E - Ingeniería - Universidad de Antioquia

METODO PARA ESTIMAR ESPECTROS DE FRECUENCIA Y DE FASE DE SEÑALES PERIÓDICAS
DISCRETAS.
TÍTULO DEL ARTÍCULO EN INGLÉS
JOSE EDISON AEDO, RICARDO VELAZQUES
Universidad de Antioquia
Investigadores Departamento de Ingeniería Electrónica
joseaedo@udea.edu.co, eravv252@udea.edu.co
FERNANDO VILLADA, NICOLAS MUÑOZ
Universidad de Antioquia
Investigadores Departamento de Ingeniería Eléctrica
fvillada@udea.edu.co, nicolasm@udea.edu.co
Resumen: En la actualidad muchos de los fenómenos físicos y procesos industriales son originados por señales
periódicas y emiten respuestas del mismo tipo producto de su existencia, en el caso de los sistemas eléctricos en
bastantes ocasiones son alimentados con PWM que contienen armónicos de tensión o sus cargas generan
armónicos de corriente, por esta razón, la interpretación de estas señales ha cobrado gran importancia, pues se
obtiene información acerca de su comportamiento y funcionamiento, con esta información se pueden realizar tareas
de diagnóstico y mantenimiento contribuyendo así con el mejoramiento de la calidad de la energía y con el mejor
aprovechamiento de los recursos disponibles .
En el presente artículo se presentará un algoritmo para calcular los espectros de magnitud y fase con mayor
precisión a partir del cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT), también se mostraran algunos resultados
de simulación que corroboran la eficiencia de los algoritmos.
Palabras clave: Transformada Discreta de Fourier DFT, Transformada Rápida de Fourier FFT, Mantenimiento
predictivo, espectros, armónicos.
Abstract: En esta sección se hace una traducción exacta al inglés del resumen.
Key words: Discrete Fourier Transform, Fast Fourier Transform, predictive
Introducción
Una de las mejores herramientas que tiene la ingeniería es descomponer las señales que emiten los medios
mediante el análisis de Fourier, esto ayuda a la caracterización de los fenómenos que suceden, brindando
alternativas de solución para los diferentes problemas que resultan. Señales de tensión y corriente; señales
periódicas que pueden descomponerse en componentes armónicas ofrecen información valiosa acerca del
comportamiento de los sistemas eléctricos permitiendo realizar tareas de mantenimiento predictivo, otras señales
como la fuerza magnetomotriz y las vibraciones mecánicas también pueden ser descompuestas en componentes
sinusoidales y pueden servir para conocer el estado de las máquinas eléctricas [6].
El grupo de investigación en el manejo eficiente de la energía eléctrica en conjunto con el grupo de microelectrónica
y control, ambos grupos de La Universidad de Antioquia, desarrollamos un prototipo con la capacidad de capturar
algunas variables eléctricas de los motores de inducción las cuales son: Tensiones y corrientes de alimentación, par
electromagnético, flujo axial de dispersión, impedancia de secuencia inversa y vibraciones mecánicas; todas en su
procesamiento necesitan ser descompuestas en componentes senoidales, por esta razón, para nosotros es de vital
importancia obtener los parámetros de los armónicos con bastante precisión, y así realizar predicciones del estado
de la maquina mas certeros.
Diversidad de métodos han sido utilizados para determinar la frecuencia, amplitud y fase de los componentes
armónicos de señales periódicas, algunos de ellos más precisos que otros. Uno de los métodos utilizados para
descomponer señales periódicas es la Transformada Discreta de Fourier (DFT) y su algoritmo eficiente
computacionalmente la Transformada rápida de Fourier (FFT); sin embargo, este método presenta algunas
limitaciones debido al carácter discreto y finito de la FFT, causando así una redistribución de la potencia a lo largo
de todo el espectro dificultando la obtención directa de los parámetros de los armónicos presentes. Se han
planteado algunos algoritmos para obtener con mayor precisión dichos parámetros a partir de la información
suministrada por la FFT.
El presente artículo esta conformado por una primera sección en la cual se explica la Transformada Rápida de
Fourier FFT, en la segunda sección se desarrolla un algoritmo de interpolación que determina con mayor precisión
parámetros de armónicos a partir de la FFT y en la tercera sección se muestran algunos resultados acerca del
algoritmo desarrollado en la sección 2.
