Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. ester.patino@upm.es CÁLCULO Hoja 9. Integrales dobles. 1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1] × [0, 1]: ZZ ZZ a) (x3 + y 2 )dxdy d) (x2 + y)dxdy (:= 65 ) ZZ R ZZ R xy b) ye dxdy f) xy dxdy (:= log 2) ZZ R ZZ R c) (xy)2 cos x3 dxdy g) y(x3 − 12x)dxdy, con R = [−2, 1] × [0, 1] R (:= R 2. En las siguientes integrales, cambiar el orden spondientes y obtener el valor de la integral: Z 1Z 1 1 a) xydydx (:= ) 8 Z0 π/2xZ cos θ 1 b) cos θdrdθ (:= π) 4 0 Z 01 Z 2−y 17 (x + y)2 dxdy (:= ) c) 12 1 0 57 8 ) de integración, esbozar las regiones correZ 1 Z 1 2 (:= ) 3 1 1 (:= e − ) 3 3 (x + y)2 dxdy d) Z −1 1Z f) |y| 1 √ Z0 2 Z x log y g) 1 3 ey dydx e−x dxdy (:= 1 − log 2) 0 3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y y − x + z = 1. (Solución: 16 ). ZZ 4. Calcular (x2 − y)dxdy siendo D la región comprendida entre las gráficas de las curvas D y = x2 , y = −x2 y las rectas x = −1 y x = 1. (Solución: ZZ 5. Hallar xydxdy siendo D 4 5 ). D a) el cuadrado de vértices (−1, 0), (0, −1), (1, 0) y (0, 1); b) el trapecio de vértices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) y (−1, 1); c) (x, y) ∈ R2 : 0≤x≤3, y≥0, 4x2 + 9y 2 ≤36 ∪ (x, y) ∈ R2 : −2≤x≤0, y≥0, x + 2 − y≥0 . Solución: 23 6 . 6. Se considera la función f (x, y) = xy definida sobre el conjunto D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ ex , x ≤ 1, x ≥ 1 − y2} Se pide: (a) Representar gráficamente el conjunto D. (b) Expresar mediante una integral iterada la integral doble el orden de integración. RR (c) Calcular D f (x, y)dxdy. (Sol.: 1 2 8e + ZZ 7. Hallar RR D f (x, y)dxdy y cambiar 1 24 ) xydxdy siendo D la región del primer cuadrante encerrada entre las parábolas D y = x2 e y = x4 . (Solución: 1 15 ). 1 Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. Z Z 4 8. Hallar 2 dy √ x 1 (x + √ y2) 2 gración. (Sol.: −4 + 4 2). 0 ester.patino@upm.es ! dx. (Indicación: se recomienda cambiar el orden de inte- 9. Dada la función f : R2 → R definida por f (x, y) = e(x −y )−(x+y) (x + y) y el recinto D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 − y 2 ≤ 4, 2 ≤ x + y ≤ 3}. 2 2 (a) Plantear en coordenadas cartesianas, R R con sus lı́mites de integración correspondientes y en el orden indicado la integral D f (x, y)dydx. R R (x2 −y2 )−(x+y) (b) Hallar (x + y)dxdy tomando para ello el cambio de variable: De 2 2 u = x − y , v = x + y. (Sol.: 12 −e − e−1 + e2 + e−2 ) ZZ 10. Calcúlese e(y−x)/(y+x) dxdy donde D = (x, y) ∈ R2 : 0≤x, 0≤y, x + y≤2 . Tómese D para ello el cambio de variable y − x = u, y + x = v. Solución: e − ZZ 11. Hallar la integral (y 2 − x2 )xy (x2 + y 2 )dxdy donde 1 e D D = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, a≤xy≤b, y 2 − x2 ≤1, x≤y con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y 2 − x2 , v = xy. Solución: 1 1+b 2 log 1+a . ZZ 12. Hallar xydxdy siendo D la región del primer cuadrante delimitada por las curvas D x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 = 9, x2 − y 2 = 4 y x2 − y 2 = 1. Utilizar el cambio de variable u = x2 + y 2 , v = x2 − y 2 . Solución: 15 8 . RR 13. Dada la integral I = D (x + y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante 4 10 por las curvas y = x − 3, y = x + 3, y = e y = , x x (a) escribir D como unión de regiones del tipo {(x, y) ≤ x ≤ , (x) ≤ y ≤ (x)} , y expresar I en coordenadas cartesianas; (b) escribir el nuevo dominio, D∗ , que resulta al hacer el cambio de variables u = y − x, v = xy; (c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36). 14. Se considera la región plana D delimitada por las curvas y 2 − 2 = x, x = y 2 + 1 y las rectas y = 1, y = −1. Se pide: (a) Hallar el área de la región D. (Sol.: 6) (b) Utilizar el cambio de variable u = x − y2 . v = 3y para calcular la integral doble Z Z 2 ex−y dxdy. D Sol.: 2 e − 1 e2 2 Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. ester.patino@upm.es y x + y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1. 15. Hallar De RR x+y =u Sugerencia: utilizar el cambio de variable . Sea la integral I = D y 2 dxdy y=v donde D es la región del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = x y y = 4x, RR (a) Representar gráficamente el recinto D. (b) Representar gráficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variable u = xy, v = xy . (c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 45 4 ) ZZ 16. Calcular ex/y dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : y 3 ≤x≤y 2 . Solución: D 3−e 2 . 