Usa ndo una ba lanza p a ra m e dir m a sa o p e so A nge lManzur Guzm ¶ an De p arta m e nto de F¶ ³sica ,C B I,UA M-I e -m a il: am g@xanum .ua m .m x ²p lante a m i e nto y a n¶ a lisiscua li ta tivo R e ci bi d o : 11de novi e m bre de 2 003. A ce p tad o : 2 8 de noviem bre de 2 003. ²an¶ a li si sm a te m ¶ a ti co Intro d ucci on ¶ C on la re soluci¶ o n de p r oblem a sde f¶ ³sica se busca q ue e le studiante se a ca p a z de usa r corr e ctam e nte losconce p tosf¶ ³sicosy lashe r ra m ienta sm a te m ¶ a tica s; q ue i nte rp re te la soluci¶ o n y la uti li ce p a ra p r e decir re sultadosy calcular e le fe cto p ro duci do e n e lr e sulta do cuando se va r¶ ³a n losvalore sde a lgunosp a r¶ am etros; y q ue se a ca p a zde ge ne r ali za r lascondi ci one s delp roblem a p a ra incluir otrose fe ctose n e lr e sulta do.Una ve z q ue e le studiante ha obte ni do la soluci¶ o n te ¶ or i ca,sa be e n q u¶ e p ar te delp ro ce so se introduje ron lasap r oxim a ci one so idea li zaci one sq ue p e rm itieron logr ar una soluci¶ o n se nci lla y,conse cue nte m e nte ,cono ce losa lcance sy lim ita cione sde la soluci¶ o n e n lasp osi blesap li ca cione s. ²i nte rp re ta ci¶ o n f¶ ³si ca de la soluci¶ o n. C ada uno de e stosp asosconsiste de va ri a sp a rte s; p or e je m p lo,ca sosp a rticulare s,ca sosl ¶ ³m ite y a p lica cione s p ue den se r ana li zados e n e l¶ u lti m o p aso p ri nci p al. A q u¶ ³se p re se nta la obte nci o n de la soluci¶ ¶ o n de un p roblem a de m e c¶ a ni ca e lem e nta ldonde se ha n se guido los p a sos p rincip a les p rop ue stos.La i nte nci¶ o n e n e ste a rt¶ ³culo e si lustrar con un e je m p lo e l p ro ce so de c¶ o m o r e solve r un p roblem a de m e c¶ a nica e lem e nta ly,p r i nci p a lm e nte ,de c¶ om o i nte rp re tar la soluci o n.La clave p a ra re solve r p roblem a s ¶ nue vosy dif¶ ³cilese st¶ a conte ni da e n e lconjunto de habili dadesq ue se adq uier e n alr e solve r p roblem a s se nci llos. Lo q ue se busca no e sla ap lica ci¶ o n de una r e ce ta o una f¶ o rm ula,sino la com p re nsi¶ o n de la f¶ ³sica involucr ada y e ldesa rr ollo de ha bi li dades.La re sp ue sta num ¶ e rica a cua lquier p r oblem a e n e lnive le lem e nta lno e stan i m p orta nte com o lo son lasha bi li dades o he rra m ienta susa dasy la e xp e rienci a q ue se a dq uiere altra ba ja r e n la b¶ u sq ue da de la soluci o n.E lin¶ te r¶ e se sq ue ca da e studi a nte ,con la p r¶ a ctica de re solve r p roblem a s,te nga su m a q ui na ria m e ntalbi e n e ntre na da p a ra q ue p ue da re solve r losp roblem a sq ue se le p re se nte n.N ue stra m e ta e sp re p a ra r e studi a nte sp a ra to doslosp osi blesfuturos,a rm ¶ a ndoloscon e lm o do cient¶ ³¯co de p e nsa r. Pr o bl e m a [3] Una ca ja si n ta p a se coloca sobre una ba lanza ,la cua lse a justa p ar a q ue m a rq ue ce ro cua ndo la ca ja e st¶ a va c¶ ³a.De sp u¶ e sse deja n ca e r e n la ca ja va ri as ca ni ca se n for m a suce siva desde una a ltura h,m e dida desde e lfondo de la ca ja ,a ra z¶ o n de R canica s p or se gundo.C a da cani ca tiene una m a sa m .C onsi dera r q ue lascolisi one se ntre lasca nica sy la ca ja p ue den se r to dascom p leta m e nte ine l¶ a stica so todase l¶ a sti cas.Ha llar la lectura de la ba lanza e n funci¶ o n deltiem p o desde q ue las ca ni ca s com ienzan a cae r. Una gu¶ ³a o e structur a fundam e ntalde c¶ o m o re solve r p roblem a