1m ue stra la var i lla e n su p osi ci o n ini ¶ ci al y su p e so,q ue e sla fue rza q ue la har ¶ a gira r r e sp e cto alp unto Q . Sup onga m osq ue la va ri lla ti e ne m a sa m y longitudl.C on la l ¶ ³ne a hor i zonta lp unte a da de la ¯gura 1 se q ui e re indi ca r q ue a h¶ ³p odr¶ ³a e star e lsue lo.C om o e le xtre m o infe rior de la var i lla (p unto Q ) no se m ue ve ,re sp e cto a e ste p unto se ha r¶ a e lc¶ a lculo delm ovi m i e nto. Una gu¶ ³a o e structur a fundam e ntalde c¶ o m o re solve r p roblem a sayuda a lose studi a nte s,p ue slesi ndi ca losp a sosp rinci p a les,a s¶ ³com o susp a rte sre leva nte s,y e lorden e n q ue debe n llevar se a ca bo; p rop orciona e lem e ntosq ue si r ve n p a ra ve rīca r silosr e sulta dosinte rm e di osy ¯nalesson corre ctos.Losp a sosp rincip alesde una gu¶ ³a p rop ue sta re ci e nte m e nte 1,2 son: p lante a m i e nto y a n¶ a lisiscualitati vo,a n¶ a li sis m a te m ¶ a ti co,e inte r p re ta ci o n f¶ ¶ ³si ca de la soluci¶ o n.C a da uno de e stos p a sos consiste de va rias A n¶ al i si sm ate m ¶ a ti co R e sp e cto a le xtre m o ¯jo,la e cuaci o n delm ovi ¶ m i e nto q ue p ro duce la torca debi da a lp e so de la va ri lla e s I® = 51 l l mg se n (¼ ¡µ)= mg se n µ 2 2 52 C o nta cto S 54 ,51{53 (2 004) Fi gur a 2 .La a ce ler a ci¶ o n line a lde cua lq ui e r p unto de la va r illa y su co m p o ne nte ve r tica l. Figur a 1.La va r illa p ue de gi r a r m a nte niendo ¯jo su e xtre m o infe r i or. donde I e se lm om e nto de ine rci a re sp e cto a le je de gi ro y ® la m agnitudde la ace ler aci o n a ngular.C om o ¶ I e siguala ml2 =3,e ntonce sla ace ler aci o n angular ¶ de cua lquier p unto de la va rilla e s ®= l en 2 mg s 1 2 ml 3 µ = 3g se n µ 2l (1) La a ce lera ci¶ o n line a ldele xtre m o de la va rilla e sa= l®.Par a ca lcular la a ce lera ci¶ o n li ne alde cua lq ui er p unto de la va rilla,a signar e m osla p osi ci o n delp unto ¶ com o sl,donde s e sun p ar ¶ a m e tro a di m e nsi ona lq ue var¶ ³a e ntre 0 y 1,de talm a ne ra q ue s = 0 p a ra e le xtre m o ¯jo y s = 1 p a ra e le xtre m o li br e .E n t¶ e rm inosde e ste p a r¶ a m e tro,la a ce lera ci¶ o n line a ldel p unto e n la p osi ci o n sle sa= sl®,o se a, ¶ a= 3 sg se n µ: 2 (2 ) E n e lm ovim iento de ca¶ ³da de la va rilla,ca da p unto de e lla describe un a rco de c¶ ³rculo y su a ce lera ci on ¶ line ale sta nge nte a e ste c¶ ³rculo,e sdeci r ,a p unta e n la dire cci¶ o n p e r p e ndi cular a la l ¶ ³ne a de la va rilla. E sta a ce lera ci¶ o n line a ltiene com p one nte ve r ti ca lav, com o se indi ca e n la ¯gura 2 . La com p one nte ve r ti calde la a ce lera ci¶ o n line a l ³¼ ´ (av cos ¡µ = ase n µ) 2 de cua lquier p unto de la