1. La transformada rápida de Fourier. FFT
La transformada rápida de Fourier es un algoritmo que sirve para calcular rápida y eficientemente la transformada
discreta de Fourier [1]. La DFT de N puntos de una señal de N muestras puede verse en la ecuación 1.
X DFT [k ] =
N −1
X ( n)e
−2πnkj
N
n =0
(1)
k = 0,1,...,3,..., N − 1 ,
X DFT [k ] : DFT, X (n) : Señal discreta.
Como puede verse para poder realizar el cálculo de la DFT son necesarias N 2 multiplicaciones complejas y
N ( N − 1) adiciones complejas.
El algoritmo de la FFT de base 2 consiste en descomponer la DFT en series pares e impares como puede verse en
la siguiente deducción:
X DFT [k ] =
N
−1
2
n =0
X ( 2n)e
− 2πnkj
N
2
+e
N
− 2πjk 2 −1
N
n =0
X (2n + 1)e
− 2πnkj
N
2
(2)
De este modo, el primer término de la derecha de la ecuación (2) corresponde a las muestras pares de la señal y el
segundo término corresponde a las muestras impares de la señal.
Aprovechando la simetría de esta serie la ecuación (2), se puede expresar como sigue:
X DFT [k ] =
X DFT
k = 0,1,...,3,...,
N
−1
2
X ( 2 n )e
− 2πnk
N
2
+e
N
− 2πk 2 −1
N
n =0
N
k+
=
2
X (2n + 1)e
− 2πnk
N
2
(3)
n=0
N
−1
2
n=0
X ( 2n)e
− 2πnk
N
2
−e
N
− 2πk 2 −1
N
X (2n + 1)e
− 2πnk
N
2
(4)
n=0
N
−1
2
La ecuación (3) corresponde a los primeros N 2 valores de la DFT y la ecuación (4) corresponde a los últimos
N 2 valores de la DTF, observe que en ambas ecuaciones sus términos son iguales solo que en la ecuación (3)
estos términos se suman y en la ecuación (4) se restan, de esta manera, los cálculos de la DTF se reducen
considerablemente, ahora los términos de estas ecuaciones pueden seguir reduciéndose sucesivamente en nuevas
componentes pares e impares siempre y cuando el número de muestras en cada término sea divisible por 2
( N 2 , N 2 2 ,…, N 2 m ), en donde m corresponde a un entero positivo y el término N 2 m es un entero
positivo mayor o igual a 1, por lo tanto, para que el algoritmo de la FFT tenga óptimos resultados es necesario que
se cumpla la siguiente relación N = 2 m , de acuerdo a las anteriores consideraciones es posible realizar los
cálculos de la DTF en
N
Log 2 m multiplicaciones complejas y en NLog 2 m sumas complejas.
2
Cuando el número de muestras no corresponde a un periodo completo de la señal, las frecuencias de los armónicos
obtenidos tienden a desplazarse levemente de su valor verdadero, esto ocasiona que las magnitudes y ángulos
correspondientes a cada frecuencia cambien de valor distorsionando los espectros de frecuencia y de fase, a
continuación propondremos un método que implementamos con el fin de realizar correcciones y obtener espectros
de mayor precisión.
2. Algoritmo de Interpolación para calcular parámetros de armónicos
Para poder realizar cualquier análisis sobre la determinación de parámetros de armónicos a través de un
algoritmo de interpolación es necesario considerar en primera instancia el caso de una señal sinusoidal
pura, esta señal esta representada en la ecuación (5)
X (t ) = A0 ⋅ cos(2πf 0 t + ϕ 0 ) (5)
X (t ) : Señal sinusoidal en función del tiempo, A0 : Amplitud de la señal sinusoidal.
ϕ
f 0 : Frecuencia de la señal sinusoidal, t : Tiempo, 0 : Fase de la señal sinusoidal.
Cualquier señal puede capturarse correctamente a una frecuencia de muestreo ( fm ) que corresponde al doble de
la frecuencia de Nyquist, si se capturan N muestras, de este modo, el espaciamiento en frecuencia de los
espectros de magnitud y fase esta dada por la ecuación (6)
E=
fm
(6)
N
Las frecuencias de los armónicos en el espectro están dadas por:
f (m) = m ⋅ E (7)
m = 0,1,..,3........, N
2
En el caso que la señal capturada posea una frecuencia fundamental que no es múltiplo entero del espaciamiento
de frecuencias E la amplitud del armónico tiende a distribuirse entre sus armónicos laterales. La figura 1 muestra
este fenómeno.
Figura 1: Redistribución del espectro de amplitud
La figura 1 muestra el espectro discreto en frecuencia de una señal sinusoidal de 60.9Hz cuya amplitud es 1, esta
frecuencia se encuentra entre las líneas espectrales m y m+1 de tal modo la mayor parte de su amplitud se
distribuye en estas dos líneas espectrales, el resto de la amplitud se distribuye en el resto de las líneas espectrales
laterales. La línea espectral de mayor magnitud generalmente es la más cercana y esta ubicada a una distancia δ .
Una posible solución es aumentar la longitud de la transformada, de tal modo, que el espaciamiento en frecuencia E
disminuya y de esta forma se reduzca el error en la estimación de la frecuencia, amplitud y fase, sin embargo, esta
solución implica aumentar el costo computacional y de memoria, de tal forma que no cualquier sistema es capaz de
asumir estos requerimientos, por lo tanto, es necesario encontrar un método que aproxime mejor los parámetros de
los armónicos a partir de la información suministrada por la FFT y sin aumentar en mucha proporcional el costo
computacional, diversos autores han propuesto diferentes métodos [2 ], [3 ], [4 ] y [5], en este artículo se propone
una técnica basada en interpolación.
La técnica consiste en calcular el factor δ de la figura 1 a partir de las amplitudes de las líneas espectrales m y
m ± 1 , estas son respectivamente la línea espectral de mayor magnitud X DFT (m) y la siguiente línea espectral
lateral aledaña de mayor magnitud X DFT (m ± 1) . La corrección se realiza de la siguiente manera.
α=
X DFT (m ± 1)
X DFT (m)
δ=
α
α +1
(8)
(9)
En el caso de que la línea espectral lateral aledaña de mayor magnitud corresponda al armónico ubicado en su lado
izquierdo se deben utilizar las siguientes expresiones para corregir la frecuencia y la fase.
(10)
(11)
Fc ( m ) = (m − 1 + δ ) ⋅ E
ϕ c ( m) = ϕ (m) − a ⋅ δ +
π
2
En el caso de que la línea espectral lateral aledaña de mayor magnitud corresponda al armónico ubicado en su lado
derecho se deben utilizar las siguientes expresiones.
(12)
Fc ( m ) = (m − 1 − δ ) ⋅ E
(13)
ϕ c (m) = ϕ (m) + a ⋅ δ + π 2
Fc (m) : Es la frecuencia corregida para cada armónico m
a = π ( N − 1)
N
ϕ (m) : Es la fase obtenida a partir de la FFT para cada armónico m
ϕ c (m) : Es la fase corregida para cada armónico m
Luego de obtener la frecuencia y la fase corregida, se debe utilizar la siguiente expresión para corregir la magnitud.
X DFT [m] =
(14)
N −1
X ( n)e
−2πn⋅ f c ( m )⋅ j
N
n=0
3. Resultados y simulación.
Con esta técnica es posible obtener de forma exacta los espectros de magnitud y fase, cuando la señal es
sinusoidal pura; la técnica empieza a presentar errores cuando la señal es analizada con pocas muestras y los
armónicos tienden a acercarse demasiado, de tal modo que estos tienden a confundirse mostrando resultados
erróneos.
A continuación se mostrará un análisis de lo que sucede cuando existen armónicos en la señal y que sucede
cuando estos se acercan; la señal analizada se puede ver en la ecuación (15).
S = sen(2πft + 1) + sen(2πft ⋅ q + 1)
(15)
S : Señal analizada, f : Frecuencia fundamental de la señal (60 Hz)
t : Tiempo, q : Es un número racional entre 0 y 1.
