cuadernillo estadística 04-05

Universidad de Alcalá
Departamento de Ecología
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS
EN ECOLOGÍA
Prácticas de Ecología
Licenciaturas de Biología y Ciencias Ambientales
Curso 2004-2005
1
1. INTRODUCCIÓN
4
1.1. Distribuciones de datos
4
1.2. Pruebas de contraste de hipótesis
6
2. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST DE LA χ 2
7
2.1. Requisitos e hipótesis de trabajo
7
2.2. Procedimiento de cálculo
7
2.3. Contraste de hipótesis
9
2.4. Caso práctico
9
3. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS
10
3.1. Selección del test
10
3.2. Test paramétrico: t de Student
3.2.1. Requisitos
3.2.2. Hipótesis
3.2.3. Procedimiento de cálculo
3.2.4. Caso Práctico
10
10
11
11
11
3.3. Test no paramétrico: U de Mann-Whitney
3.3.1. Requis itos
3.3.2. Hipótesis
3.3.3. Procedimiento de cálculo
3.3.4. Caso práctico
12
12
12
12
13
4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS
13
4.1. Selección del test
14
4.2. Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA)
4.2.1. Requisitos
4.2.2. Hipótesis
4.2.3. Procedimiento de cálculo
4.2.4. Caso Práctico
14
14
14
14
15
4.3. Test no paramétrico: Kruskal-Wallis
4.3.1. Requisitos
4.3.2. Hipótesis
4.3.3. Procedimiento de cálculo
4.3.4. Caso práctico:
16
16
16
16
17
2
5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: ÍNDICES DE
CORRELACIÓN
18
5.1. Rangos de variación de los coeficientes
18
5.2. Hipótesis
18
5.3. Selección del test
19
5.4. Correlación paramétrica: r de Pearson
5.4.1. Procedimiento de cálculo
5.4.2. Caso práctico
19
19
19
5.5. Correlación no paramétrica: r de Spearman
5.5.1. Procedimiento de cálculo
5.5.2. Caso práctico
20
20
20
6. TABLAS ESTADÍSTICAS
22
6.1. Tabla de valores críticos del estadístico χ2
22
6.2. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student
23
6.3. Tabla de valores críticos de l estadístico U de Mann Whitney
24
6.4. Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor
28
6.5. Tabla de valores críticos de l estadístico H de Kruskal-Wallis
29
6.6. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r)
30
6.7. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (r s)
31
3
1. INTRODUCCIÓN
La estadística es una disciplina que proporciona a la Ecología las herramientas
necesarias para el análisis de los datos. Dado que no podemos hacer estudios en toda la
población (no es posible contar todos los ácaros que hay en un suelo, ni es posible medir el
área foliar de todas las hojas de los árboles de un bosque, ni medir la longitud del cuerpo de
todas las carpas que tiene un lago), la estadística nos permite cuantificar la probabilidad de
cometer error al extrapolar los resultados obtenidos de una serie de muestras al conjunto de la
población. Por tanto, la estadística permite cuantificar el error que cometemos al aceptar
nuestros resultados obtenidos a partir de muestras (“encuestas”) de una población
generalmente muy extensa.
Hay dos tipos de estadística, la estadística descriptiva, que reúne un conjunto de
técnicas que facilitan la organización, resumen y comunicación de datos; y la estadística
inferencial, que permite hacer pruebas de contraste de hipótesis.
1.1. Distribuciones de datos
Cuando tenemos una colección de datos como resultado de un trabajo científico que
hemos realizado, es importante conocer el tipo de distribución que siguen esos datos para
poder decidir posteriormente qué herramientas estadísticas son más adecuadas para el análisis
de los mismos.
Frecuencia
Los histogramas de frecuencias son una herramienta de representación de datos que
nos permiten observar cómo se distribuyen los mismos. Están formados por rectángulos
adyacentes que tienen por base cada uno de los intervalos de la variable medida y por altura
las frecuencias absolutas (nº de veces que aparecen datos dentro de ese intervalo). La
superficie de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia de cada una de las clases y el
área total lo será al número de individuos en la muestra. El número de intervalos a utilizar (k)
se puede calcular según la regla de Sturges (1926): K = 1 + 3.322 * log (n), donde n es el
tamaño de muestra.
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
3,3*
3,4*
3,5*
3,6*
3,7*
3,8*
3,9*
4,0*
4,1*
4,2*
4,3*
4,4*
4,5*
Longitud del ala (cm)
Figura 1: Representación gráfica de la distribución de frecuencias de la variable longitud del ala en una
población de aves
Asimismo, para conocer mejor cómo se distribuyen unos datos es importante conocer
cuál es valor central de los mismos así como el grado de dispersión de los datos alrededor de
ese valor central. Para ello existen una serie de parámetros que informan acerca de estas
características de las distribuciones de datos.
4
Medidas de tendencia central: indican alrededor de qué valores se agrupan los datos
observados. Distinguimos:
1. Media aritmética: es el centro de gravedad de la serie de datos y se calcula como ∑xi/n.
µ- media de la población
x- media de la muestra.
2. Mediana: es el punto medio de una serie ordenada de datos
3. Moda: es el valor más frecuente de la serie de datos.
Figura 2. Representación de la media (mean), mediana y moda en cuatro distribuciones.
Medidas de dispersión: indican si los valores de la variable están muy dispersos o se
concentran alrededor de la medida de centralización. Son:
- Rango. Diferencia entre el valor máximo y el mínimo observado.
Rango: xmax-xmin
- Varianza. Expresa la dispersión de valores entorno a la media
σ - varianza de la población
2
2
s -varianza de la muestra
σ
2
2
s
( xi − x )2
∑
=
n
( xi − x) 2
∑
=
n −1
- Desviación estándar. Es la raíz cuadrada de la varianza
σ - desviación estándar de la población
s - desviación estándar de la muestra
De entre todas las distribuciones posibles que puedan seguir unos datos, la distribución
normal es la más interesante desde el punto de vista estadístico, pues reúne unas propiedades
que han hecho posible que a partir de ella se desarrollaran numerosos métodos de análisis de
datos. En ella, los valores cercanos a la media son los más abundantes y a medida que nos
alejamos de la media, los datos
presentan una frecuencia cada vez
menor. Por este motivo, el
histograma de frecuencias adopta
una forma de campana de Gauss:
5
La distribución normal posee una serie de características:
- Corresponde a variables cuantitativas continuas.
- Se caracteriza por dos medidas: media y desviación típica.
- Es unimodal.
- Es simétrica alrededor de la media. Por tanto, media, mediana y moda coinciden.
- Tiene forma acampanada, sin un pico excesivo.
- El área bajo la curva = 1.
El 50% de las observaciones se encuentran por debajo de la media y el 50% por
encima.
