Matemáticas Aplicadas Módulo II Matemáticas Financieras en Mercados Incompletos Sesión 4: Valoración de Derivados – Mercados Incompletos p Diego Jara diego jara@quantil com co diego.jara@quantil.com.co Introducción al Modelos Financieros para Valoración de Derivados en el Sector Eléctrico con Aplicaciones al Caso Colombiano Febrero 2012 VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos Mercados Incompletos VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos Mercados Incompletos Preámbulo Teórico Una advertencia ppara cualquier q creador de mercados en derivados y administradores de sus riesgos: “Enthusiasm for methods of hedging and valuation of derivatives in complete markets, and for associated methods of computation, seems often to obscure the fact that these techniques do not provide a general theory of valuation and that they are liable to give at best only imprecise results when applied beyond their proper domain. domain.” Foldes (2000) Mercados Incompletos Preámbulo Teórico Recordemos el modelo binomial de un p periodo: El precio de un derivado se obtiene Encontrando valor esperado* del precio final Descontando ese promedio a valor presente El “valor esperado” se encuentra con q* = (erT - edT) / (euT - edT) q* → “probabilidad de neutralidad al riesgo” Nota: q* es una probabilidad (entre 0 y 1) si y solo si d ≤ r ≤ u (en otras palabras, la probabilidad existe si y solo si no hay arbitraje) En este modelo había dos ecuaciones y dos incógnitas; en general hay solución hay forma de replicar cualquier derivado Ecuaciones: igualdad de valores en el estado de “arriba” (1) y “abajo” (2) Incógnitas: número de bonos y número de acciones Mercados Incompletos Un Periodo Recordemos el ejemplo de la opción call: Precio Acción: S(0) = 80; Strike: K = 100; Expiración: T = 1 Tasás cero cupón compuestas continuamente: r = 10% S(T) ( ) 90% 80 10% t=00 120 CE((t=T)) 90% CE 60 10% t=T T t=00 Solución por replicación: x número de acciones, y número de T-bonos Replicación: (“arriba”) 120x + 100y = 20 (“abajo”) 60x + 100y = 0 x = 0.333, y = -0.2 Valor inicial portafolio: 80x + 100e-rTy = CE = 8.57 Mercados Incompletos 20 0 t T t=T Un Periodo Solución alternativa: encontrar la probabilidad q* que hace de e-rTS una martingala: S(T) 80 qq* 1-q* t=0 120 60 E*[S(T)] = q*120 + (1-q*)60 =erTS(0) q* = 47.35% t=T Usando esta probabilidad para valorar, CE = e-rT(q*20 + (1-q*)0))= 8.57 Mercados Incompletos Un Periodo Ampliemos p el modelo ppara usar tres estados: S(T) 80 120 90 60 Tomemos la misma opción call : Strike: St ik K = 100 Expiración: T = 1 Tasás cero cupón compuestas continuamente: r = 10% Mantengamos la idea que funcionó antes: replicar el pago final Mercados Incompletos CE ?? 20 0 0 Un Periodo x: número de acciones y: número de T-bonos T bonos (cero ( cupón, ó con principal i i l 100 100, madurez d T) en el portafolio Se quiere (“arriba”) 120x + 100y = 20 (“ (“centro”) ”) 90x 90 + 100y 100 = 0 (“abajo”) 60x + 100y = 0 No hay solución: no existe portafolio que replique el derivado Laa intención te c ó es buscar usca alternativas a te at as dee valoración a o ac ó (au (aunque que se mantenga la intención de tratar de replicar lo mejor que se pueda) Nota: se debe tener claro para qué se quiere valoración. Si es para crear un mercado para un cliente, el proceso puede ser distinto de lo que se usaría para administrar el riesgo, riesgo o marcar los libros Mercados Incompletos Un Periodo Por ejemplo, se podría intentar superreplicación: armar portafolios que tengan flujos de caja mayores o iguales que los del derivado Sigamos con el ejemplo anterior; primero i supongamos que nos piden id un precio de venta del derivado x: número de acciones y: número de T T-bonos bonos (cero cupón, cupón con principal 100, madurez T) Se quiere minimizar el valor inicial del portafolio (80x + 100e-rTy) sujeto a obtener por lo menos la plata necesaria para cubrir el derivado en cada estado: (“arriba”) 120x + 100y ≥ 20 ((“centro”)) 90x + 100yy ≥ 0 (“abajo”) 60x + 100y ≥ 0 Supercobertura de una posición corta en1.5el derivado 1 0.5 y 0 -1 -0.5 "arriba" "centro" "abajo" 0 0.5 1 -0.5 -1 x Solución: x = 0.333, y = -0.2 