INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS ZZ 1.- Calcular f en los siguientes casos: R 1 , R = [3, 4] × [1, 2]. (x + y)2 x2 b) f (x, y) = , R = [0, 1] × [0, 1]. 1 + y2 c) f (x, y) = yexy , R = [0, 1] × [0, 1]. a) f (x, y) = d) f (x, y) = | cos(x + y)|, R = [0, π] × [0, π]. Z 2.- Si f es continua en R = [a, b] × [c, d] y se define F (x, y) = Z y f (u, v) dv, probar que du c a ∂2F ∂2F = = f (x, y), para a < x < b, c < y < d. ∂x∂y ∂y∂x 3.- Sea f (x, y) = esen(x+y) y D = [−π, π] × [−π, π]. Probar que 1 1 ≤ e 4π 2 x ZZ f (x, y) dxdy ≤ e. D INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES ZZ 4.- Colocar los lı́mites de integración en la integral doble f (x, y) dxdy en ambos órdenes, para D los siguientes recintos: i) triángulo (0, 0), (1, 0), (1, 1). ii) triángulo (0, 0), (2, 1), (−2, 1). iii) trapecio (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 1). iv) segmento parabólico y = x2 , y = 1. v) cı́rculo x2 + y 2 ≤ 1. vi) cı́rculo x2 + y 2 ≤ y. vii) anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4. 5.- Cambiar el orden de integración en las siguientes integrales: 2 Z i) Z 2x dx 0 f (x, y) dy Z 1 Z dy Z iv) ix) dx 0 f (x, y) dy Z2−x ln x dx f (x, y) dy √ Z 1 Z 2−y2 viii) dy f (x, y) dx 1 1−y √ √ f (x, y) dy 2x−x2 Z e Z vi) f (x, y) dx − 1−y 2 Z √2ax 0 2a x2 −1 4 √ dx 1 0 vii) dx −6 Z 2 Z 1 Z x2 iii) dx f (x, y) dy 0 x3 Z π Z sen x v) dx f (x, y) dy 2−x Z ii) x 0 2 Z 0 0 Z f (x, y) dy, a > 0 x) 2ax−x2 Z y x3 dx 1 1 2 Z f (x, y) dy + x 8 Z 8 dx 2 f (x, y) dy. x 6.- Calcular las siguientes integrales y dibujar la región de integración: ZZ |x| dxdy i) |x|+|y|≤1 Z 1 2 iii) 1 0 Z v) Z0 vii) 1 dx −1 Z 1 vi) ex+y dy. −2|x| Z √1−x2 dx 0 2 p 1 − x2 − y 2 dy. 0 2 ex dx. dy 0 2x |x| Z iv) x dy. 4 Z Z 1/x 2(1−x2 )1/2 dx −1 xy dy. dx ii) x2 dy. y2 dx 3x+1 Z 1 Z Z 2 Z y/2 ZZ 7.- Calcular f (x, y) dxdy en los siguientes casos: D i) f (x, y) = xy 2 , D el recinto limitado por y 2 = 2px y x = p/2 (p > 0). 1 ii) f (x, y) = √ , (a > 0), D el recinto limitado por el arco pequeño de la circunferencia de 2a − x centro (a, a) y radio a y los ejes coordenados. iii) f (x, y) = x2 + y 2 , D el paralelogramo limitado por y = x, y = x + a, y = a, y = 3a. iv) f (x, y = x + y, D está limitado por y 2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12. v) f (x, y) = 1 + xy, D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ 0}. √ vi) f (x, y) = y 2 x, D = {(x, y) : x > 0, y > x2 , y < 10 − x2 }. vii) f (x, y) = y, D = {(x, y) : 0 ≤ 2x/π ≤ y ≤ sen x}. 8.- Hallar el área de las siguientes regiones: a) El recinto limitado por las rectas y = x, y = 5x, x = 1. b) El recinto limitado por las curvas y 2 = 2px + p2 , y 2 = −2qx + q 2 , p, q > 0. 9.- Calcular el volumen del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3). 10.- Hallar el volumen limitado por z = 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0. Z x Z t Z x 11.- Probar que dt F (u) du = (x − u)F (u) du. 0 0 Z 12.- Probar que 2 b 0 Z b dx a f (x)f (y) dy = x Z b f (x) dx 2 . a CAMBIOS DE COORDENADAS 13.