sayuda a lose studi a nte s,p ue slesi ndi ca losp a sosp rinci p a les,a s¶ ³com o susp a rte sre leva nte s,y e lorden e n q ue debe n llevar se a ca bo; p rop orciona e lem e ntosq ue si r ve n p a ra ve rīca r silosr e sulta dosinte rm e di osy ¯nalesson corre ctos.Losp a sosp rincip a lesde una gu¶ ³a p rop ue sta r e ciente m e nte [1,2 ]son: Pl a nte a m i e nto E n la ¯gura sigui e nte se i lustra un conjunto de ca nica sq ue ava nza n con igualve loci dadhorizonta l,se p a ra dase ntre s¶ ³p or una dista ncia consta nte e igua lp a ra to das,de ta lm ane ra q ue a lcae r p ro duci r¶ a n colisi one scon la ca ja,tra nscurr i e ndo i nte rvalosde tiem p o con la m ism a dura ci¶ o n e ntre coli si one ssuce si va s. Sup ondre m osq ue e n e lca so de lascoli si one se l¶ a stica s hay un disp ositivo q ue a tra p a a lasca ni case n su 19 20 C o nta cto S 52 ,19 {2 2 (2 003) za im p ulsiva p rom e di o y ¢ t e se ltiem p o q ue dura la colisi¶ o n. E n e ste p r oblem a tom ar e m oscom o si ste m a de re fe re nci a la co ordena da ve r ti calY p osi tiva ha ci a a rriba,m e dida desde e lfondo de la ca ja .La se cua cione s cine m ¶ a ti casq ue describe n e lm ovim iento de una ca ni ca q ue se deja ca e r con ve lo cidadve rtica lnula,desde una altura h,son: g y= h ¡ t2 2 p ar a la p osici¶ o n m e dida desde e lfondo de la ca ja ,y v = ¡gt p ar a la ve loci dad.E lti e m p o de ca¶ ³da se ca lcula ha ciendo y= 0 e n la p rim e ra e cua ci¶ o n,e ste tiem p o se susti tuye e n la se gunda e cua ci¶ o n p a ra obte ne r la ve locidadq ue la ca ni ca tiene a lllega r a la ca ja ; llam e m osva a la m a gni tudde e sta ve loci dad,con e l sub¶ ³ndi ce a se indica su va lor justo a nte sde la colisi¶ o n.Se obtiene q ue la m a gnitudde la ve loci dadcon q ue la ca nica to ca e lfondo de la ca ja e s Figur a 1: La sca nica sson id¶ e nti cas,i nicialm e nte tiene n ve loci dadve rti calnula,y ca e n desde una altura h. re bote p a ra e vita r q ue vue lva n a ca e r e n la ca ja,y q ue e n e lcaso de lascoli si one sine l¶ a stica shay otro disp ositi vo q ue e vita q ue una ca ni ca ca iga e ncim a de otra .Pri m e r o se ca lcular¶ a e lca m bi o e n e l¶ ³m p e tu q ue una canica sufre com o r e sulta do de su colisi¶ o n con la ca ja .De sp u¶ e s,se calcular¶ a la lectura de la balanza tom a ndo e n consi dera ci¶ o n e lti p o de colisi o n. ¶ A n¶ al i si sm ate m ¶ a ti co R e cordem osq ue a p a rtir de la se gunda ley de N e w e ton e n una di m e nsi o n,e xp re sa da com o F = dp ¶ dt ,s obti e ne ¢ p = Z va= p 2 gh : A e ste r e sulta do ta m bi ¶ e n se llega usa ndo la conse r va ci¶ o n de la e ne rg¶ ³a m e c¶ a ni ca,p ue sla e ne rg¶ ³a p ote nci a lq ue la ca ni ca tiene e n la p osici¶ o n h e smgh , sisu ni ve lce r o se colo ca e n e lfondo de la ca ja ,y toda se convier te gra dualm e nte e n ci n¶ e ti ca a dq ui ri e n2 mv jus t o a lha ce r cont a ct o con l a ba do e lva lor 1 a 2 se de la ca ja . Sila canica r e bota ,llam e m osvd a la m a gnitudde la ve loci dadi nm e diata m e nte desp u¶ e sde la colisi¶ o n.E l ¶ ³m p e tu a nte sy desp u¶ e sde la colisi o n e sp a= ¡mva ¶ y p d = mvd ,re sp e ctiva m e nte .Por ta nto,e lca m bio e n e l¶ ³m p e tu e s ¢ p = p d ¡p a= mvd + mva: F dt: E lp r i m er m i e m bro de e sta e cua ci¶ o n r e p re se nta e l ca m bi o e n e l¶ ³m p e tu p r o ducido p or la colisi¶ o n.E n e lse gundo m iem bro la i nte gr aldebe e fe ctua