El 68% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ± s
El 95% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ± 1,96 s
El 99% de las observaciones se encuentra dentro del intervalo x ± 2,57 s.
1.2. Pruebas de contraste de hipótesis
Debido a esta propiedad de poder conocer la probabilidad de que un valor determinado
forme parte de la distribución normal, se han desarrollado numerosos tests estadísticos que
permiten realizar pruebas de contraste de hipótesis a partir de la distribución normal, son las
pruebas paramétricas. Sin embargo, no siempre los datos que obtenemos en un trabajo
científico se ajustan a la distribución normal, por lo que para hacer pruebas de contraste de
hipótesis necesitaremos recurrir a la estadística no paramétrica.
La aplicación del método científico no nos permite demostrar la veracidad de una
hipótesis sino su falsedad, es decir, que las hipótesis ecológicas (Hecol) que proponemos se dan
por válidas siempre y cuando no se demuestre que son falsas. En las pruebas de contraste de
hipótesis, las diferentes pruebas estadísticas utilizan la llamada hipótesis nula (H0 ) para
verificar la validez de las hipótesis ecológicas. La hipótesis nula siempre presupone que la
distribución de los datos es al azar, es decir, que no existen diferencias entre los grupos o
asociación entre las variables debidas a factores ecológicos. Dicho de otra forma, la H0 es la
negación de la hipótesis ecológica. Por tanto, cuando realizamos cualquier test estadístico de
contraste de hipótesis, nuestro objetivo será rechazar la H0 , lo que nos permite seguir dando
por válida la hipótesis ecológica.
El grado de significación estadística (p) es el parámetro que cuantifica el error que se
estamos cometiendo al aceptar nuestros resultados. Concretamente, lo que indica es la
probabilidad de que rechacemos la H0 siendo cierta. Cuanto más pequeño sea el valor de ‘p’
menor será la probabilidad de que H0 sea cierta, y por tanto mayor es la probabilidad de que
Hecol sea la correcta. Para tomar una decisión respecto a cuál sea la hipótesis ‘verdadera’, el
investigador fija el nivel máximo de error que se permite al aceptar Hecol (a). En general, se ha
fijado por convenio el umbral de p=0.05 como válido, es decir, nos permitimos un error
máximo del 5% en nuestra afirmación de la hipótesis ecológica. En cualquier caso, conviene
señalar que lo más importante es dar a conocer el error de nuestros resultados.
En función del número de variables implicadas en un análisis estadístico, distinguimos
tres tipos de métodos de análisis de datos:
Métodos monovariantes: Se han registrado los valores de una sola variable, o de dos
variables pero al menos una de ellas es cualitativa
Métodos bivariantes: Se han registrado los valores de dos variables cuantitativas
Métodos multivariantes: Se han registrado los valores de tres o más variables
En el siguiente cuadro se muestran de forma resumida las diferentes pruebas
estadísticas que la estadística paramétrica y la no paramétrica proporcionan a los
6
investigadores para realizar las pruebas de contraste de hipótesis necesarias en los trabajos
científicos:
Variable 1
Variable 2
Cualitativa
Cualitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Métodos paramétricos
t de Student
t de Student para datos
pareados
Análisis de la Varianza
Cuantitativa Cuantitativa Coeficiente de Correlación de
Pearson
Métodos no paramétricos
Test de la χ2 (tablas de
contingencia)
U de Mann-Whitney
Prueba de los rangos de Wilcoxon
Prueba de Kruskal-Wallis
Coeficiente de Correlación de
Spearman
2. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST
DE LA χ 2
El test de la χ2 se utiliza para analizar la asociación entre dos variables cualitativas
(por ejemplo, la presencia de una especie con el tipo de suelo, o la presencia de individuos en
estado de flor con una época del año, etc...). Lo que hace el test es comparar la distribución de
frecuencias observadas de la asociación entre las variables con la distribución de frecuencias
esperadas en caso de que no existiera asociación (es decir, si las dos variables cualitativas no
están asociadas sino que se distribuyen al azar). Para analizar la asociación entre las variables
cualitativas multiestado se utilizan las tablas de contingencia. A nivel general, este test sirve
para comparar frecuencias, por lo que puede utilizarse para verificar si una colección de datos
se distribuye de acuerdo a algún tipo de distribución específica.
2.1. Requisitos e hipótesis de trabajo
La aplicación de este test requiere que las muestras estén tomadas al azar y que las
frecuencias esperadas sean superiores a 5. Como se trata de un test que relaciona variables
cualitativas, no hay ningún requisito acerca de la distribución de las variables.
Las hipótesis de trabajo serán del tipo:
Hecol: Existe relación entre las variables
H0 :
Las dos variables son independientes (no hay asociación entre ellas)
2.2. Procedimiento de cálculo
Supongamos, por ejemplo, que queremos saber si existe asociación entre la presencia
de la especie A (un invertebrado acuático) y el tramo del río (alto, medio y bajo) para el caso
del río Henares. Para ello hemos hecho un muestreo a lo largo del río y en cada tramo hemos
registrado la presencia (+) o ausencia (-) de la especie en 15 muestras de agua tomadas al
azar. Los resultados obtenidos son:
7
Tramo Alto
Tramo Medio
Tramo Bajo
+
-
-
+
-
+
+
-
-
-
+
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
-
-
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
A partir de estos datos construiríamos una tabla de contingencia con los datos
observados en campo de la siguiente manera:
Tramo del río
Especie A
Alto
Medio
Bajo
+
13
2
1
-
2
13
14
2
A continuación se calcula el estadístico χ cal
siguiendo la siguiente fórmula:
o = frecuencias observadas en el inventario
e = frecuencia esperada de una celda, suponiendo que
no hubiese asociación
χ
2
(α ,gl .)
=∑
(o − e)
e
2
e=
ct * f t
N
ct = total de la columna donde está la celda
f t = total de la fila donde está la celda
N = nº total de casos
gl. (grados de libertad) = (nº columnas-1)*(nº filas-1)
2
En nuestro ejemplo, el cálculo del estadístico χ cal
se haría de esta forma:
8
*
Tramo del río
Especie A
Alto
Medio
Bajo
Total
+
13 (5.3)
2 (5.3)
1 (5.3)
16
-
2 (9.7)
13 (9.7)
14 (9.7)
29
15
15
15
45
Total
* Entre paréntesis aparecen las frecuencias esperadas calculadas
Caso especial: En las tablas de contingencia de 2x2, como la de la figura:
Variable 1
Variable 2
A
B
Total filas
+
(a)
(b)
(a+b)
+
(c)
(d)
(c+d)
Total columnas
(a+c)
(b+d) (a+b+c+d)
2
el estadístico χ cal
se puede calcular también de esta forma :
Si N ≥ 30
χ
2
cal
Si N < 30 (Corrección de Yates)
(a * d − b * c ) 2 * N
=
( a + b) * ( c + d ) * ( a + c) * (b + d )
2
χ cal
=
N * (| a * d − b * c | − N / 2) 2
(a + b) * (c + d ) * ( a + c ) * (b + d )
2.3. Contraste de hipótesis
2
2
Se compara el valor obtenido de χ cal
con el valor χ crit
correspondiente al número de
grados de libertad apropiados y al valor de α previamente seleccionado (normalmente,
α=0.05 ó 0.01):
2
Si χ c2a l ≥ χ crit
, se rechaza la H0 (hay asociación entre las variables)
2
2
Si χ cal
< χ crit
, se acepta la H0 (no hay asociación entre las variables)
2.4. Caso práctico
Continuamos con el ejemplo que hemos empezado antes, en el que queremos estudiar si existe
asociación entre la presencia de la especie A y el tramo del río Henares donde esta especie vive.