va rilla e s av = 3 sg se n 2 µ: 2 (3) Inte r p r e taci o n f¶ ¶ ³si ca d e l a so l uci on ¶ La sa ce lera cione sr e p re se nta dasp or lasf¶ o r m ulas(1) a (3)son nulase n µ = 0o ,p orq ue e n e sta p osici¶ on la va rilla e sta r¶ ³a e n e q uilibrio; e ste e q ui li br i o e sine stable.C on cua lquier ¶ a ngulo ini ci a ldi fe r e nte de ce ro,e lce ntro de m a sa ya no e sta r¶ ³a sobr e la l ¶ ³ne a ve r ti calq ue p asa p or Q y,p or tanto,la var i lla e m p e za r¶ ³a a ca e r . C om o la var i lla gira con su e xtre m o infe rior ¯jo,todossusp untosdescribe n a rcosde c¶ ³rculo y to dosti ene n la m ism a ve loci dada ngular y la m ism a a ce lera ci¶ o n angular.Si n e m ba rgo,losp untosno tiene n la m ism a ve loci dadli ne a lnila m ism a a ce lera ci¶ o n line a l,p ue s¶ e sta sdep e nden de la di stanci a delp unto e n considera ci o n ale je de r ota ci ¶ o n.La sa ce lera ¶ cione sp r e dicha sp or lasf¶ o rm ulas(1)a (3)a dq ui ere n su va lor m ¶ a sgra nde e n µ = 9 0±,p ue sdep e nden de se nµ. E n la f¶ o rm ula (3)se obse r va q ue la com p one nte ve r ti calde la ace lera ci o n line a ldelp unto con p osici¶ ¶ on sl,dep e ndiendo delvalor de s y del¶ a ngulo,p ue de se r m ayor,igualo m e nor q ue g (la a ce lera ci¶ on de un cue rp o e n ca¶ ³da li bre ).Sillam am osµ¤ alva lor del¶ a ngulo e n q ue av = g,e ntonce sse obti e ne 3s se n 2 µ¤= 1; 2 e sta e xp r e si¶ o n se n~ a la q ue ,e n e l¶ a ngulo µ¤,to doslos p untoscon s < 2 =3 tiene n a ce lera ci¶ o n ve r ti ca lm e nor q ue g.E n otra sp a labr as,la p ar te sup e r i or de la va r i lla (un te rcio de su longi tud) e st¶ a caye ndo con una a ce lera ci¶ o n ve rtica lm ayor q ue la a ce lera ci¶ o n de un cue rp o e n ca¶ ³da li br e . Tom a ndo a g com o unidad,e n la ¯gur a 3 se m ue stra n lascur va sde la a ce lera ci¶ o n av com o funci¶ o n del a ngulo µ,p a r a 3 p untosdife re nte sa lo largo de la va ¶ ri lla,e sdecir,p ar a 3 va lor e sde s.La l ¶ ³ne a r e cta tra za da e n la ordena da iguala 1re p re se nta a la a ce lera ci¶ o n de la grave dad.E sta re cta y ca da curva se inte r se ca n e n un ¶ a ngulo cuyo va lor e s· ¼2 y a lcua lllam a - La ca¶ ³da de una chim e ne a . A nge lManzur Guzm ¶ a n. m osµ¤.Pa ra ¶ a ngulosm ayore sq ue µ¤,la com p one nte ve r ti ca lde la a ce lera ci¶ o n li ne ale sm ayor q ue e lva lor de g,p e ro p a ra va lore sm e nore sde e ste ¶ a ngulo av e sm e nor q ue g. Pa ra cada curva de la ¯gur a 3,con di fe re nte valor de s,corre sp onde un va lor di fe re nte de µ¤.Par a e le xtre m o libre de la va rilla (s = 1),av = g e n µ¤= 54:7 4±; p a ra la curva con s = 3=4,µ¤ = 7 0:53±; cua ndo s = 2 =3,µ¤= 90±; cua ndo s < 2 =3,µ¤no e xiste p orq ue la curva cor re sp ondi