- Sea D∗ = [0, 1] × [0, 1] y se define T : R2 → R2 como T (u, v) = (−u2 + 4u, v). Encontrar D = T (D∗ ). ¿Es T inyectiva? 14.- Sea D∗ el paralelogramo limitado por las rectas y = 3x − 4, y = 3x, y = x/2, y = x/2 + 2. Sea D = [0, 1] × [0, 1]. Encontrar T : R2 → R2 tal que T (D∗ ) = D. 2 15.- Sea T (u, v) = (u, v(1 + u)) y D∗ = [0, 1] × [1, 2]. Encontrar D = T (D∗ ) y calcular ZZ xy dxdy. D 16.- Una región R del plano XY está limitada por las rectas x + y = 6, x − y = 2 e y = 0. a) Determinar la región R0 del plano U V en que se aplica R por la transformación x = u + v, y = u − v. ∂(x, y) . ∂(u, v) c) Comparar el resultado de b) con la relación entre las áreas de R y R0 . b) Calcular el jacobiano de la transformación 17.- Una región R del plano XY está limitada por las curvas x2 + y 2 = a2 , x2 + y 2 = b2 , x = 0, y = 0, con 0 < a < b, en el primer cuadrante. a) Determinar la región R0 imagen de R por la transformación x = r cos ϑ, y = r sen ϑ, con r > 0 y 0 ≤ ϑ < 2π. b) Estudiar lo que ocurre si a = 0. ∂(x, y) . c) Calcular ∂(r, ϑ) Z 1 Z x2 18.- Expresar dx xy dy como una integral sobre el triángulo 0 0 D∗ = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ u} y calcular la integral de las dos formas. ZZ 19.- Sea D el cı́rculo unidad. Expresar (1 + x2 + y 2 )3/2 dxdy como una integral sobre el rectángulo D [0, 1] × [0, 2π] y calcularla. ZZ 20.- Escribir en coordenadas polares la integral f (x, y) dxdy en los siguientes casos: D i) D es el cı́rculo: x2 + y 2 ≤ ax, a > 0. ii) D es el anillo circular: a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 . iii) D es el recinto limitado por la circunferencia: (x − a)2 + y 2 ≤ a2 . iv) D es el recinto del primer cuadrante limitado por las curvas x + y = 1 y x2 + y 2 = 1. y2 x2 v) D es el recinto limitado por la elipse: 2 + 2 = 1. a b vi) D es el triángulo del primer cuadrante limitado por los ejes coordenados y la recta x + y = 1. vii) D es el cuadrado [0, 1] × [0, 1]. viii) D es el recinto del primer cuadrante limitado por la curva: (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ). 3 ix) D es el segmento parabólico −a ≤ x ≤ a, x2 /a ≤ y ≤ a. x) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 }. 21.- Calcular las siguientes integrales: ZZ p x2 + y 2 dxdy. i) 2 +y 2 ≤a2 x ZZ p ii) sen x2 + y 2 dxdy. Z Zπ2 ≤x2 +y2 ≤4π2 iii) |xy| dxdy, donde D es un cı́rculo de radio a y con centro en el origen de coordenadas. Z ZD y p iv) dxdy, siendo D la semicorona circular situada por encima del eje de abscisas 2 x + y2 D y determinada por x2 + y 2 = 52 y x2 + y 2 = 32 . ZZ r x2 y2 x2 y2 v) 1 − 2 − 2 dxdy, donde D está limitado por la elipse 2 + 2 = 1. a b a b Z ZD ln(x2 + y 2 ) dxdy, donde D = {(x, y) : a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 }, (0 < a < b) contenida en el primer vi) D cuadrante. 22.- Hallar el área de la región limitada por: a) Las curvas y 2 = 2px, y 2 = 2qx, x2 = 2ry, x2 = 2sy, 0 < p < q, 0 < r < s. x2 y2 b) La elipse 2 + 2 = 1. a b 2 2 c) La curva x + y 2 = a x3 − 3xy 2 , a > 0. d) Las curvas y 3 = ax2 , y 3 = bx2 (a > b > 0), xy 2 = c, xy 2 = d (c > d > 0), en el primer cuadrante. e) La región exterior a la circunferencia ρ = 2a e interior a la circunferencia ρ = 4a cos ϑ. f) La región interior a la circunferencia ρ = 4 sen ϑ y exterior a la lemniscata ρ2 = 8 cos 2ϑ. 23.- Calcular la masa de una lámina en forma de anillo con radio interior 1, radio exterior 2 y densidad ρ(r, ϑ) = 1/r3 , siendo r la distancia al centro. 24.- Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies: i) az = a2 − x2 − y 2 , z = a − x − y, x = 0, y = 0, z = 0. ii) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = x, x2 + y 2 = 2x, z = 0. iii) x2 + y 2 − az = 0, (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), z = 0. iv) z = x2 + y 2 , y = x2 , y = 1, z = 0. vi) 2x + 3y − 12 = 0, z = y 2 /2, x = 0, y = 0, z = 0. 25.- Si S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x, ZZ Z 2 probar que f (x · y) dxdy = ln 2 f (u) du. S 1 4 26.- Sea D = {(x, y) ∈ R2 : −Φ(x) ≤ y ≤ Φ(x), a ≤ x ≤ b}, donde Φ es una función continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Si z = f (x, y) es una función en D tal que f (x, y) = −f (x, −y), ZZ para todo (x, y) ∈ D, probar que f (x, y) dxdy = 0. D INTEGRALES TRIPLES Z 1 Z 0 x 0 y f (x, y, z) dz, dibujar la región de integración y escribir la integral dy dx 27.- Dada la integral Z 0 de todas las formas posibles. 28.- a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, z = constante, en el sistema de coordenadas cilı́ndricas. b) Idem para las superficies ρ = constante, ϑ = constante, ϕ = constante, en el sistema de coordenadas esféricas. 29.- Calcular las siguientes integrales triples: ZZZ i) xyz dxdydz, donde V es el recinto limitado por la superficie x2 + y 2 + z 2 = 1 en el primer V ii) octante. ZZZ p x2 + y 2 dxdydz,donde V es el recinto limitado por x2 + y 2 = z 2 , z = 1. Z Z ZV iii) (1 + z 2 ) dxdydz, siendo W la región limitada por 2az = x2 + y 2 , x2 + y 2 − z 2 = a2 , z = 0. Z Z ZW (x2 + y 2 ) dxdydz, donde V está limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z, z = 2. 2 x y2 z2 x2 y2 z2 v) + + dxdydz, donde V está limitado por la superficie 2 + 2 + 2 = 1. 2 2 2 b c a b c Z Z ZV pa 2 2 x2 + y 2 + z 2 dxdydz, donde V es el recinto limitado por la esfera x + y + z 2 = z. vi) iv) Z Z ZV V 30.- Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies: i) a2 = x2 + z 2 , x + y = ±a, x − y = ±a. p ii) z = 6 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 . iii) x2 + y 2 + z 2 = 2az, x2 + y 2 ≤ z 2 . iv) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0. v) x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 + z 2 = b2 , x2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0, 0 < a < b). vi) z = 0, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = z 2 . vii) x2 + y 2 + z 2 = 1, z = 1/2. 31.- Calcular el momento de inercia de un cono circular recto respecto a su eje. 32.- Hallar la masa del sólido S = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, z ≤ 4, z ≥ 1 − x2 − y 2 } si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al eje Z. 5