MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION Resumen razón de cambio promedio La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón de cambio promedio en el intervalo (x, f(x)). Esta razón se puede determinar con el cociente de diferencias ∆ 𝑦 𝑦2 − 𝑦1 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) = = ∆ 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ℎ Razón de cambio promedio -aplicaciones Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio a) durante los 2 primeros segundos de la caída b) del segundo 1 al segundo 2? si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación f(t) = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en metros? 5.12 5.10 y 10.2 m/s 20 t 2 a) los primeros 2 segundos: y 5.12 5.11 15.3 m/s 2 1 t 2 b) del segundo 1 al 2: 2 2 Razón de cambio promedio -aplicaciones (1)Determinar la razón de cambio promedio de 𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1. • 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 • 𝑓 −2 = 9 • 𝑓 −1 = 8 • 9−8 −2−(−9) = -1 Razón de cambio promedio -aplicaciones (2) Determinar la ecuación de la recta secante a 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1. Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1 de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que y = mx + b y = -x + b Sustituimos uno de los puntos: 9 = -(-2) + b 9=2+b 9–2=b b=7 La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? • Hasta ahora hemos mirado razón de cambio promedio. • Para mirar la razón de cambio instantánea, calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la izquierda. Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? Razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la izquierda…: 𝑓(1.97) − 𝑓(1.95) = 0.02 24.96 𝑓(1.98) − 𝑓(1.97) = 24.6 0.01 𝑓(1.99) − 𝑓(1.98) = 24.36 0.01 𝑓(1.999) − 𝑓(1.99) = 24.132 0.009 𝑓(1.9999) − 𝑓(1.999) = 24.0132 0.0009 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? Calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la derecha. 𝑓(2.1) − 𝑓(2.15) = −0.05 𝑓(2.05) − 𝑓(2.1) = −0.05 21 22.22 𝑓(2.01) − 𝑓(2.05) = 23.28 −0.04 𝑓(2.001) − 𝑓(2.01) = 23.87 −0.009 𝑓(2.0001) − 𝑓(2.001) = 23.99 0.0009 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? La razón promedio en una vecindad pequeña alrededor de x=2 (por la izquierda y por la derecha) se acerca al mismo número. Por lo tanto, la razón de cambio instantáneo en x=2 es 24 metros/segundo. El Límite de la cociente de diferencias DEFINICION: La razón de cambio instantánea de f(x) en x es un límite. m lim h0 f x h f x . h La razón de cambio instantánea de f(x) es la pendiente de la recta tangente en (x, f(x)). Rectas tangentes DEFINICION: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto. L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva. Rectas tangentes Identifique las rectas tangentes en la figura. . Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea tangente es posible en cualquier punto dado. Rectas tangentes En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) m=0 m>0 m<0 m=0 m<0 En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. Calcular razón de cambio instantánea Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad de la piedra en t =2. 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 La velocidad es 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 La velocidad promedio en el intervalo es La velocidad instantánea en t = 2 es 𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡) ℎ lim h 0 5.1t h 5.1t 2 5.1t h 5.1t 2 2 h 2 h Como no se puede resolver el limite por sustitución por que no podemos dividir entre 0, hacemos una tabla con h = 0.05, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 para explorar el límite. 𝑚 Los valores tienden 20.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑠𝑒𝑔 Calcular razón de cambio instantánea Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =2. 2 2 5.1t h 5.1t 𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡) La velocidad promedio en el intervalo es ℎ 5.1t h 5.1t 2 lim La velocidad instantánea en t = 2 es Podemos también investigar el límite con métodos algebraicos: lim h 0 h 2 h h 0 5.1t 2 2th h 2 5.1t 2 h 5.1t 2 10.2th 5.1h 2 5.1t 2 hlim h 0 h 10.2t 5.1h hlim h 0 lim10.2t 5.1h 10.2t h 0 𝑚 10.2(2) = 20.4 , por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑠𝑒𝑔 El Límite de la cociente de diferencias Ejemplo 1: Para 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 1 hallar f x . Luego, hallar f 3 y f 4 . 2 + 1) + 1 − (3𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ 2 2 2 3(𝑥 + 2𝑥ℎ + ℎ + 1 − (3𝑥 + 1) ′ 𝑓 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ 3 𝑥+ℎ 2 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥 2 − 1 3𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ2 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ 2−1 3𝑥 + 1 − 3𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ El Límite de la cociente de diferencias Ejemplo 1: Para 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 1 hallar f x . Luego, hallar f 3 y 𝑓′ ℎ(6𝑥 + 3ℎ ) 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ 𝑥 = lim 6𝑥 + ℎ ℎ→0 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 𝑓 ′ −3 = 6 −3 = −18 𝑓 ′ 4 = 6 4 = 24 f 4 . El Límite de la cociente de diferencias DEFINICION: Para una función y = f (x), la pendiente de la recta tangente en un valor de x=a se conoce como la derivada de f(x) en x=a. Se denota f’(x) (f prima de x). f x h f x f x lim h0 h siempre y cuando el límite Si f’(x) existe, entonces se dice exista. que f es diferenciable en x=a. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a. La derivada de la función f en a se denota con el símbolo 𝑓´ 𝑎 que se lee “f prima de a” y=3 𝑓´ 4.5 = −32 porque la tangente en x = 4.5 tiene pendiente −32. y=1.2x+1.5 𝑓´ −2 = 0 y=-1.3x+13 y=-3/2x-24 y=-4 𝑓´ 2 = 1.2 𝑓´ 4 = 0 𝑓´ 6 = −1.3 Derivada -aplicaciones Determinar la pendiente de la recta tangente a 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3. Necesitamos la razón de cambio instantánea en x = 3. Necesitamos el lim h 0 4 ( x h) 4 x h Simplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada. ¿De qué otra forma podemos investigar el límite? Derivada -aplicaciones Determinar la pendiente de la recta tangente a 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3. 4 ( x h) 4 x lim h h0 Utilicemos una tabla con h, la distancia de x = 3 aproximando a 0: h 0.5 0.1 f(x) -0.5859 -0.5132 4 (3 0.5) 4 3 0.5 lim h 0 0.01 0.001 -0.5013 -0.5001 0.0001 -0.50001 4 (3 0.1) 4 3 0.1 4 ( x h) 4 x 0.5 h 4 (3 0.1) 4 3 0.1 Derivada -aplicaciones ¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0? Solución: Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si la derivada existe en el punto. f x h f x f x lim h0 h lim xh x h h 0 h -0.5 -0.1 -0.01 f(x) -1 -1 lim h 0 -1 xh x h -0.001 -0.0001 -1 1 -1 h 0.5 0.1 0.01 f(x) 1 1 lim h 0 0.001 0.0001 1 xh x h 1 1 1 Derivada -aplicaciones ¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0? lim h 0 xh x h 1 lim h 0 xh x h 1 Solución: (continuación) Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si la derivada existe en el punto. lim xh x h No existe ya que los límites por la izquierda h 0 y por la derecha son diferentes. Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.