CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I, donde I es la matriz unidad. a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A. (1,5 puntos) 1 1 + m b) Dada la matriz B = , hallar para qué valores de m se verifica que 1 − m 1 B2 = 2B + I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. (1,5 puntos) PR-2. a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral. (1 punto). b) Calcular una primitiva de la función x ln( 1 + x 2 ) . (1,5 puntos). c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta x = 1. (0,5 puntos) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO CUESTIONES C.1. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a, b, 1), (–b, –1, a) y (–a, b, a) estén sobre un mismo plano? (1 punto) C.2. Dados los planos π 1: 3x + 4y + 5z = 0, π 2: 2x + y + z = 0 y el punto A(–1, 2, 1), hallar el plano que pasa por el punto A y por la recta intersección de los planos π 1 y π 2. (1 punto). C.3. Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función: f ( x ) = ln 1 − cos x 1 + cos x (1 punto) C.4. Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman un cuadrado (1 punto). www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO SOLUCIONES: PROBLEMAS 1. a) A2 = 2A + I ⇒ A2 – 2A = I ⇒ A(A – 2I) = I. Luego, A–1 = A – 2I. 1 1+ m 1 (1 + m) 2 + 1 1+ m 2 b) B 2 = · = 1− m 1 1− m 2 (1 − m) 2 + 1 1 2 1 0 3 + 2m 2 2 + 2m B + 2 I = − = 2 - 2m 0 1 2 3 − 2m 2 (1 + m) 2 + 1 = 3 + 2m m 2 = 1 B2 = 2B + I ⇒ ⇒ ⇒ 2 2 (1 − m) + 1 = 3 − 2 m m = 1 m = ±1 0 1 0 1 2 0 − 2 1 • Para m = –1, B = ⇒ B −1 = B − 2 I = − = 1 2 1 2 0 2 1 0 • 2 1 2 1 2 0 0 1 Para m = 1, B = ⇒ B −1 = B − 2 I = − = 1 0 1 0 0 2 1 − 2 2. a) Teoría. Ver libro de texto. (Páginas 395 y 396 de Matemáticas 2, Vizmanos) b) Hacemos ∫ x ln(1 + x )dx por partes: 2 u = ln( 1 + x 2 ) ⇒ du = xdx = dv ⇒ v = 2x dx 1 + x2 x2 2 Luego, ∫ x2 x3 x2 x 2 x ln( 1 + x ) dx = ln( 1 + x ) − dx = ln( 1 + x 2 ) − x − dx = 2 2 1+ x 2 1+ x2 ∫ 2 = x2 x2 1 ln( 1 + x 2 ) − + ln( 1 + x 2 ) + c 2 2 2 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ∫ CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO c) La función f ( x ) = x ln( 1 + x 2 ) es no negativa en todo el intervalo [0, 1]: salvo en x = 0, es producto de dos números positivos. En consecuencia, 1 x2 x2 1 1 2 A = x ln( 1 + x )dx = ln( 1 + x ) − + ln( 1 + x 2 ) = ln 2 − 2 2 2 0 2 0 1 ∫ 2 CUESTIONES 1. a b 1 Están en el mismo plano si − b − 1 a = 0 −a b a Desarrollando el determinante se tiene que: − a 2 (1 + 2b) + b 2 (a − 1) − a = 0 2. Será el plano del haz 3x + 4y + 5z + m(2x + y + z) = 0 que pasa por el punto A(–1, 2, 1). Para ello, sustituyendo: –3 + 8 + 5 + m(–2 + 2 + 1) = 0 ⇒ m = –10. Se obtiene: 17x + 6y + 5z = 0 3. f ( x ) = ln f ´( x ) = 1 − cos x ⇒ f ( x ) = ln( 1 − cos x) − ln( 1 + cos x) 1 + cos x sen x − sen x (1 + cos x ) sen x + (1 − cos x) sen x 2 sen x 2 − = = = 2 2 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos x sen x sen x www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO 4. Consideramos la elipse x2 y 2 + = 1 , centrada en O = (0, 0). a2 b 2 Sean P = (–c, 0) y Q = (c, 0) los focos; y A = (0, b) y B = (0, –b) los extremos del eje menor. Si P, A, Q y B son los vértices de un cuadrado ⇒ AQ = a y c = b (OQ = OA). Por otra parte: a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 2c 2 ⇒ a = c 2 Por tanto, la excentricidad es: e= c c 1 = = a c 2 2 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM