3. Volumen de un sólido.

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 2. Integrales y aplicaciones.
3. Volumen de un sólido.
En esta sección veremos cómo podemos utilizar la integral definida para calcular volúmenes de
distintos tipos de cuerpos sólidos.
Volumen de un sólido con secciones paralelas de área conocida. Una sección de un sólido S es
la región plana que se obtiene cortando el sólido S con un plano.
Queremos calcular el volumen de un sólido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el área de cada una de las secciones paralelas que producimos en el sólido S . Denotaremos
por A( x) al área de la sección correspondiente al punto x y consideramos una partición del intervalo [ a, b ] x0 = a < x1 < x2 < " < xn −1 < xn = b. Cortamos el sólido S en rodajas por planos paralelos
Pk perpendiculares al eje OX en los puntos xk de la partición. Observa la siguiente figura.
1
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Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Ahora aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk −1 y xk por un cilindro con área de la base A( xk ). El volumen de la rodaja será aproximadamente igual al volumen
del cilindro que es Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
Entonces tenemos que
Volumen de la k –ésima rodaja ≈ Vk = A( xk ) ( xk − xk −1 ) .
El volumen V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros y
n
n
k =1
k =1
obtenemos entonces la aproximación V ≈ ∑ Vk = ∑ A( xk ) ( xk − xk −1 ). Esta aproximación es una
suma de Riemann de la función A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \ que determina el área de cada una de las
secciones perpendiculares. Puesto que la aproximación del volumen mejorará cuando la norma de la
partición que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del sólido S como la integral de la función A en el intervalo [ a, b ] .
DEFINICIÓN. Se define el volumen de un sólido S con secciones paralelas de área conocida, dada
por la función continua A : x ∈ [ a, b ] → A( x) ∈ \, como la integral
∫
b
A( x)dx.
a
EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen de una cuña que se produce al cortar un cilindro de radio 3
por dos planos como se muestra en la siguiente figura. Uno de los planos es perpendicular al eje del
cilindro y el otro forma con el primero un ángulo de 45º.
2
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Lección 2. Integrales y aplicaciones.
Las secciones paralelas perpendiculares al eje OX son rectángulos de altura x y base 2 9 − x 2 .
Entonces, la función que nos da el área de estas secciones es
A : x ∈ [ 0,3] ⊆ \ → A( x) = 2 x 9 − x 2 ∈ \.
Por tanto, V =
∫
3
0
3
3
⎤
2⎛
2 3
2 x 9 − x dx = − ⎜ ( 9 − x 2 ) 2 ⎥ = ⋅ 9 2 = 18.
3⎝
⎦0 3
2
Ahora calcularemos el volumen de sólidos de revolución que se obtienen al hacer girar la región
plana A := {( x, y ) ∈ \ 2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} , siendo f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función
continua y positiva definida en el intervalo [ a, b ] . Veremos dos procedimientos: la fórmula de los
discos y la fórmula de los tubos.
Fórmula de los discos. Supongamos que la región A gira alrededor del eje OX . Entonces generamos un sólido S de forma que las secciones transversales por planos perpendiculares al eje OX son
círculos de radio f ( x). De aquí el nombre de fórmula de los discos. El área A( x) del disco produ-
cido por el corte correspondiente a x es, por tanto, A( x) = π ( f ( x) ) y, de acuerdo con la fórmula
2
de las secciones paralelas obtenemos que V =
∫
b
π ( f ( x) ) dx.
2
a
DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la
región A alrededor el eje OX como la integral V = π
∫
b
( f ( x) )
2
dx.
a
EJEMPLO. La región entre la curva y = x , con 0 ≤ x ≤ 4, y el eje OX
3
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se hace girar alrededor de este eje para producir el siguiente sólido
El volumen es V = π
∫ ( x)
4
0
2
dx = π
∫
4
xdx = 8π .
0
Fórmula de los tubos. Supongamos que la región A se encuentra a la derecha de la recta vertical
x = L. Suponemos entonces que a ≥ L.
4
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Generamos un sólido S al hacer girar esta alrededor de la recta x = L. Para calcular el volumen de
este sólido consideramos una partición x0 = a < x1 < x2 < " < xn −1 < xn = b del intervalo [ a, b ] y sea
1
( xk −1 + xk ) el punto medio del subintervalo [ xk −1 , xk ]. Aproximamos la región que gira por
2
medio de rectángulos con base en los puntos de la partición con longitud de la base xk − xk −1 y altura f (ck ). Si este rectángulo gira alrededor de la recta x = L genera un tubo cuyo volumen Vk viene
ck :=
dado por Vk = 2π ( ck − L ) f (ck ) ( xk − xk −1 ) .