e nte de av g p a sa p or aba jo de la re cta .E n todose stoscasos,av e sm e nor q ue g p ar a µ < µ¤,p e r o e sm ayor q ue g p a ra µ > µ¤. E n la re fe re nci a 4se describe un e xp e rim e nto e n q ue se dem ue stra q ue la p ar te sup e ri or de la var i lla cae con av m ayor q ue g. 53 ti e nde a deform a rse p e ro se fr actura p orq ue su e structura no re si ste la deform aci o n y deja de com ¶ p orta rse com o un cue rp o r¶ ³gi do.La p ar te fra ctura da ca e com o lo ha ce un cue rp o e n ca¶ ³da libre ,e sdecir,con a ce lera ci¶ o n g,q ue e sm e nor q ue av ,y p or tanto cae alsue lo e n un tiem p o m ayor a lq ue lo ha ce la p a rte i nfe ri or.La p a rte q ue q ue da de la chim e ne a si gue com p ort¶ a ndose e n su ca¶ ³da com o lo ha ce una va rilla r¶ ³gi da de m e nor longitud,de ta lm odo q ue la historia se p ue de r e p e ti r ,e sdecir,p ue de suce der q ue se p ro duzca otra fra ctura .E n la re fe re nci a 5 se m ue stra n fotogra f¶ ³a sq ue i lustran las fr actura sq ue sufre una chim e ne a q ue ca e .Una re visi o n de lase xp lica cione sq ue se ha n dado a lr om p i¶ m iento de la chim e ne a e n su ca¶ ³da se r e p orta e n la re fe r e nci a 6. Bi bl i o gr af¶ ³a 1. A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶ o n de p roblem a s.Co ntactos,N o.38,45,2 000. 2 . A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶ o n de p roblem a s.2 .R e vista Me xicana de F¶ ³sica,47 (2 ),17 5, 2 001. 3. R .R e snick,D.Ha lli day y K .S.K ra ne .F¶ ³si ca. V olum e n 1,cuar ta e dici¶ o n (te rce r a e n e sp a n~ ol). C E C SA ,M¶ e xi co,199 3.Problem a 12 -38. 4. A .Ma nzur.E xp e r i m e ntosde De m ostra ci¶ on p ara F¶ ³si ca I y F¶ ³sica II.UA M,M¶ e xico,19 9 2 ,6 366. 5. A .A .B a rtlett.More on the fa lli ng chi m ne y. T he Physi csTe ache r ,14,351,19 7 6 . 6 . G.V ar i e schiy K .K a m i ya .Toy m o delsfor the fa lling chim ne y.A m e r i can Jo ur nalo f Physi cs,7 1(10),102 5,2 003. cs Figur a 3.C o m p o ne nte ve r tica lde la a ce ler a ci o n line a l ¶ co m o funci o n del¶ ¶ a ngulo,p a r a 3 p unto sdife r e nte sde la va r illa. A pl i caci on ¶ E ste p roblem a ,de una va rilla q ue con su e xtre m o infe rior ¯jo ca e desde una p osici¶ o n a ngular ce r ca na a la ve r ti cal,p ue de se r uti li zado com o m o delo p a ra e xp lica r p or q u¶ e una chim e ne a de ladri llo e n su m ovi m iento de ca¶ ³da (debido a su dem olici¶ o n)se fr actura e n la p a rte sup e rior,la cualllega a lsue lo desp u¶ e sq ue la p ar te i nfe rior.La com p one nte ve rti cal de la ace ler aci o n line a lde la p a rte sup e rior de la chi ¶ m e ne a e sm ayor q ue la corr e sp ondi e nte com p one nte de la p a rte m ¶ a sce r ca na a la ba se ,la chim e ne a