Valor Inicial Portafolio = 88.57 57 Coincide con solución en el ejemplo binomial original Mercados Incompletos Un Periodo Pero si piden un precio de compra, ell análisis ál cambia b totalmente Se quiere minimizar el valor inicial del portafolio (80x + 100e-rTy) sujeto a obtener por lo l menos lla plata l necesaria para cubrir el derivado en cada estado: (“arriba”) 120x + 100y ≥ -20 (“centro”) 90x + 100y ≥ 0 (“abajo”) j 60x + 100yy ≥ 0 Supercobertura de una posición 1 derivado larga en el 0.8 0.6 0.4 y 0.2 0 -1 -0.5 0 0.5 -0.2 -0.4 "arriba" "centro" "abajo" -0.6 -0.8 -1 x Solución: x = 0.0, y = 0.0 Valor Inicial Portafolio = 0 Mercados Incompletos 1 Un Periodo “Solución”: PPrecio i de d compra máximo á i es $0 Precio de venta mínimo es $8.57 Estos son precios de no arbitraje: si se compra el derivado máximo en $0, $0 o se vende mínimo en $8.57, $8 57 entonces se tiene perfectamente cubierto cada flujo de caja del derivado, y en algunos casos se superreplica estrictamente (se ggana pplata) Pero no es práctico pensar en no pagar más de $0 por un derivado que nunca pierde, y a veces gana CE 0?? 20 0 0 Mercados Incompletos Un Periodo Solución dual: encontrar probabilidades que hacen de e-rTS una martingala p1 + p2+ p3 = 1 p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 80 120p1 + 90p2 + 60p3 = 80erT S(T) p1 p2 pp3 120 90 60 Hay muchas soluciones: cualquier conjunto {p1,p2,p3) que cumpla p1 (0, 47.35%) p2 = 94.71% 94 71% – 2p1 p3 = 5.29% + p1 No hay solución única. Idea: definir precios de compra y venta según este conjunto de probabilidades CECompra = infp1Ep1[e-rTV(T)] = 0 (se da con p1 0%) CEVenta = supp1Ep1[e-rTV(T)] = 8.57 (se da con p1 47.35%) Resultados coinciden con superreplicación Mercados Incompletos Un Periodo Solución diferente: minimizar el error de cobertura S(T) 80 p1 p2 pp3 CE 120 90 ?? 60 p1 p2 p33 20 0 0 p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 dados p1 + p2+ p3 = 1 Resolver min x, y [S (T ) x 100 y C E (T )2 ] 2 p1( p 2 p3) Solución (…): x Para p1=p2=p3, 3[(12 p1 5 p 2 4) (2 p1 p 2 2) 2 ] p1 y 15(2 p1 p 2 2) x x = 0.333, y = – 0.233 (muy cercano al modelo binomial inicial) V0 = 5.55 (sin distinguir si se compra o se vende!) “arriba” y “abajo”: déficit por $3.33; “centro”: superávit por $6.67 Mercados Incompletos Un Periodo Otra solución diferente: maximizar la utilidad del i inversionista i it … aunque esto parece volver al esquema económico de valoración: se requiere fundamentalmente la probabilidad “fí ” y la “física” l estructura dde la l ffunción ó de d utilidad, l d d ninguna dde las cuales se obtiene directamente del mercado Ejemplo: j p u(x) = 1-e-x tomemos =0.1, que corresponde a indiferencia entre una lotería de $0 o $10 con 50% c/u, o $3.8 con certeza p1 = p2 = p3 También se necesita una riqueza inicial (con la cual se busca cubrir el derivado min i max [u ( S (T ) x B (T ) y D (T ))] u ( 0 ) Problema a resolver: c x, y S 0 x B0 y c Mercados Incompletos Un Periodo Solución cuando se vende el derivado: CE = $3.63, con lo cuall se construye t ell portafolio t f li x = 0.47 y = -0.34 Si hubiéramos h bé comprado d ell derivado, d d CE = -$3.47, con lo l cual se construye el portafolio x = -0.06 y = 0.013 Sensibilidad a parámetros: Tomando pp1=0.5,, p2=p3=0.25: p p CEVenta = $2.63 CECompra = -$5.66 Precios cruzados! Tomando = 1 (indiferencia entre la lotería y $0.69), se llegaría a CEVenta = $6.20 CECompra p = -$0.46 Mercados Incompletos Un Periodo Otra solución diferente: “completar” el mercado En general no se puede puede, pero hay ocasiones en que el mercado lo permite Idea: incluir otro instrumento que sea transable en el mercado Volvemos al ejemplo de nuestra acción en el modelo trinomial; queremos valorar una opción específica (call, strike 100) Supongamos que otra opción ó callll (Strike k 80) es transable bl y vale l $12.2 CE 12 2 12.2 40 10 0 REPLICACION x: número de acciones,, y: y número de T-bonos,, z: número de opciones_80 Se quiere (“arriba”) 120x + 100y + 40z = 20 S l ió x=-0.333, Solución: 0 333 y=0.2, 0 2 z=11 Valor Vl O Opcion_100 i 100 = $3.66 3 66 (“centro”) 90x + 100y + 10z= 0 (“abajo”) 60x + 100y + 0z = 0 Mercados Incompletos VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos Mercados Incompletos Fuentes de Incompletitud Recordemos la definición: U mercado Un d es incompleto i l t sii existen i t dderivados i d cuyos flflujos j dde caja no pueden ser replicados con los productos transables en el mercado Transable: se ppuede compar p y vender (y mantener pposiciones por periodos de tiempo) y no existen restricciones para comprar y vender el producto La causa más “fuerte” de incompletitud es una situación en las que ue hay ha más fuentes de incertidumbre que ue fuentes de cobertura Este es el caso del ejemplo que acabamos de ver Tres estados del mundo (“fuentes de incertidumbre”) Dos fuentes de cobertura (acción y bono) Este es el caso en mercados de catástrofes, clima, variables económicas, etc. Este es el caso del mercado de electricidad ((el subyacente y no es transable bl y no puede d usarse como fuente f de d cobertura) b Mercados Incompletos Fuentes de Incompletitud Mercado de electricidad: existe un mercado “Spot” de electricidad, pero la electricidad no puede considerarse un activo transable Para efectos prácticos, no es posible tomar y mantener una posición larga en electricidad “Spot” Sí existen “pilas” para almacenar energía, pero a nivel financiero no es factible pensar en usar esto como una fuente de administración de riesgo En este sentido, no es distinto a otros mercados de commodities, donde almacenar un producto no es operativo para las entidades financieras Es aún “menos posible” tomar y mantener una posición corta en electricidad “Spot” Spot Sin embargo, ante un mercado desarrollado de derivados, es posible tomar y mantener posiciones cortas y largas en electricidad Esto será un punto importante al tratar de valorar derivados Esto es lo E l que se usa en ell mercado d dde petróleo, ól por ejemplo: j l se pueden d mantener posiciones en el primer contrato de futuros, como si representara una posición en el subyacente “spot” Sin embargo, en Colombia (y en cierta medida, en el mundo) hasta ahora se está desarrollando este mercado Mercados Incompletos Fuentes de Incompletitud Saltos en el subyacente; en estos modelos (procesos de Levy), existen infinitas transformaciones de probabilidad que hacen que el precio descontado sea una martingala Se puede pensar en una estrategia de replicación, donde se exigiría tener acciones … cuando la acción salta, la i imposibilidad ibilid d dde rebalanceo bl continuo ti vuelven l iincompleto l t ell mercado Una situación similar se da en modelos con volatilidad estocástica Mercados Incompletos Fuentes de Incompletitud Fricciones de mercado 1: costos de transacción a veces se dice que el mercado es imperfecto p ((en vez de incompleto) p ) Volvamos al ejemplo original en el modelo binomial S 120 80 t=0 CE CE 60 t=T t=0 20 0 t=T Supongamos que hay un costo fijo de $0.1 por cada transacción que se haga Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es $8.75 Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es -$8.39 Esta falta de unicidad en el precio es un consecuencia de la asimetría en la replicación; el problema se exacerba en múltiples periodos La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) 0.333 acciones Mercados Incompletos Fuentes de Incompletitud Fricciones de mercado 2: restricciones de inversión a veces se dice que ue el mercado es imperfecto (en vez e de incompleto) Por ejemplo, es razonable imponer restricciones para vender en corto el activo subyacente E traería Esto í asimetrías i í que evitarían i í llllegar a un precio i úúnico i Volvamos al ejemplo y supongamos que vender en corto la acción exige un “encaje” del 20% del valor inicial (encaje que genera 0% de d rendimiento) di i t ) Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es $8.57 (caso original, que no requiere posiciones cortas) Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial es -$8.06 (en este caso se requiere una posición corta en acciones, que tiene un costo de oportunidad) La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) 0.333 acciones Mercados Incompletos VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos Mercados Incompletos Preámbulo Teórico