17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 y el cono de 4π ecuación x2 + y 2 − z 2 = 0. (Sol.: ). 3 18. Calcular la integral de f (x, y) = x2 y sobre el recinto situado en el primer cuadrante y limitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.: 31/15). 19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro elı́ptico x2 + 4y 2 = 1 y el paraboloide x2 + y 2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.: 5π 32 ). 20. Calcular el volumen del sólido interior al semiespacio z ≥ 0 y limitado por el elipsoide x2 + y 2 + 2z 2 ≤ 8 y el cono x2 + y 2 ≤ 2z 2 .(Sol.: 20π 3 ). 21. Calcular el volumen del sólido cubierto por la superficie z =1+ x(y + 1) 5 sobre el rectángulo R = [0, 3] × [−1, 4]. 22. Sea σ la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1, el arco de la elipse x2 + 4y 2 = 16 y los segmentos representados en la figura Hallar el volumen del sólido que tiene por base el recinto delimitado por la curva σ y como 251π cubierta el paraboloide z = x2 + 4y 2 . (Sol.: ) 16 23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revolución x2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0), el paraboloide de revolución x2 + y 2 + 3z = 4 y el plano z = 0, (a) para el caso x2 + y 2 ≥ z 2 y x2 + y 2 + 3z ≤ 4 (Sol.: (b) para el caso x2 + y 2 ≤ z 2 y x2 + y 2 + 3z ≤ 4 3 13π 6 ) Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. 24. Sea el sólido limitado por x2 + √ volumen. (Sol.: 2π( 4−23 2 y2 z2 ≤ , 4 4 ester.patino@upm.es x2 + y2 z2 + ≤ 1 con z ≥ 0.Se pide su 4 4 )). 25. Calcular el volumen del sólido s = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x2 + y 2 ≥ 3z, z ≥ 0}. ZZ 3 26. Evaluar y 3 (x2 + y 2 )− 2 dxdy, donde D es la región determinada por las condiciones D √ 1 2 2 3/4 ). 2 ≤y≤1 y x + y ≤1. (Solución: 27. Hallar el área limitada por las circunferencias x2 + y 2 = 2x y x2 + y 2 = 4x y las rectas 3 y = x e y = 0. Solución: 3π 4 + 2. 28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos de R3 : (a) A = (x, y, z) : (b) B = (x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 42 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ z 2 x2 + y 2 ≤ x, (Sol.: 0≤z √ 4−2 2 π43 ) 3 (Sol.: π3 − 94 ) RR 29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integral D f (x, y)dxdyZ siendo D el Z p √ conjunto definido por las inecuaciones 0≤y≤1, y≤x≤1 + 1 − y 2 . Calcular ydxdy. Solución: 13 30 . 30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z = 8 OXY, por la curva x2 + y 2 − x = 0. (Sol.:. 15 ). D √ x sobre el recinto limitado, en el plano RR 31. Calcular D (x2 +y 2 )−3/2 dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≤ y, x + y ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 1 . (Sol.: 1 − π4 ). RR 32. Calcular D ydxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≥ 2x . (Sol.: 1/8). ZZ 33. Calcular (x2 +y 2 )dxdy siendo D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ 2y, x≥0 . D (Resolverlo con Maple). 34. Hallar el volumen limitado por la cubierta intersección de dos cilindros parabólicos de ecuaciones C1 ≡ z = 36 − y 2 y C2 ≡ z = 36 − x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple). 4 Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. ester.patino@upm.es 35. Dada la función f (x, y) = (x2 + y 2 )−3/2 en la región D caracterizada por x − y ≥ 0, x + y ≥ 2 y x2 + y 2 ≤ 4. Se pide: (a) Escribir D como unión de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas. (b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en las nuevas coordenadas. (Sol.: −π/8 + 1/2) 36. Calcular el volumen de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 interior al cilindro (x − 12 )2 + y 2 = 14 en el semiespacio {(x, y, z) ∈ R3 , z ≥ 0}. (Sol.: 13 π − 49 ) RR 37. Calcular la siguiente integral D (x2 +y12 )3/2 dxdy, siendo el recinto de integración D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x + 1}. (Sol.: 2 − π2 ) 38. Dado el conjunto D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y 2 ≥ 2y, x2 + y 2 ≤ 6y , se pide calcular RR D x2 x dxdy. (Sol.: 2) + y2 39. Calcular el volumen del sólido limitado por el hiperboloide x2 + 4y 2 − z 2 + 4 = 0 y el cilindro x2 + 4y 2 − 9 = 0. 40. Hallar el volumen del sólido acotado superiormente por el paraboloide z = 5 − x2 − y 2 , e inferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y 2 . 41. Se considera el sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}. Hallar su volumen. 42. El recinto A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 − 2y ≤ 5 está cubierto por la superficie z = x(y − 2) + 6. Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A. 5