rse e n e ltiem p o q ue dura la coli si o n; la fue r za i ¶ m p ulsiva F ,e n ge ne r al,dep e nde delti e m p o y ti e ne una form a com p li cada.E n a lgunosca sose lva lor de e sta inte gr alse tom a com o F p ¢ t,donde e sta F p e sla fue r- (1) Sie ste ca m bio e n e l¶ ³m p e tu se p ro duce e n un tiem p o tud ¢ t,e ntonce se lco ciente ¢¢ pt re p r e se nta la m a gni de la fue r za i m p ulsi va p rom e di o. E n e ste m om e nto debe m os tom a r e n cue nta sila colisi¶ o n e s com p letam e nte i ne l¶ a sti ca o e l¶ a sti ca.Se har ¶ a la sup osi ci o n de q ue la ca ja y la ba lanza no se ¶ m ue ve n debi do a la coli si¶ o n,y q ue la ba lanza tiene una r e sp ue sta ta lq ue la ha ce ca p a z de re gistrar e l i m p a cto de cada coli si o n. ¶ Usa ndo una balanza p a ra m e di r m a sa o p e so. A nge lManzur Guzm ¶ a n. 21 Figur a 2 : E n e lcaso de coli si one se l¶ a sti cas,la se n~ alq ue r e gi stra la ba lanza te ndr¶ ³a un com p or ta m iento e n e l tiem p o com o e laq u¶ ³m ostra do. Col i si o n co m p l ¶ e tam e nte i ne l ¶ a sti ca E n e ste ca so vd = 0,p ue sdesp u¶ e sde la coli si o n ca ¶ da ca ni ca q ue da adhe rida a la ca ja (p o dem osp e nsa r q ue e n la ba se de la ca ja e xiste a lg¶ u n ti p o de p e gam e nto).C on e lsub¶ ³ndice i se ha r¶ a re fe re nci a a q ue la coli si o n e scom p leta m e nte ine l¶ ¶ a stica ,de e sta m a ne ra e lcam bi o e n e l¶ ³m p e tu dado e n la e cua ci¶ o n (1)e s p ¢ p i = mva= m 2 gh : (2 ) Col i si on e l ¶ a sti ¶ ca A dife re ncia de lo q ue o curre cuando las coli sione s son com p leta m e nte i ne l¶ a sti cas, a hor a la ba lanza no dete cta e lp e so de las canica s p ue s ninguna de e llas p e rm a ne ce e n la ca ja ; u¶ni ca m e nte dete cta la fue rza im p ulsi va p rom e dio de ca da colisi¶ o n. E l ca m bio e n e l¶ ³m p e tu de cada ca nica ,e xp re sado e n la e cua ci o n (1),a hora e s 2 mva ¶ p ue s a nte s y desp u¶ e s de la coli si o n las ve lo cida¶ desti e ne n i gua lm a gni tud.E lca m bio del¶ ³m p e tu e s ¢ p e (e lsub¶ ³ndi ce ha ce re fe re ncia a q ue la colisi¶ on e se l¶ a stica ) C om o a la ca ja llega n R ca ni cascada se gundo,e ntonce se ltiem p o q ue transcur re e ntre doscolisi one ssutudde la fue rza i m ce siva se stR = R1.La m a gni p ulsi va p r om e di o e je rci da p or lasca ni ca salca e r sobre la ca ja e s p ¢ p e = 2 m 2 gh : (5) A n¶ a logam e nte alca so de colisione scom p leta m e nte i ne l¶ a stica s,la fue rza i m p ulsi va p r om e di o es p F p = mR 2 gh : p F p = 2 mR 2 gh : (6 ) (3) Por otra p a rte ,com o a la ca ja llega n R cani casca da se gundo,e ntonce se ln¶ u m e ro de ca ni ca sq ue llegan e n e lti e m p o t e sn = Rt,y e n la ca ja se a cum ula una m a sa M (t)= mn = mRt.E lp e so de e sta m a sa acum ulada e n e lti e m p o t e sM (t)g.Sila ba lanza e st¶ a dise n~ ada p ar a r e gi stra r p e sos,e ntonce sla lectura L P i (e n N ),e n funci¶ o n delti e m p o,e se lp e so M (t)g de lasca ni ca sq ue se ha n a cum ulado e n e l tiem p o t m ¶ a sla fue rza q ue p rovi e ne de la transfe re ncia del¶ ³m p e tu,e sdecir p L p i = M (t)g+ F p = mgRt = mR 2 gh : (4) E n cam bi o,sila ba lanza e st¶ a dise n~ ada p a ra m e dir m a sas,la lectura L M i (e n kg)e s LM i = mRt+ mR s 2h : g (40) de ta lm a ne ra q ue e lp e so q ue re gistra la ba lanza e s L p e = 2 mR p 2 gh : (7 ) A q u¶ ³se ha sup ue sto q ue lascanica sr e bota n e n la ca