Aproximamos ahora el volumen de S por la suma de los volúmenes Vk de los tubos generados por
n
n
k =1
k =1
los n rectángulos de la partición. Entonces V ≈ ∑ Vk = 2π ∑ ( ck − L ) f (ck ) ( xk − xk −1 ), que es una
suma de Riemann de la función ( x − L ) f ( x). El límite de esta suma de Riemann cuando P → 0
proporciona el volumen del sólido S como la integral V = 2π
∫ ( x − L ) f ( x)dx.
b
a
DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS TUBOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la
región A alrededor de la recta x = L como la integral V = 2π
∫ ( x − L ) f ( x)dx.
b
a
EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen del sólido que se obtiene al girar, alrededor del eje OY , la
región acotada por la curva y = x en el intervalo [ 0, 4] y el eje OX .
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Lección 2. Integrales y aplicaciones.
La variable del grosor del tubo es x, de forma que los límites de integración para la fórmula de los
tubos son a = 0 y b = 4. Por lo tanto, el volumen es V = 2π
∫
4
0
4
⎛ 2 52 ⎤ 128π
x x = 2π ⎜ x ⎥ =
.
5
⎝ 5 ⎦0
EJERCICIO 1. Consideremos el sólido de la figura, formado por la unión de un cilindro de altura
unidad y radio r y una porción de paraboloide de revolución de altura r y mismo radio. Calcula el
volumen de dicho sólido.
r
1
EJERCICIO 2. (1) Entre todos los rectángulos del plano YOZ inscritos en la parábola de ecuación
z = a 2 − y 2 (siendo a > 0 ) y con base en el eje OY , calcula el que tiene área máxima.
(2) Para cada valor x0 ∈ [0,1], considera la parábola del tipo anterior contenida en el plano x = x0 y
cuyo vértice está en el segmento que une los puntos (1, 0, 0) y (0, 0,1). Construimos el sólido cuya
sección con cada plano x = x0 es el rectángulo de área máxima inscrito en la parábola considerada
en dicho plano (mira la figura siguiente). Calcula el volumen de dicho sólido.
EJERCICIO 3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OY la región
limitada por las gráficas de las curvas y = x 3 + x + 1 e y = 1, siendo 0 ≤ x ≤ 1.
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EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido cuya base es el círculo x 2 + y 2 ≤ 4 y las secciones paralelas perpendiculares a dicha base son cuadrados.
EJERCICIO 5. Calcula el volumen de un sólido sabiendo que su base es un círculo de radio unidad y
las secciones paralelas perpendiculares a dicha base son triángulos equiláteros.
EJERCICIO 6. Calcula el volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado A.
EJERCICIO 7. Se taladra un agujero cilíndrico de radio b a través del centro de una esfera maciza
de radio a, siendo a > b. Calcula el volumen del sólido resultante.
x2 y 2
+
= 1, siendo a, b > 0. A continuación,
a 2 b2
halla el volumen del sólido V situado en el octante positivo del espacio que se obtiene apoyando
elipses sobre el arco C de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 4 del plano y = 0 y en la recta r que pasa por los puntos (4, 0, 0) y (0,2,0), que son paralelas al plano OYZ
y tienen su centro en el eje OX .
EJERCICIO 8. Calcula el área de la elipse de ecuación
EJERCICIO 9. (1) Calcula por integración el área de un segmento parabólico de base b y altura h.
Observa la siguiente figura de la izquierda.
(2) Calcula el volumen del sólido cuya base es el interior de la elipse x 2 + 4 y 2 = 4 y los cortes perpendiculares a la base y paralelos al semieje menor son segmentos parabólicos de altura determinada por la parábola que pasa por los vértices del semieje mayor y cuyo vértice V está situado a tres
unidades del centro de la elipse. Observa la siguiente figura de la derecha.
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Lección 2. Integrales y aplicaciones.
h
b
EJERCICIO 10. (1) Calcula una primitiva de la función x cosh(ax), siendo a una constante arbitra-
ria no nula, es decir, calcula
∫ x cosh(ax)dx, con a ≠ 0.
7
(2) Calcula las dos soluciones reales x1 < 0 < x2 de la ecuación cosh x = cosh(2 x) − .
8
(3) Calcula el volumen del sólido V que se obtiene al girar la región plana
7
⎧
⎫
A := ⎨( x, y ) ∈ \ 2 : 0 ≤ x ≤ x2 , cosh(2 x) − ≤ y ≤ cosh x ⎬
8
⎩
⎭
alrededor del eje OY .
8