Tema 4: Fenómenos de transporte de carga

Electrónica de dispositivos
Dr. C. Reig 05/06
Tema 4: Fenómenos de transporte de carga
Cap. 2: Sze, Cap. 4: K. Kano
+ Arrastre de portadores
• movilidad
• resistividad
• efecto Hall
+ Difusión de portadores
movimiento de
las cargas
densidades
de corriente
• Proceso de difusión
• Relación de Einstein
+ Inyección de portadores
+ Generación-recombinación
de portadores
= ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
¡ desequilibrio !
estado
estacionario
= descripción global
> Aplicaciones
• Inyección lateral en estado estacionario
• Experimento de Haynes-Shockley
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Movilidad
En un cristal semiconductor, sin fuerzas externas, los portadores de carga se mueven, como
partículas cuasi-libres, considerando su masa efectiva. Así:
1 ∗ 2
1
m v th = 3 ⋅ kT
2
2
El movimiento aleatorio
provoca que el desplazamiento
neto sea nulo
m*: masa efectiva
vth: velocidad térmica media (~107 cm/s)
τc: tiempo libre medio (~10-12 s)
vth τc:recorrido libre medio (~10-5 s)
Si aplicamos un campo eléctrico ...
los electrones:
⎛ qτ ⎞
− q Eτ c = m n ⋅ v n ⇒ v n = −⎜⎜ c ⎟⎟ E
⎝ mn ⎠
vn: velocidad de arrastre de los electrones
v n = − µ n E siendo µ n =
los huecos:
[µ ] = cm
2
V⋅s
µn: movilidad de
los electrones
vp: velocidad de arrastre de los huecos
v p = µ p E siendo µ p =
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qτ c
mn
qτ c
mp
µp: movilidad de
los huecos
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Resistividad
Consideremos un semiconductor tipo n homogéneo en el seno de un campo eléctrico E:
− q E = −∇E p → −q E = −
dE i
1 dE
→E= ⋅ i
dx
q dx
El potencial electrostático se define
E≡−
dψ
E
→ψ = i
dx
q
Corrientes de arrastre:
para los electrones:
n
In
J n = = ∑ (− q v i ) = −q n v n = q n µ n E
A i =0
para los huecos:
Jp = q pv p = q p µp E
¡mismo
sentido!
J = J n + J p = (q n µ n + q p µ p )E
Conductividad:
σ = σ n + σ p = q n µn + q p µ p
Resistividad:
tipo n
1
ρ≡ =
→ ρ= 1
σ q n µn + q p µ p
q p µp
1
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tipo p
1
ρ=
q p µp
Resistencia
R=ρ
L
A
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Ejemplo
Una muestra de silicio a 300K con L=2.5cm y A=2mm2 se dopa con 1017cm-3 de fósforo y
9×1016cm-3 de boro. Calcule:
a) Las conductividades de la muestra debidas a huecos y electrones
b) La resistencia de la muestra
a) Las conductividades son: σ n = q n µ n y
Para calcular n y p:
p + ND = n + N A
σ p = q p µp
y
p ⋅ n = ni2
Si resolvemos ambas ecuaciones:
n = 1016 cm −3 y p = 10 4 cm −3
La densidad total de dopantes será: N=NA+ND=1.9×1017cm-3. Si leemos en la gráfica:
µ n ≅ 700 cm2 Vs y µ p ≅ 200 cm2 Vs
Con lo cual:
σ n = (1.6 × 10 −19 )(700 )(1016 ) = 1.12(Ohm ⋅ cm)
−1
σ p = (1.6 × 10 −19 )(200 )(10 4 ) = 3.12 × 10 −13 (Ohm ⋅ cm)
−1
b) La resistividad y la resistencia de la de la muestra serán:
ρ≡
1
σ
=
(2.5) = 134Ohm
1
1
L
≅
= 0.893(Ohm ⋅ cm) ⇒ R = ρ = (0.893 )
(0.02)
A
σ n + σ p (1.12)
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El efecto Hall
Sea un semiconductor tipo p : F = q (v × B ) q Ey = q v x Bz → Ey = v x Bz
⎛J ⎞
1
Ey = ⎜⎜ p ⎟⎟ Bz = RH J p Bz ; con RH ≡
qp
⎝q p⎠
RH: coeficiente de Hall
Para un semiconductor tipo n:
RH ≡ −
1
qn
Conocidos I, B, W, VH y A:
p=
J B
(I A )Bz = I Bz W
1
= p z =
q RH
q Ey
q (VH W ) q VH A
Ejemplo
Una muestra de silicio es dopada con 1016cm-3 átomos de P. Encuentre la tensión de Hall en
una muestra con W=500µm, A=2.5×10-3cm2, I=1mA, Bz=10-4Wb/cm2.
1
1
=
= −625cm3 s −1
El coeficiente de Hall será: RH = −
−19
16
q n (1.6 × 10 )(10 )
con lo que la tensión de Hall será:
⎡
(
I
10 − 3 )
⎡
⎤
−4 ⎤
(
⋅
VH = E yW = ⎢RH Bz ⎥ W = ⎢(− 625 ) ⋅
10
500 × 10 − 4 ) = −1.25mV
⎥
−3
(2.5 × 10 )
A ⎦
⎣
⎣
⎦
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Difusión
Difusión: proceso que consiste en el movimiento
de portadores desde regiones de alta
concentración a regiones con baja concentración
Su descripción matemática es:
F = −D
F:
P:
D:
dP
dx
x = x1
flujo
concentración
constante de difusión, difusividad
La corriente de difusión de huecos tendrá el mismo sentido que el flujo de huecos. La corriente
de difusión de electrones, sentido contrario (J=q·F).