Recordemos que, en nuestro caso:
Hecol: Existe relación entre la presencia de la especie A y el tramo del río
H0 : La presencia de la especie A es independiente del tramo del río
A partir de la tabla de contingencia elaborada en el apartado 2.2, calculamos el estadístico
2
χ cal
de la
siguiente forma:
(13 − 5, 3)
2
χ cal =
5.3
2
+
(2 − 5,3) 2 (1 − 5, 3) 2 (2 − 9, 7) 2 (13 − 9,7 ) 2 (14 − 9,7) 2
5.3
+
5 .3
+
9. 7
+
9 .7
+
9.7
= 23 .8
9
?2 crít (2 g.l., a=0.05) = 5.99è ?2 cal > ?2
preferentemente en los tramos altos del río.
crít
èSe rechaza H0 ; por tanto, concluimos que la especie A aparece
3. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS
Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de dos
grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben al
azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando. Relacionan
una variable cualitativa de dos casos (variable independiente) con otra cuantitativa (variable
dependiente). Los dos estados de la variable cualitativa son los que designan los grupos. Si
quisiéramos estudiar, por ejemplo, si existen diferencias en el potencial hídrico de las encinas
entre el día y la noche, y hubiéramos tomado muestras de potencial hídrico en encinas de día
y otras muestras en encinas por la noche, para analizar los datos utilizaríamos un test de este
tipo. En ese caso, la variable cualitativa es la hora del día, que es la variable independiente
que define los dos grupos de datos; y el potencial hídrico sería la variable dependiente y
cuantitativa.
3.1. Selección del test
Para seleccionar el test apropiado para analizar nuestros datos, una vez realizado el
muestreo se construye un diagrama de frecuencias (o se realiza un test estadístico si se
dispone de software apropiado) para comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en
cada uno de los dos grupos. Asimismo, se realiza el test de la F de Snedecor* para comprobar
la homogeneidad de las varianzas entre los dos grupos.
* Prueba de comprobación de varianzas iguales: F de Snedecor
2
Se calculan las varianzas de cada una de las dos muestras: s1 y
Se calcula el estadístico Fcal a partir de la siguiente fórmula:
Fcal =
s 22
2
s mayor
2
s menor
grados libertad: n 1 -1, n 2 -1 (n 1 tamaño de la muestra de varianza mayor)
Ho : varianzas iguales. Si Fcal ≥Fcrít (La Fcrít se busca en las tablas, ver sección dedicada al ANOVA ), se
rechaza la Ho , es decir, se concluye que las varianzas no son iguales.
Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las
varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: t de Student
En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: U de Mann-Whitney
3.2. Test paramétrico: t de Student
Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de
una determinada variable cuantitativa en dos grupos de datos.
3.2.1. Requisitos
• Datos distribuidos según una distribución normal en cada grupo
• Las varianzas de las dos muestras han de ser iguales
• Muestras independientes y tomadas al azar
10
3.2.2. Hipótesis
a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los dos
grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis
nula establece que no existen diferencias entre dichas medias.
Hecol: µ1 ? µ2
H0 :
µ1 = µ2
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos
considerados, presuponiendo que una de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis
nula establece que no existen diferencias entre dichas medias, o que las diferencias van en
sentido contrario a como han sido expresadas en la hipótesis ecológica.
Hecol: µ1 > µ2 ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2
Hecol: µ1 < µ2 ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2
3.2.3. Procedimiento de cálculo
Se calcula el estadístico t cal a partir de la siguiente fórmula:
tcal =
x1 − x 2
1
1
Sc
+
n1 n 2
donde:
Sc =
n1 s12 + n2 s 22
n1 + n 2 − 2
n1 y n2 = tamaños de las muestras 1 y 2 respectivamente
x 1 y x 2 = medias de las muestras 1 y 2 respectivamente
s12 y s 22 = varianzas de las muestras 1 y 2 respectivamente
A continuación se mide la significación del estadístico t cal , comparando ese valor con
el valor de un estadístico t crit que se obtiene mirando las tablas correspondientes. Para
identificar el t crit que nos corresponde hemos de fijarnos en el número de colas que tiene
nuestra hipótesis (una cola: one-tailed; dos colas: two-tailed), en el nivel de significación (a)
con el que pretendemos rechazar la hipótesis nula (normalmente a = 0.05 ó 0.01); y en los
grados de libertad del test (n1 + n2 - 2).
- Si t cal≥ t crit (a=0.05 o inferior) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (las medias son
diferentes)
- Si t cal< t crit (a=0.05) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medias son iguales)
3.2.4. Caso Práctico
Queremos saber si la humedad del suelo en un determinado lugar varía en función de la cubierta vegetal
del mismo (tomillar o suelo desnudo), pues suponemos que la cubierta vegetal contribuye a aumentar la
humedad del suelo por disminución de la evaporación. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha
medido la humedad de suelo (en % del volumen) en seis muestras distribuidas al azar bajo tomillares y en 8
muestras también distribuidas al azar en la misma zona, pero en condiciones de suelo desnudo.
Variables:
- Cobertura de suelo (cualitativa, independiente)
- Humedad del suelo (cuantitativa, dependiente)
Hipótesis ecológica: Hecol: la humedad de suelo es mayor bajo el tomillar: µtomillar >µsuelo desnudo
Se trata, por tanto, de un test de una cola.
11
Hipótesis nula: H0 : µtomillar ≤ µsuelo desnudo
Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos:
Cobertura
Humedad de suelo (%)
n
Media
s2
tomillar
suelo desnudo
73.0 74.2 75.0 75.3 75.5 75.8
71.0 71.5 72.0 72.4 73.5 74.0 74.3 75.2
6
8
74.8
72.9
1.04
2.20
• Cálculo del estadístico tcal :
tcal =
74.8 − 72.9
= 2. 36
1 1
1.42
+
6 8
• Comprobación de la significación del estadístico tcal :
tcal = 2.36 > t crít (a=0.05, 12 gl, una cola) = 1.782
Por tanto, se rechaza la H0 , y se acepta la Hecol, es decir, se concluye que existen diferencias
significativas en la humedad del suelo en función de la cobertura vegetal, siendo mayor en condiciones de
cubierta vegetal de tomillar que en condiciones de suelo desnudo.