En este caso q establece la distancia en frecuencia entre los armónicos, ya que influye directamente en la
frecuencia de la señal, de tal manera, cuando q tiende a 0 los armónicos se alejan y no hay ningún problema pero
si q tiende a 1 los armónicos son bastante parecidos y se confunden, la separación entre armónicos esta dada por:
Sp = (1 − q ) ⋅ f
(16)
En las figuras 1, 2 y 3 se puede observar la variación que tiene la frecuencia, la amplitud y la fase del primer
armónico de la ecuación (15) cuando es utilizado el método propuesto en la sección anterior, en estas figuras, se
muestra el análisis de estas variables a medida que aumenta la separación entre las frecuencias de los armónicos
de dicha ecuación Sp , resultados similares pueden ser obtenidos con el análisis del segundo armónico. En este
caso la FFT fue realizada con 128 muestras y con una frecuencia de muestreo de 128 Hz, bajo estas condiciones el
espaciamiento entre frecuencias E es de 1 Hz/muestra
Figura 2: Cálculo de frecuencias en función de la separación entre armónicos Sp
Figura 3: Magnitud calculada en función de la separación entre armónicos Sp
Figura 4: Fase calculada en función de la separación entre armónicos Sp
En la figura 2, se puede ver que se presenta un fenómeno de amortiguamiento a medida que aumenta la separación
en frecuencia entre los armónicos a analizar Sp tendiendo a estabilizarse al valor verdadero a medida esta
separación se hace más grande, la frecuencia de la señal calculada sólo coincide con la frecuencia de la señal
verdadera cuando la frecuencia de los armónicos es un múltiplo entero del espaciamiento entre frecuencias E lo
que equivale a tener un factor de δ = 0 esto repercute en que toda la amplitud del armónico se distribuye en el
armónico verdadero y no hay error, los picos máximos de oscilación en el gráfico se presentan cuando el armónico
se encuentra en la mitad de dos múltiplos enteros de E lo que equivale a tener un factor máximo δ = E / 2 o lo
que es lo mismo el error es máximo, en este caso, el error en frecuencia es máximo (0.76 %) cuando la separación
es de 1.2 Hz, , cuando la separación entre los armónicos es de 6 Hz el error disminuye y se estabiliza a (0.033 %).
En la figura 3, cuando los armónicos son muy cercanos los dos armónicos tienden a formar uno solo, de tal forma
que se suman sus amplitudes, igualmente que en el caso anterior el error es cero cuando δ = 0 es cero y máximo
cuando δ = E / 2 , en este caso el error es máximo (58.64 %) cuando la separación entre armónicos es de 1.2 Hz
y tiende a disminuir y a estabilizarse a (0.74 %) cuando la separación entre los armónicos es mayor o igual a 6 Hz.
En la figura 4, se puede ver la fase calculada, presenta un error muy grande cuando la separación es de 1.2 Hz
(136%), sin embargo disminuye y se estabiliza (5.08 %) cuando la separación entre los armónicos es de 6 Hz.
3. Conclusiones.
Para poder obtener resultados mas acertados utilizando el algoritmo de la FFT sin utilizar ningún método de
optimización es necesario aumentar el número de muestras, sin embargo, bajo esta condición el costo
computacional puede llegar a ser muy alto, de este modo, es preferible utilizar algoritmos que la optimicen de tal
modo que el costo computacional no se incremente demasiado.
El algoritmo propuesto muestra excelentes resultados, de tal modo que, sólo detecta los armónicos presentes en la
señal, es obvio que al aumentar el numero de muestras la precisión obtenida es mucho mayor, sin embargo, el
algoritmo arroja buenos resultados aún disminuyendo considerablemente el número de muestras, el caso mostrado
el la sección de ensayos es un caso extremo (128 muestras), ya que, el prototipo desarrollado es capaz de procesar
señales de hasta 1024 muestras.
4. Referencias Bibliograficas
[1] Ambardar, Ashok., “Procesamiento de señales analógicas y digitales”, Thomson Internacional, edición 2, ISBN
970686038X, 2002
[2] Santamaría, Ignacio, “A comparative study of high-accuracy frecuency stimation methods”,DICOM, ETSII y
Telecomunication University of Cantabria, Adve, Los castros, 2000.
[3] Offelli, Carlo, “Interpolation Techniques for real-time multifrequency waveform analysis”, IEEE Transaction On
Instrumentation And Measurent, vol. 39, Nº 1, Febrary 1990.
[4] Thomas, Grandke, “ Interpolation Algorithms for Discrete Fourier Transforms of Weighted Siognals”, IEEE
Transaction On Instrumentation And Measurent, vol. IM-32, Nº 2, June 1983.
[5] Andria, Gregorio, “Windows and Interpolation Algorithms To Improve Electrical Measurement Accuracy”, IEEE
Transaction On Instrumentation And Measurent, vol. 38, Nº 4, August 1989.
[6] Villada, Fernando., “A Predictive Maintenance Program for Electrical Motors in a Sugar Mill”, International Sugar
Journal. Volume 103, No. 1230, London, June 2001.