Corriente de difusión de electrones Corriente de difusión de huecos Relación de Einstein
kT
dn
dp
D=
⋅µ
J n = q Dn
J p = −q Dp
q
dx
dx
Corriente total (suma de corrientes de arrastre y difusión)
Corriente total de electrones
dn
J n = q µ n n E + q Dn
dx
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Corriente total de huecos
dp
J p = q µ p p E − q Dp
dx
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Generación-Recombinación. Inyección de portadores
Exceso de portadores
n ⋅ p > ni2
⇒
n ⋅ p = ni2
X
Generación (G) es el proceso por el que se
crean nuevos portadores, electrones y huecos
Recombinación (R) es es el proceso inverso,
por el cual un electrón y un hueco desaparecen
simultáneamente
(a) situación de equilibrio
(b) bajo nivel de inyección
(c) alto nivel de inyección
Expresiones analíticas:
Variación neta de portadores minoritarios:
Tipo n
p − pn 0
∂p
= Gp − n
∂t
τp
Tipo p
n − np0
∂n
= Gn − p
∂t
τn
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Mecanismos de inyección de portadores:
• Inyección directa (unión polarizada)
• Excitación óptica
Nivel de inyección:
Es la magnitud relativa de la
concentración de portadores en exceso
respecto de la concentración de
portadores mayoritarios
Se considerarán siempre bajos niveles de
inyección
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Ecuación de continuidad
Consideremos los electrones:
∂n
⎡ J ( x ) A J n ( x + dx ) A ⎤
A dx = ⎢ n
−
⎥ + (Gn − Rn ) A dx
(
)
q
(
)
q
∂t
−
−
⎣
⎦
tomando el desarrollo en serie
J n ( x + dx ) = J n ( x ) + dx ⋅
Se obtiene:
∂J n
+ ⋅⋅⋅
∂x
∂n 1 ∂J n ( x )
= ⋅
+ (Gn − Rn )
∂t q
∂x
Si sustituimos las expresiones de las corrientes:
∂n p
∂n p
∂ 2np
n p − n po
∂ε
= np ⋅ µn ⋅
+ µn ⋅ ε ⋅
+ Dn ⋅
+
G
−
n
τn
∂t
∂x
∂x
∂x 2
Para un semiconductor tipo n:
pn − pno
∂ 2 pn
∂pn
∂ε
∂pn
+
G
−
+ Dp ⋅
− µp ⋅ ε ⋅
= ( − )pn ⋅ µ p ⋅
p
τp
∂x 2
∂x
∂x
∂t
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Ejemplo: inyección lateral en estado estacionario
Sea un semiconductor de tipo n
En estado estacionario:
∂pn
∂ 2 pn pn − pno
= 0 = Dp ⋅
−
∂t
∂x 2
τp
Las condiciones de contorno serán:
pn ( x → ∞ ) = pno
pn ( x = 0) = pn (0)
La solución de la ecuación diferencial será:
pn ( x ) = pno + [pn (0) − pno ] ⋅ e
− x / Lp
con Lp = Dp ⋅ τ p
Si la región semiconductora es finita:
⎡ sinh([W − x ] Lp )⎤
pn ( x ) = pno + [pn (0) − pno ] ⋅ ⎢
⎥
⎣ sinh(W / Lp ) ⎦
La corriente a la salida será:
J p = −q ⋅ Dp ⋅
∂pn
∂x
= q ⋅ [pn (0) − pno ] ⋅
x =W
Dp
1
⋅
Lp sinh W
Lp
Experimento de Haynes-Shockley ⇒ http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education/semicon/diffusion/diffusion.html
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Hoja de datos 3.1
Corriente de electrones
Corriente huecos
dn
dp
J n = q µ n n E + q Dn
J p = q µ p p E − q Dp
dx
dx
Ecuación de continuidad (huecos)
Efecto Hall
Relación de
Einstein
D=
kT
⋅µ
q
IB W
1
= z
q RH q VH A
IB W
1
n=−
=− z
q RH
q VH A
p=
pn − pno
∂ 2 pn
∂pn
∂ε
∂pn
+
G
−
+ Dp ⋅
− µp ⋅ ε ⋅
= ( −)pn ⋅ µ p ⋅
p
τp
∂x 2
∂x
∂x
∂t
Ecuación de continuidad (electrones)
∂n p
∂n p
∂ 2np
n p − n po
∂ε
= np ⋅ µn ⋅
+ µn ⋅ ε ⋅
+ Dn ⋅
+
G
−
n
∂t
∂x
∂x
∂x 2
τn
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Tema 5: La unión p-n
K. Kano (§ 5.1 y 5.2), Sze (§ 3.1 y 3.2), Streetman (§ 5.2)
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Formación de la región espacial de carga
Barrera de potencial y bandas de energía
Corrientes de arrastre y difusión
Electrostática de la región espacial de carga
Constancia del nivel de Fermi
Potencial de contacto en términos del nivel de Fermi
Potencial de contacto en términos de las densidades de dopado
Campo eléctrico y potencial en la región espacial de carga
Anchura de la región espacial de carga
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