3.3. Test no paramétrico: U de Mann-Whitney
Compara las diferencias entre dos medianas, por lo que se basa en rangos en lugar de
en los parámetros de la muestra (media, varianza). Se emplea cuando los datos no siguen la
distribución normal, en lugar del test de la t de Student (paramétrico).
3.3.1. Requisitos
• Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad
de varianzas, o variable semicuantitativa.
• Muestras independientes y al azar.
3.3.2. Hipótesis
a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (M) de los
dos grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medianas es mayor que la otra. La
hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas.
Hecol: M1 ? M 2
H0 :
M1 = M2
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas de los
grupos considerados, presuponiendo que una de las dos medianas es mayor que la otra. La
hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas, o que las
diferencias son en sentido contrario a lo expresado en la hipótesis ecológica.
Hecol: Μ 1 > M2 ⇒ H0 : Μ 1 ≤ M2
Hecol: Μ 1 < M2 ⇒ H0 : Μ 1 ≥ M2
3.3.3. Procedimiento de cálculo
• Asignación de rangos a cada dato. Para ello se ordenan todos los datos (juntando los
dos grupos) en orden creciente. El rango de cada dato será el número de orden que le
12
corresponde a cada dato. Cuando se repita el mismo valor numérico, el rango que se asigna a
esos datos es la media aritmética de los rangos que les corresponderían en función del número
de orden que ocupan.
• Se suman los rangos de cada uno de los inventarios (grupos) y se calcula la suma de
los rangos de los datos de cada uno de los grupos (R1 y R2 )
• Se calculan los estadísticos U1 y U2 a partir de las siguientes fórmulas:
U 1 = n1 ⋅ n 2 +
n 2 (n 2 + 1)
− R2
2
U 2 = n1 ⋅ n2 +
n1 ( n1 + 1)
− R1
2
• Se obtiene el estadístico Ucal escogiendo el valor más grande entre U1 y U2 .
• Se comprueba la significación estadística del estadístico Ucal comparando este valor
con el valor de un estadístico Ucrít obtenido a partir de las tablas correspondientes.
Si Ucal ≥ Ucrít (a=0.05 o inferior) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (las medianas son
diferentes)
Si Ucal < Ucrít (a=0.05) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medianas son iguales)
3.3.4. Caso práctico
Se quiere estudiar si el número de especies de ácaros edáficos se ve influido por un incendio de baja
intensidad. Para ello se simuló un incendio de baja intensidad en una parcela de un territorio homogéneo, y se
tomaron 6 muestras al azar de la zona incendiada y 7 muestras también al azar de la zona no incendiada,
contándose el número de especies de ácaros edáficos en cada muestra.
Variable dependiente: número de especies de ácaros edáficos (cuantitativa)
Variable independiente: ocurrencia de un incendio (cualitativa)
H0 = La mediana del número de especies de ácaros edáficos es igual en la parcela quemada que en la no
quemada: M quemada = M no quemada
Hecol= La mediana del número de especies de ácaros edáficos varía dependiendo de que se haya
producido un incendio: Mquemada ? M no quemada . Por tanto, de acuerdo con nuestra hipótesis ecológica, vamos a
hacer un test de dos colas.
Los datos obtenidos en el muestreo son los siguientes:
Parcela
quemada
no quemada
Número de especies de ácaros edáficos
6 9 12 12 15 16
10 13 16 16 17 19 20
n
6
7
- Asignación de rangos a cada dato:
dato *
rango
6 9 10 12 12 13
1 2 3 4’5 4’5 6
15
7
16
9
16 16 17 19 20
9
9 11 12 13
* en negrita los valores correspondientes al inventario de la parcela quemada
- Se suman los rangos de cada grupo: R1 =28 R2 =63
- Cálculo del estadístico Ucal :
U1 =6x7+[(7x8)/2]-63=7
U2 =6x7+[(6x7)/2]-28=35 è Ucal
- Comprobación de la significación del estadístico Ucal :
Ucal = 35 < Ucít (a=0.05) = 36 è No se rechaza la H0 , concluimos que el número de especies de
ácaros edáficos no se ve influido significativamente por la ocurrencia de un incendio de baja intensidad.
4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS
Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de más de
dos grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben
al azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando.
13
Relacionan una variable cualitativa de más de dos casos (variable independiente) con otra
cuantitativa (variable dependiente). Los estados de la variable cualitativa designan dichos
grupos. Un ejemplo de problema científico en el que utilizaríamos este tipo de tests sería
determinar si existen diferencias significativas en la densidad de escarabajos (variable
dependiente, cuantitativa) que encontramos en un determinado lugar en las cuatro estaciones
del año (variable independiente, cualitativa, define los grupos).
4.1. Selección del test
La selección del test apropiado para analizar nuestros datos se hace a través del
siguiente procedimiento: Una vez que se ha hecho el muestreo y se ha medido la variable
cuantitativa en cada uno de los grupos de la población, se construye un diagrama de
frecuencias (o se realiza un test estadístico si se dispone de software apropiado) para
comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en cada uno de los grupos. Asimismo, se
realiza el test de la F de Snedecor para comprobar la homogeneidad de las varianzas entre los
distintos grupos.
Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las
varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: ANOVA
En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: Kruskal-Wallis
4.2. Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA)
Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de
una determinada variable cuantitativa en tres o más grupos de datos.
4.2.1. Requisitos
• Datos distribuidos según una distribución normal
• Las varianzas de las distintas muestras han de ser iguales
• Muestras independientes y tomadas al azar
4.2.2. Hipótesis
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos
considerados, es decir, que al menos dos de las medias serán distintas. La hipótesis nula
establece que no existen diferencias entre dichas medias.
Hecol: No todas las medias son iguales
H0 :
µ1 = µ2 = ... = µk
4.2.3. Procedimiento de cálculo
La valoración de las diferencias entre las medias de los distintos grupos se basa en la
descomposición de la variabilidad total del conjunto de datos en dos términos: variabilidad
debida a las diferencias entre los grupos (variabilidad entre grupos), y variabilidad debida al
azar del muestreo (variabilidad dentro de grupos).
