02 - IES Los Pedroches

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2003-04.
EJERCICIO 3 - Parte 2 DE SELECTIVIDAD Jun’02 A
Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución
Normal con desviación típica 6 cm.
Se toma una muestra aleatoria de 225 individuos que da una media de 176 cm.
a) (1 punto) Obtenga un intervalo, con un 99 %, de confianza, para la media de la estatura de la población.
b) (1 punto) Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los
individuos de la población con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del 95 %.
a)
Sea X = estatura (para cada individuo de la población), y
sea X = media de la estatura en cada muestra.
La distribución de X es normal: IC  (x ± zα / 2 ·
σ
n
).
Datos: x  176 ; zα / 2  2,58 (calculado más abajo) ; σ  6 ; n  225 .
Cálculo del valor crítico:
Nivel de confianza: 0,99  1  α Y α  1  0,99  0,01
α
0,01
 0,9950 Y zα / 2  2,58.
Por definición: p (Z # zα / 2)  1   1 
2
2
σ
6
Por tanto: IC  (x ± zα / 2 ·
)  ( 176 ± 2,58 ·
)  (176 ± 1,032)  (174,968 ; 177,032) .
n
225
Conclusión:
Podemos decir que la estatura media en toda la población está comprendido entre 174,968 y 177,032 cm, con
un nivel de confianza del 99 %.
b)
Datos: ε  1 ; zα / 2  1,96 (calculado más abajo) ; σ  6 ; n  ?
Cálculo del valor crítico:
Nivel de confianza: 0,95  1  α Y α  1  0,95  0,05
α
0,05
Por definición: p (Z # zα / 2)  1   1 
 0,9750 Y zα / 2  1,96.
2
2
σ
6
Por tanto: ε  zα / 2 ·
Y 1  1,96 ·
Y n  1,96 · 6  11,76 Y 11,762  138,30 Y n  139 .
n
n
(El redondeo de n se hace siempre hacia el mayor entero superior).