Marco Teórico, caso general Recordemos: el Valor de no arbitraje de un derivado consiste en: o o o o o Valor presente (descontado) del pago final Valor esperado de este valor presente Ell valor l esperado d se ddebe b hhacer bbajo una medida d d dde probabilidad b b l d d muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgo Bajo esta probabilidad, el valor esperado del retorno de (todos) los activos modelados es igual g a la tasa libre de riesgo g Esta “fórmula” es un teorema; hay una plataforma matemática detrás que permite llegar a esto Concepto usado: el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos básicos que repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio replicante) siempre existe? Es única? Mercados Incompletos Preámbulo Teórico Marco Teórico PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: “Existe una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitraje” SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: “Existe Existe una única probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos básicos)” Mercados Incompletos Preámbulo Teórico Marco Teórico Versión alternativa del SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Modelo de Precios de N Activos S (t ) S1 (t ), , S n (t ) T , t [0, T ] σ Primer activo: cuenta bancaria que crece a una tasa r Evolución de precios: dS n1 (t ) n1 ( s )dt nm ( s )dWm1 (t ), S (0) S 0 W es un movimiento Browniano bajo una probabilidad “física” física P σ El mercado definido es completo si y solo si existe un único proceso adaptado m1 tal que ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t ) Esto no ocurre, por ejemplo, si hay más movimientos Brownianos que acciones (m>n) Mercados Incompletos Preámbulo Teórico σ Marco Teórico S es úúnico, tomamos ell tall que ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t ) Si y cambiamos la medida física a una de valoración Q, donde: Ŵ = W + ∫dt es un Movimiento Browniano. El proceso de la acción es dS (t ) r (t ) S (t )dt σ(t )dWˆ (t ), S ( 0) S 0 σ Contrapartida: en un mercado incompleto existe más dde un proceso tall que ( t ) ( t ) ( t ) r ( t ) S ( t ) Problema: cuál de todos usar para hacer el cambio de medida? e a? Mercados Incompletos Desarrollo Teórico Tomemos un proceso de una variable observable (por ejemplo, j l ell precio i SSpott dde lla electricidad): l t i id d) dS(t) = (t)S(t) dt + σ(t)S(t) dW(t) Adicionamos, como siempre, p un “bono”: dP(t) = r(t)P(t) dt Se consideran dos derivados definidos sobre S que en el tiempo T pagan según funciones bien definidas Llamamos i el precio de estos derivados (i=1,2) i = i((t,, S(t)) ( )) Observación: los derivados son instrumentos transables, pero el subyacente no Mercados Incompletos Desarrollo Teórico Lema de Itô: d = (t+S(t)S+½2S(t)2SS)dt + S(t)SdW(t) = dt + dW(t) Recordemos en el caso de mercados completos: Replicación: Construimos un portafolio +1 unidad del derivado (hasta T, sin rebalancear) -S unidades de la acción (se debe rebalancear continuamente) “Delta” Evolución del valor del portafolio: V = (t) - S S(t) dV = - SdS + d Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata = (t + ½2S(t)2SS) dt Según la observación crucial, se debe tener t + ½2S(t) ( )2SS = rV = r - rSS,, o t + rSS + ½2S(t)2SS = r, (T, S(T)) = (S(T)) Ecuación de Black y Scholes No aparece en esta expresión Mercados Incompletos Desarrollo Teórico En el caso de mercados incompletos no se puede generar ese portafolio replicante (no se ppuede tomar la pposición en el subyacente) y … pero usamos la misma estrategia: construimos un portafolio +1 unidad del derivado 1 (hasta T, sin rebalancear) -1S/2S unidades del derivado 2 (se debe rebalancear continuamente) [ignoramos casos en que el denominador es 0] Escribimos di = iidt + iidW(t), i = (it+S(t)iS+½2S(t)2iSS) / i i = S(t)iS / i Evolución del valor del portafolio: V = 1 - 1S/2S 2 dV = d1 – 1S/2S d2 Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata = ((1 1 - 2 2 1S/2S ) dt Según la observación crucial (un portafolio sin dW debe crecer a una tasa r) se debe tener 1 1 - 2 2 1S/2S = rV = r(1 - 1S/2S 2), o [1 – r]] / 1 = [2 – r]] / 2 = , una iinvariante i t entre t dderivados i d Mercados Incompletos Desarrollo Teórico Es decir, para evitar arbitraje todos los derivados transables deben compartir el mismo precio de riesgo de mercado: [ – r] / Con podemos valorar todos los derivados. Cómo? cambiamos la medida física a una de valoración Q, donde: Ŵ = W + ∫dt es un movimiento i i t B Browniano i Luego d = r dt + S(t)SdŴ(t) y así G(t,x) = e-rt(t,x) es una martingala rT (S(T))] Los L derivados d i d se valoran l con lla fó fórmula l EQ[e [ -rT Problema: no se observa (ni se conoce) Solo se puede esperar derivar de procesos de estimación histórica (tí i (típicamente t es bastante b t t poco preciso i este t método), ét d ) o dde observaciones en mercados de derivados líquidos Por ejemplo, si se observa el precio de un derivado, es teóricamente posible despejar , y de ahí poder valorar todos los demás derivados Mercados Incompletos Desarrollo Teórico Nota: dS = ( - σ)S dt + σSdŴ(t) Si se conoce , la ecuación de valoración de un derivado debe satisfacer t + [ [-] ]SS + ½2S2SS = r, (T, S(T)) = (S(T)) Aún si se conoce , tenemos que lidiar con : en contraste con el caso de mercados completos, aquí aparece en la función de valoración (ecuación BS) En el extremo, si tuviéramos uno de los derivados como un futuro con Strike 0, tendríamos [ – r] / = , y la l cantidad d d - podría d í ser reemplazada l d arriba b por r, eliminando la necesidad de conocer y (la medida de valoración quedaría unívocamente determinada, y de h h se podría hecho d í arrancar por la l medida did dde valoración l ió Mercados Incompletos VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Ejemplos y Motivación Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad Desarrollo Teórico Esquemas de Valoración de derivados en mercados incompletos Mercados Incompletos Esquemas de valoración Hay varias posibilidades Ninguna es claramente l superior a llas ddemás á No hay respuesta “correcta” ni única, ni la transparencia que se tenía en mercados completos Ajustar metodología al mercado analizado 1. 2. 3. 4. 5. Calibración del precio de riesgo de mercado Superreplicación M Maximización ó de d utilidad l d d esperada d dde lla riqueza ffinall Minimización de una medida del error de replicación Cálculo de máximo riesgo g aceptable p (“Risk Measure Pricing”) g Nota: del esquema de valoración se desprende la estrategia de ggestión de riesgo g Mercados Incompletos Esquemas de valoración Calibración del precio de riesgo de mercado Ventajas: Se determina de forma única la medida de valoración Se reduce el mercado al caso completo Se valoran derivados no observables de forma consistente y libre de arbitraje Desventajas: Necesidad N id d de d observación b ió ddell precio i ddell riesgo i ((observación b ió dde derivados líquidos, por ejemplo) Posible inconsistencia entre precios observados necesidad de establecer una forma parámetrica para minimizar un error de calibración Necesidad de establecer el “drift” para procesos observables pero no transables reto estadístico de proyección a futuro Mercados Incompletos Esquemas de valoración Superreplicación Ventajas: Muy sencillo computacionalmente Se cubre totalmente el riesgo Desventajas: j No sirve de mucho: amplitud de “bid-ask” lo hace impráctico Ejemplo: Variable observable pero no transable X = W Tasas de interés r 0 Derivado: paga $1 si X(T) > 0 y $0 en caso contrario Intuición: precio debería ser alrededor de $0.50 Para cualquier proceso , Ŵ = W + ∫dt es un MB bajo una prob Q, que es una medida equivalente de martingala o Valoración l ó en esta medida: d d V0Q = EQ[(X(T))] = PQ [Ŵ≥ Ŵ ∫dt] ∫d = N(- ∫dt) ∫d o Superreplicación: Precio de compra = infQV0Q = 0 Precio de venta= supQV0Q = 1 …. N No di dice mucho; h en cada d caso lla administración d i i t ió ddell riesgo i es ttrivial i il o o o o o Mercados Incompletos Esquemas de valoración Maximización de Utilidad Esperada V j Ventajas: Clara justificación económica Consistencia con teoría de selección de portafolios Des entajas Desventajas: Inputs no son dados por el mercado; notoriamente: Preferencias Distribución de variables (es decir, la medida “física”) “Endowment” inicial esto aparece en realidad como un output en la valoración Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y de calibrarla En general, general se debe resolver numéricamente mediante simulaciones “Unfortunately, the maximization is notoriously sensitive to these inputs, whose formulation is suspect at the outset. This shortcoming renders the methodology gy ppotentiallyy useless …” (Carr et al. 2001) Mercados Incompletos Esquemas de valoración Maximización de Utilidad Esperada Seguimos con el ejemplo anterior: Variable observable X = W Ahora X se puede transar, pero solo en t=0 y t=T Tasas de interés r 0 D i d (X) = $1 sii X(T) > 0 y $0 en caso contrario Derivado: t i ((usemos T=1) “Endowment” $v Portafolio inicial: +1 unidad del derivado, unidades de X, y lo que esté en plata, invertirlo en el bono Función de utilidad para una riqueza w w: u(w) = -(w-2) (w 2)2 Problema1: maximizar E[u(w)] = E[-(v+X+(X)-2)2] Solución: = -0.399 (independiente de y v) Utilidad esperada con ese : E[u(w)] = -(v2-3v-1.66) P bl Problema 22: encontrar t ell v mínimo í i que hhace que esto t sea preferible f ibl a no hacer nada u(0) = - 4 Solución: v = -0.477 (independiente de !) Luego yo no compraría el derivado si tuviera que pagar más de $0.477 P vender Para d ell derivado, d i d se debería d b í recibir ibi all menos $0 $0.692 692 Mercados Incompletos Esquemas de valoración Minimización de una medida del error de replicación V tj Ventajas: Cercano a la intuición de gestión de “tracking error” Sencillo de formular matemáticamente Desventajas: Inputs no son dados por el mercado; notoriamente: Medida del error (aunque hay “consenso” en usar error cuadrático promedio) Distribución de variables (es decir, decir la medida “física”) física ) Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y de calibrarla En el ejemplo j p anterior, la solución sería: v = -0.5 (es decir, el valor del derivado debe ser $0.5, independiente de punto de vista de compra o venta) = -0.399 (es el delta para cubrir el derivado) (Error cuadrático promedio) mínimo: $0.301 $0 301 Mercados Incompletos Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Optimo entre un conjunto de medidas de valoración “aceptables” aceptables (entre las medidas equivalentes de martingala) Es una superreplicación en un conjunto reducido de medidas Descripción p Precios derivado = (infQDEQ[e-∫rdt(S)], supQDEQ[e-∫rdt(S)]) D es un conjunto de medidasequivalentes de martingala Si se toma D como todo el conjunto, se vuelve a superreplicación Mi Miremos un ejemplo j l dde fformulación l ió (“Ri (“Risk-Measure kM P i i ” de Pricing” d Xu) X ) Medida coherente de riesgo (ADEH) es una función : {Variables Aleatorias (“pérdidas”)} Indica cuánta plata debe adicionarse al portafolio para que sea admisible Cumple o o o o Subaditividad: (X+Y) ≤ (X) + ( Y) Homogeneidad: (X) = (X) (≥0) Monotonicidad: X ≤ Y (X) ≤ ( Y) Invarianza: (X+ ) = (X) + Mercados Incompletos Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Para un trader con medida de riesgo , “pasivo” pasivo inicial L, L a quien se le da un capital x para administrar una posición nueva (un derivado), se define x(L) = infWY(x) ( ) (L-W), donde Y(x) es el conjunto de posibles riquezas finales, si se comienza con x: t Y ( x) X | X t x dS , estrategia autofinanciada 0 Generalmente solo se toman estrategias que no generan pérdidas ilimitadas Valoración de un derivado H se basa en no aumentar el riesgo del portafolio del trader: Precio de d compra: sup{x: { -x(L-H) ≤ (L)}} Precio de venta: inf {x: x(L+H) ≤ (L)} Si se tiene una función de utilidad, se puede definir una medida de riesgo g para p hacer los dos esquemas q equivalentes: q (L)) = -E[U(-L)] ( [ ( )] Mercados Incompletos Esquemas de valoración Cálculo de máximo riesgo aceptable Ventajas: Toma el concepto de superreplicación, sin ser tan drástico (por lo que puede ser útil) Intuitivamente razonable Desventajas: Se debe determinar el conjunto de medidas “aceptables” esto suele ser arbitrario Alternativamente se debe determinar una medida de riesgo g coherente para la administración del portafolio Optimización puede requerir análisis numérico Mercados Incompletos Opciones FIN Mercados Incompletos