Variabilidadtotal = Variabilidadentre grupos + Variabilidaddentro grupos
La variabilidad entre datos se puede estimar con la varianza (s2 ), y con Suma de
Cuadrados (SS), que es el cociente entre la varianza y los grados de libertad (g-l.). Por tanto:
SStotal = SSentre grupos + SSdentro grupos
14
Las diferentes sumas de cuadrados se obtienen a partir de las siguientes fórmulas:
SS total = ∑ x
2
2
 ( x )2 ( x )2
(
xk )  (∑ x )
∑
1
∑
2
∑
−
SS entre grupos = 
+
+ ... +
n2
nk 
N
 n1

N = número total de datos
n1 , n 2 ,..., n k = número de datos en cada grupo
(∑ x )
−
2
2
N
k = número de grupos
k
=
n
ú
m
e
r
o
d
e
g
r
u
p
o
s
N
=
n
úú m m e or
o
t
o
t
at ol
t
a
l
d
e
d
e
d
a
t
od
sa
t
o
s
n
1
n
,
1
n
,
n
2
,
.2
.
.,
,.
.
n.
,
n
k
k
=
n=
ú
m
en r ú o m
e
r
o
d
e
d
e
d
a
t
od
sa
t
o
s
e
n
e
n
c
a
d
ca
a
d
a
g
r
u
pg or u
p
x = cada uno de los datos de cada grupo
El cálculo de la suma de cuadrados dentro de grupos es más laboriosa y por ello la
obtenemos despejando de la ecuación:
SSdentro grupos = SStotal – SSentre grupos
- Cálculo de los grados de libertad de las sumas de cuadrados:
g .l. SS total = N − 1
g .l. SS entre gupos = k − 1
g .l. SS dentrogrupos = N − k
- Conversión de las sumas de cuadrados (SS) en varianzas:
2
sentre
grupos =
SS entre grupos
g.l .entre grupos
=
SS entre grupos
2
s dentro
grupos =
k −1
SS dentro grupos
g .l. dentro grupos
=
SS dentro grupos
N −k
- Cálculo del estadístico F:
F=
2
s entre
grupos
2
s dentro
grupos
Si en la población de la que proceden las muestras no hay diferencias reales entre los
grupos definidos por la variable cualitativa, la varianza entre grupos será similar a la varianza
dentro de grupos (por tanto el cociente entre ambas estará cerca de 1). En el caso de que
existan diferencias reales entre los grupos (lo que presupone la hipótesis ecológica) la
varianza entre grupos será mayor que la varianza dentro de los grupos (el cociente entre
ambas será mayor de 1). El estadístico que nos dice si las desviaciones respecto a ese valor de
1 son significativas es F.
El contraste de hipótesis se realiza comparando el valor de la Fcal con el valor Fcrít
obtenido a partir de la tabla para el valor de α previamente establecido (normalmente α=0.05
o inferior). La búsqueda de dicha Fcrít requiere del número de grados de libertad del
numerador y del denominador. La forma habitual de notación que se usa en las tablas lleva el
valor de α entre paréntesis, y los grados de libertad del numerador y del denominador a
continuación, en orden consecutivo y separados por comas. Por ejemplo, Fcrít (0.05) 3, 22.
significa el valor del estadístico F de las tablas para un α=0.05, con 3 grados de libertad en el
numerador y 22 en el denominador.
- Si Fcal ≥ Fcrít ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (alguna de las medias es diferente)
- Si Fcal < Fcrít ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medias son iguales)
4.2.4. Caso Práctico
Se quiere saber si el tipo de cobertura de suelo (suelo desnudo, piedras, hojarasca y pastizal) influye
sobre la densidad de hormigueros. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha medido el número de
hormigueros en diez muestras distribuidas al azar dentro de cada una de las zonas con diferente cobertura.
15
- Variables: cobertura de suelo (cualitativa, independiente) y densidad de hormigueros (cuantitativa,
dependiente)
- Hecol: Alguna de las medias es diferente (la cobertura de suelo influye sobre la densidad de
hormigueros)
- H0 : µsuelo desnudo = µpiedras =µhojarasca = µpastizal
Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos:
Cobertura
suelo desnudo
piedras
hojarasca
pastizal
Total
78
78
79
77
Densidad de hormigueros
88 87 88 83 82 81 80 80
78 83 81 78 81 81 82 76
73 79 75 77 78 80 78 83
69 75 70 74 83 80 75 76
89
76
84
75
n
10
10
10
10
40
Media
83.6
79.4
78.6
75.4
Σx
836
794
786
754
3170
(Σ x)2
698896
630436
617796
568516
Σ x2
70036
63100
61878
57006
252020
• Cálculo de la suma de cuadrados total:
SST = 252020 - (3170)2 /40 = 797.5
• Cálculo de la variabilidad entre grupos (SSentre grupos):
SSentre = 698896/10 + 630436/10 + 617796/10 + 568516/10 - 31702 /40 = 341.9
• Cálculo de la variabilidad dentro de los grupos (SSdentro grupos):
SST = SSentre + SSdentro
⇒
SSdentro = SStotal - SSentre = 797.5 – 341.9 = 455.6
• Determinar los grados de libertad de cada una de las suma de cuadrados estimadas:
SST = N - 1 = 40 - 1 = 39
SSentre grupos = k - 1 = 4 - 1 = 3
SSdentro grupos = N - k = 40 - 4 = 36
• Estimación de las varianzas dividiendo las SS por los grados de libertad:
s 2 entre grupos = 341.9/3 = 113.97
s 2 dentro grupos = 455.6/36 12.66
• Cálculo del estadístico Fcal y comparación con el estadístico Fcrít:
Fcal = s 2 entre grupos /s 2 dentro grupos =113.97/12.66 = 9.002
Fcrít (0.05) 3, 36 < 2.92
Fcal > Fcrít ⇒
Rechazamos Ho
La abundancia de hormigueros
no es la misma en todas las zonas
con distinta cobertura de suelo
4.3. Test no paramétrico: Kruskal-Wallis
Se basa en rangos en lugar de los parámetros de la muestra (media, varianza). Se
emplea cuando los datos no siguen la distribución normal y/o tienen varianzas distintas, en
sustitución del ANOVA paramétrico. Cuando el número de grupos es 2 es idéntico a la U de
Mann-Whitney.
4.3.1. Requisitos
• Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad
de varianzas, o variable semicuantitativa.
• Muestras independientes y al azar.
4.3.2. Hipótesis
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (Μ) de los
grupos considerados, es decir, que al menos dos de las medianas serán distintas. La hipótesis
nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas.
Hecol: Las medianas no son todas iguales
H0 :
Μ 1 = Μ 2 = ... = Μ k
4.3.3. Procedimiento de cálculo
- Asignación de rangos: se realiza exactamente igual que para la U de Mann-Whitney.