ja y no vue lve n a ca e r e n e lla. Inte r p r e taci o n f¶ ¶ ³si ca d e l a so l uci on ¶ N¶ o te se q ue la f¶ o rm ula (4),q ue re p re se nta la lectura de la ba lanza cua ndo lascolisi one sson com p letam e nte ine l¶ a stica s,consiste de dost¶ e rm inosde los cua lesuno dep e nde e xp l ¶ ³ci ta m e nte deltiem p o y cre ce line a lm e nte con ¶ e l.E lp ri m e r t¶ e rm ino r e p re se nta alp e so de la m asa q ue se ha a cum ulado e n la ca ja e n e lti e m p o t; e lse gundo t¶ e rm i no r e p re se nta la fue rza q ue p rovi e ne de la tra nsfe re nci a del¶ ³m p e tu.E n ca m bi o,e n la f¶ o rm ula (7 )q ue re p re se nta e lca so de colisi one se l¶ a sti ca ss¶ o lo a p a re ce e ste u¶lti m o t¶ e rm i no,p e ro de m a gni tuddoble alse r com p a ra do con e lca so i ne l¶ a stico. La se n~ a lq ue re gistra la ba lanza no va r¶ ³a e n form a conti nua e n e lti e m p o.E n e ste p roblem a se debe n 22 C o nta cto S 52 ,19 {2 2 (2 003) Fi gura 3: V isua liza ci o n de la se n~ a lq ue r e gi ¶ stra la ba lanza e n e lca so de coli sione sine l¶ a stica s. distinguir 2 tiem p osca ra cte r¶ ³sti cos: e lti e m p o e ntre doscolisione sconse cutiva s(tR = 1=R)y e ltiem p o q ue dur a ca da colisi¶ o n (tC ).Pa ra e lca so de lascol i si o ne se l a sti ¶ cas,e stosti e m p osse ilustra n e n la ¯gura 2 ,donde ta m bi ¶ e n se ilustra la m a gni tudde la fue rza im p ulsi va p r om e dio. E n ge ne ra l,e lti e m p o tC e sm uy p e q ue n~ o,delorden de m ilise gundos.E n ca m bio,e lti e m p o tR p ue de se r com p ar ativam e nte gra nde,com o e n e lca so de una llave de agua q ue gote a.Pa ra calcular la tra nsfe re ncia del¶ ³m p e tu e n cada coli si o n e l¶ ¶ a sti ca ,e stricta m e nte debe usar se tC p ue se ste ti e m p o re p r e se nta la dura ci¶ o n delca m bio del¶ ³m p e tu.C ua ndo no e s ne ce sar i o ha ce r la di sti nci o n e n e stostiem p os,se op ¶ ta p or ignora r e ltiem p o tC y se usa e ltiem p o tR p a ra ca lcular e lp rom e di o de la fue rza q ue re gistra la ba lanza. E n e lca so de lasco l i si o ne si ne l a sti ¶ ca s,la lectura de la ba lanza r e p re se ntada p or la f¶ o r m ula (4)indica q ue va r¶ ³a line a lm e nte e n e ltiem p o.Pe r o sa be m osq ue e sto no p ue de se r de m a ne r a continua, ya q ue dura nte e ltiem p o q ue tra nscurre e ntre coli sione ssuce si va sno hay a p ortaci one salp e so q ue se a cum ula nia la transfe re ncia del¶ ³m p e tu.La lectura q ue la ba lanza r e gi stra (com o r e sp ue sta a lascolisione s)p o dr¶ ³a visua liza rse com o e n la ¯gura 3. C ada e sca l¶ o n e n e ldi a gra m a re p re se nta la contribuci¶ o n de la fue rza i m p ulsiva m ¶ a sla contribuci¶ on delp e so de una canica .E ste e fe cto se obse r va cua ndo uno sa lta y ca e sobre una balanza y p e rm a ne ce p a ra do sobr e e lla; ini ci a lm e nte la ba lanza r e gi stra un p e so m ayor a lre aly desp u¶ e se lvalor di sm inuye e q uilibr¶ a ndose e n e lva lor ve r dadero. Bi bl i o gr af¶ ³a 1. A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶ o n de p roblem a s.Co ntactos,N o.38,45,2 000. 2 . A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶ o n de p roblem a s.2 .R e vista Me xicana de F¶ ³sica,47 (2 ),17 5, 2 001. 3. R .R e snick,D.Ha lliday y K .S.K ra ne .F¶ ³sica.V olum e n 1,q uinta e di ci on e n i ¶ ngl ¶ e s(cuar ta e dici¶ o n e n e sp a n~ ol).C E C SA ,M¶ e xico,2 002 .E xte nsi o n delp roblem a 6 -8. ¶ cs