16
- Cálculo del estadístico H:
H=
k
12
Ri2
∑ − 3( N + 1)
N ( N + 1) i=1 ni
k = número de grupos
N = número total de datos
ni = número de datos en el grupo i
Cuando existen rangos ligados (dos o más números con el mismo rango) se aplica un
factor de corrección, siendo Hc el estadístico que se utiliza en lugar de H, calculado según la
siguiente expresión:
m
H
Hc =
C
C =1−
∑ (t
i =1
3
i
− ti )
N3 − N
t i = número de rangos ligados en cada grupo
m = número de grupos de rangos ligados
El valor crítico del estadístico calculado (H o Hc) se consulta en la tabla de la χ2 si
N≥15, o si k > 5, para (k-1) grados de libertad. Si N<15 y k<5 se consulta en la tabla
específica para H.
- Si Hcal ≥ Hcrít (χ2 crít ) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (alguna de las medianas es
diferente)
-
Si Hcal < Hcrít (χ2 crít ) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medianas son iguales)
4.3.4. Caso práctico:
Se quiere estudiar si el pH de cuatro charcas situadas sobre sustratos diferentes es distinto. Para ello se
obtuvieron 8 muestras de agua procedentes de cada una de las charcas, midiéndose el pH en cada una de ellas.
Los datos de pH se ordenaron de forma ascendente para cada charca. (Una muestra de agua de la charca nº 3 se
perdió, de forma que n3 =7; pero el test no requiere igualdad en el número de datos de cada grupo). Los rangos se
muestran entre paréntesis.
Variable dependiente: pH (cuantitativa)
Variable independiente: tipo de sustrato sobre el que cada charca (cualitativa)
H0 = el pH es el mismo en las cuatro charcas
Hecol= el pH no es el mismo en las cuatro charcas
Charca 1
7.68 (1)
7.69 (2)
7.70 (3.5*)
7.70 (3.5*)
7.72 (8)
7.73 (10*)
7.73 (10*)
7.76 (17)
Charca 2
7.71 (6*)
7.73 (10*)
7.74 (13.5*)
7.74 (13.5*)
7.78 (20*)
7.78 (20*)
7.80 (23.5*)
7.81 (26*)
Charca 3
7.74 (13.5*)
7.75 (16)
7.77 (18)
7.78 (20*)
7.80 (23.5*)
7.81 (26*)
7.84 (28)
Charca 4
7.71 (6*)
7.71 (6*)
7.74 (13.5*)
7.79 (22)
7.81 (26*)
7.85 (29)
7.87 (30)
7.91 (31)
n 1 =8
R1 =55
n 2 =8
R2 =132.5
n 3 =7
R3 =145
n 4 =8
R4 =163.5
* Rangos ligados
17
N = 8 + 8 + 7 + 8 = 31
H=
12
N ( N + 1)
k
∑
i =1
2
Ri
12  55 2 132 .5 2 145 2 163 .5 2 
− 3( N + 1) =
+
+
+

 − 3(32) = 11 .876
ni
31(32 )  8
8
7
8 
Número de grupos de rangos ligados = m = 7
m
∑(t
3
i
i =1
m
C =1−
Hc =
− t i ) = (23 − 2) + (33 − 3) + (33 − 3) + (43 − 4) + (33 − 3) + (23 − 2) + (33 − 3) = 168
∑ (t
3
i
− ti )
i =1
N3 −N
=1−
168
168
=1−
= 0.9944
29760
313 − 31
H 11. 876
=
= 11 .943
C 09944
2
H c cal > χ crít
ν = k −1 = 3
⇒
χ 02.05, 3 = 7.815
Se rechaza H0
El pH no es el mismo en todas las charcas
5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS:
ÍNDICES DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación cuantifica el grado de asociación entre dos variables
cuantitativas.
ρ es el coeficiente de correlación real que existe entre dos variables en el conjunto de
la población.
r y rs son los coeficientes medidos sobre la muestra.
5.1. Rangos de variación de los coeficientes
Los coeficientes de correlación varían entre –1 y 1 del siguiente modo:
a) 1≥ ρ > 0 : correlación positiva.
b) −1 ≤ ρ < 0 : correlación negativa.
c) ρ ≈ 0 : no hay correlación, los valores de x e y varían de forma independiente.
Cuanto más cerca esté el coeficiente de 1 ó –1, más fuerte es la correlación
5.2. Hipótesis
a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS
Existe correlación entre las variables x e y, ya sea positiva o negativa. La hipótesis
nula dice que no existe correlación entre las variables.
Hec: ρ ≠ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0)
18
H0 : ρ = 0
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA
Existe correlación positiva o negativa entre las variables x e y. La hipótesis nula dice
que no hay correlación o que ésta es del signo contrario al esperado en la hipótesis ecológica.
Hecol: ρ > 0 ⇒ H0 : ρ ≤ 0
Hecol: ρ < 0 ⇒ H0 : ρ ≥ 0
5.3. Selección del test
Para seleccionar el tipo de correlación con el que analizaremos nuestros datos
(paramétrica o no paramétrica), seguiremos los siguientes pasos: una vez que se haya
realizado el muestreo y hayamos medido las variables x e y en la muestra, representaremos los
pares de datos en un diagrama x-y. A continuación comprobaremos la normalidad de las
variables (construyendo el diagrama de frecuencias o utilizando un software apropiado).
Si las dos variables cuantitativas siguen una distribución normal, utilizaremos la
correlación de Pearson (paramétrica).
Si alguna de las dos variables cuantitativas no sigue una distribución normal,
utilizaremos la correlación de Spearman (no paramétrica).
5.4. Correlación paramétrica: r de Pearson
5.4.1. Procedimiento de cálculo
El cálculo del índice de correlación de Pearson se hace a partir de la siguiente fórmula:
i =n
r=
i =n
i =n
n ∑ xi yi − ∑ xi × ∑ yi
i =1
i =1
i =1
2
 n=i
  n=i
n =i
 n x 2 −  x   ×  n y 2
i
i  
i


n=1
 n=1    n=1

∑
∑
 
∑
 n =i 
−  ∑ yi 
 n=1 
n- nº de pares de muestras
2



x i- valores de la variable x
yi- valores de la variable y
A continuación, se comprueba la significación del índice de correlación calculado
comparándolo con el valor de un estadístico rcrit obtenido a partir de la tabla correspondiente,
para una a = 0.05 o inferior y las colas que establezca la hipótesis.
Si rcal ≥ rcrit (a=0.05 o inferior) à Se rechaza la hipótesis nula. à Existe
correlación.
5.4.2. Caso práctico
Un ornitólogo está interesado en conocer la longitud del pico de una población de aves que estudia. Sin
embargo esa medida resulta más costosa de tomar que el peso corporal. Por ello quiere saber si ambas variables
se correlacionan para estimar la primera a partir de la segunda.
- Variables: x- longitud del pico; y –peso corporal. Ambas son cuantitativas y normales.
- Hipótesis de dos colas:
Hecol: ρ ≠ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0)
H0 : ρ = 0
Tras tomar una muestra de 10 individuos se obtienen los siguientes datos:
19
Obs.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SUMA
Longitud
del pico
(mm)
33.5
38.0
32.0
37.5
31.5
33.0
31.0
36.5
34.0
35.0
342
Peso
corporal (g)
x2
y2
xy
51
59
49
54
50
55
48
53
52
57
528
1122
14444
1024
1406
992
1089
961
1332
1156
1225
11752
2601
3481
2401
2916
2500
3025
2304
2809
2704
2349
27990
1708
2242
1568
2025
1575
1815
1488
1935
1768
1995
18119
n = 10; r = 0.779, rcal = 0.779 > r crit (0.01) n=10 = 0.765. Se rechaza H0 y se acepta Hecol
Por tanto, se puede concluir que existe una correlación positiva entre el peso corporal y la longitud del
pico de esa población de aves. Esto significa que los cambios en peso corporal de esas aves son un fiel reflejo de
los cambios en la longitud del pico.
5.5. Correlación no paramétrica: r de Spearman
5.5.1. Procedimiento de cálculo
Para calcular la r de Spearman hay que realizar los siguientes pasos:
- Ordenar los pares de datos en función del valor de x y asignar rangos a x.
- Repetir la ordenación en función de y y asignar rangos a y.
- Calcular el coeficiente:
i =n
rs = 1 −
6∑ d i2
i =1
3
n −n
n = nº de pares de datos
di = diferencia de rangos en las variables del par i
Para comprobar la significación estadística del índice de correlación se consulta en la
tabla correspondiente el valor crítico de rs para n pares de datos, para p=0.05 o inferior y para
el número de colas acorde con la hipótesis. Si rs cal ≥ rs crít, se rechaza H0 .
5.5.2. Caso práctico
Se sospecha que la abundancia de la especie de gramínea Poa bulbosa en los pastizales mediterráneos
depende en gran medida de la humedad que hay en el suelo. Para comprobar la hipótesis se realiza un muestreo
con una cuadrícula de 20 cm de lado, que se dispone 12 veces al azar sobre la comunidad de pasto. En cada
cuadrícula se mide la cobertura de la especie y la humedad del suelo mediante un TDR.
Variables: Cobertura de la especie y humedad del suelo. Ambas son cuantitativas, y no siguen una
distribución normal.
Hipótesis de una cola: existirá una correlación positiva entre la cobertura de Poa y la humedad.
Hec: ρ > 0 è H0 : ρ ≤ 0
Tras realizar el muestreo se obtienen los siguientes datos:
20
Obs.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
rs = 1 −
Cobertura
82
98
87
40
116
113
111
83
85
126
106
117
6 × 52
12 3 − 12
Humedad
42
46
39
37
65
88
86
56
62
92
54
81
Rango cob.
2
6
5
1
10
9
8
3
4
12
7
11
Rango hum.
3
4
2
1
8
11
10
6
7
12
5
9
d
-1
2
3
0
2
-2
-2
-3
-3
0
2
2
Suma
d2
1
4
9
0
4
4
4
9
9
0
4
4
52
= 0.82 > rs crit (0.05) = 0.503 --> Se rechaza H0 , hay correlación positiva entre la
cobertura de Poa bulbosa y la humedad del suelo.
Es importante destacar que este muestreo no es una demostración de una relación causa-efecto entre
las variables, es decir, que con este muestreo no podemos concluir que la mayor humedad de suelo es la causa de
la mayor abundancia de Poa bulbosa. Para determinar relaciones de causa-efecto se necesita realizar
experimentos controlados y otros tests estadísticos que verifiquen ese tipo de relación.
21
6. TABLAS ESTADÍSTICAS
6.1. Tabla de valores críticos del estadístico χ2
22
6.2. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student
One tailed: hipótesis de una cola
Two tailed: hipótesis de dos colas
23
6.3. Tabla de valores críticos del estadístico U de Mann Whitney
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 19
20 20
21 21
22 22
23 23
24 24
25 25
26 26
27 27
28 28
29 29
30 30
31 31
32 32
33 33
34 34
35 35
36 36
37 37
38 38
39 38
39
40 39
40
2 2
3
4
5
10
6
12
7
14
8
15
16
9
17
18
10 19
20
11 21
22
12 22
23
13 24
26
25
14 25
28
27
24
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01
2 15 27
30
29
16 29
32
31
17 31
34
32
18 32
36
34
19 34
37
36
38
20 36
39
38
40
21 37
41
39
42
22 39
43
41
44
23 41
45
43
46
24 42
47
45
48
25 44
49
47
50
26 46
51
48
52
27 47
52
50
53
28 49
54
52
55
29 51
56
54
57
30 53
58
55
59
31 54
60
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31 267 292 278 301
32 275 301 287 310
33 283 310 296 319
34 291 319 304 329
35 299 328 312 338
36 308 337 321 347
37 316 346 330 356
38 324 355 338 365
39 332 363 347 374
40 341 372 355 384
14 14 135 149 141 154
15 144 159 151 164
16 153 168 160 174
17 161 178 169 184
18 170 187 178 194
19 179 197 188 203
20 188 207 197 213
21 197 216 206 223
22 206 226 215 233
23 215 235 224 243
24 223 245 234 253
25 232 255 243 263
26 241 264 252 272
27 250 274 261 282
28 259 283 270 292
29 268 293 279 302
30 276 302 289 312
31 285 312 298 321
32 294 321 307 331
33 303 331 316 341
34 312 341 325 351
35 320 350 334 361
36 329 360 343 370
37 338 369 353 380
38 347 379 362 390
39 356 388 371 400
40 364 398 380 410
15 15 153 169 161 174
16 163 179 170 185
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01
15 17 172 189 180 195
18 182 200 190 206
19 191 210 200 216
20 200 220 210 227
21 210 230 219 237
22 219 240 229 248
23 229 251 239 258
24 238 261 249 269
25 247 271 258 279
26 257 281 268 290
27 266 291 278 300
28 276 301 288 311
29 285 312 297 321
30 294 322 307 331
31 304 332 317 342
32 313 342 327 352
33 323 352 336 363
34 332 362 346 373
35 341 372 356 383
36 351 382 366 394
37 360 393 375 404
38 369 403 385 415
39 379 413 395 425
40 388 423 404 435
16 16 173 190 181 196
17 183 201 191 207
18 193 212 202 218
19 203 222 212 230
20 213 233 222 241
21 223 244 233 252
22 233 255 243 263
23 243 266 253 274
24 253 276 264 285
25 263 287 274 296
26 273 298 284 307
27 283 309 295 318
28 292 319 305 329
29 302 330 315 340
30 312 341 326 351
31 322 352 336 362
32 332 362 346 373
33 342 373 357 384
34 352 384 367 395
35 362 395 377 406
36 372 405 388 417
37 382 416 398 428
38 392 427 408 439
39 402 437 418 450
40 412 448 429 461
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01
17 17 193 212 202 219
18 204 224 213 231
19 214 235 224 242
20 225 247 235 254
21 236 258 246 266
22 246 269 257 278
23 257 281 268 289
24 267 292 279 301
25 278 303 290 313
26 288 315 301 324
27 299 326 312 336
28 309 337 322 348
29 320 349 333 359
30 330 360 344 371
31 341 371 355 382
32 351 383 366 394
33 362 394 377 406
34 372 405 388 417
35 383 417 399 429
36 393 428 410 440
37 404 439 420 452
38 414 451 431 464
39 425 462 442 475
40 435 473 453 487
18 18 215 236 225 243
19 226 248 236 255
20 237 260 248 268
21 248 272 259 280
22 260 284 271 292
23 271 296 282 305
24 282 308 294 317
25 293 320 305 329
26 304 332 317 341
27 315 344 328 354
28 326 355 340 366
29 337 367 351 378
30 348 379 363 390
31 359 391 374 403
32 370 403 386 415
33 382 415 397 427
34 393 427 409 439
35 404 439 420 451
36 415 451 432 464
37 426 463 443 476
38 437 475 454 488
39 448 486 466 500
40 459 498 477 512
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01
19 19 238 260 248 268
20 250 273 261 281
21 261 286 273 294
22 273 298 285 307
23 285 311 297 320
24 296 323 309 333
25 308 336 321 346
26 320 348 333 359
27 331 361 345 371
28 343 373 357 384
29 355 386 369 397
30 366 398 381 410
31 378 411 393 423
32 390 423 405 436
33 401 436 417 448
34 413 448 429 461
35 424 461 441 474
36 436 473 453 487
37 448 486 465 500
38 459 498 477 512
39 471 511 489 525
40 482 523 502 538
20 20 262 286 273 295
21 274 299 286 308
22 276 313 299 322
23 299 326 311 335
24 311 339 234 349
25 323 352 337 362
26 335 365 349 376
27 348 378 362 389
28 360 391 374 403
29 372 404 387 416
30 384 418 400 430
31 396 431 412 443
32 409 444 425 456
33 421 457 438 470
34 433 470 450 483
35 445 483 463 497
36 457 496 475 510
37 469 509 488 523
38 482 522 501 537
39
535 513 550
40
548 526 563
27
6.4. Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor
?1 : grados de libertad del numerador
?2 : grados de libertad del denominador
a = 0.05
a = 0.01
28
6.5. Tabla de valores críticos del estadístico H de Kruskal-Wallis
n1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
8
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n2
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
3
4
4
4
4
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
7
8
2
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
n3
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
3
3
3
n4
n5
α=0.05
α=0.01
4.714
5.143
5.361
5.600
5.333
5.208
5.444
5.791
4.967
5.455
5.598
5.692
5.000
5.160
4.960
5.251
5.648
4.985
5.273
5.656
5.657
5.127
5.338
5.705
5.666
5.780
4.822
5.345
4.855
5.348
5.615
4.947
5.340
5.610
5.681
4.990
5.338
5.602
5.661
5.729
4.945
5.410
5.625
5.724
5.765
5.801
5.819
5.805
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
3
5.679
6.167
5.833
5.333
6.333
6.244
6.527
6.600
6.727
7.000
6.444
6.745
6.667
7.036
7.144
7.654
6.533
6.909
7.079
6.955
7.205
7.445
7.760
7.309
7.338
7.578
7.823
8.000
6.982
6.970
7.410
7.106
7.340
7.500
7.795
7.182
7.376
7.590
7.936
8.028
7.121
7.467
7.725
8.000
8.124
8.222
8.378
8.465
4
4
n1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
2
n2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
n3
2
2
1
2
2
3
3
3
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
1
1
n4
1
2
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
3
3
3
n5
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
3
5.833
α=0.05
6.133
6.545
6.178
6.309
6.621
6.545
6.795
6.984
5.945
6.386
6.731
6.635
6.874
7.038
6.725
6.957
7.142
7.235
α=0.01
7.000
7.391
7.067
7.455
7.871
7.758
8.333
8.659
7.909
7.886
8.346
8.231
8.621
8.876
8.588
8.871
9.075
9.287
6.750
7.133
7.418
7.533
8.291
6.583
6.800
7.309
7.682
7.111
7.200
7.591
7.910
7.576
7.759
8.044
8.000
8.200
8.333
7.600
8.127
8.682
8.073
8.576
9.115
8.424
9.051
9.505
9.451
9.876
10.200
6.667
7.133
7.200
7.636
7.400
8.105
8.538
29
6.6. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r)
Una cola
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
α =0.05
0.988
0.900
0.805
0.729
0.669
0.622
0.582
0.549
0.521
0.497
0.476
0.458
0.441
0.426
0.412
0.400
0.389
0.378
0.369
0.360
0.352
0.344
0.337
0.330
0.323
0.317
0.312
0.306
0.296
0.287
0.279
0.271
0.264
0.257
0.251
0.246
0.240
0.235
0.231
0.226
0.222
0.218
0.214
0.211
0.207
0.204
0.201
0.198
0.195
0.193
0.190
0.188
0.185
0.183
0.181
0.179
0.177
0.174
0.173
0.171
0.169
0.167
0.165
α =0.01
1.000
0.980
0.934
0.882
0.833
0.789
0.750
0.715
0.685
0.658
0.634
0.612
0.592
0.574
0.558
0.542
0.529
0.515
0.503
0.492
0.482
0.472
0.462
0.453
0.445
0.437
0.430
0.423
0.409
0.397
0.386
0.376
0.367
0.358
0.350
0.342
0.335
0.328
0.322
0.316
0.310
0.305
0.300
0.295
0.290
0.286
0.282
0.278
0.274
0.270
0.266
0.263
0.260
0.257
0.253
0.251
0.248
0.245
0.242
0.240
0.237
0.235
0.232
Dos colas
α =0.05
0.997
0.950
0.878
0.811
0.755
0.707
0.666
0.632
0.602
0.576
0.553
0.532
0.514
0.497
0.482
0.468
0.456
0.444
0.433
0.423
0.413
0.404
0.396
0.388
0.381
0.374
0.367
0.361
0.349
0.339
0.329
0.320
0.312
0.304
0.297
0.291
0.285
0.279
0.273
0.268
0.263
0.259
0.254
0.250
0.246
0.242
0.239
0.235
0.232
0.229
0.226
0.223
0.220
0.217
0.215
0.212
0.210
0.207
0.205
0.203
0.201
0.199
0.197
α =0.01
1.000
0.990
0.959
0.917
0.875
0.834
0.798
0.765
0.735
0.708
0.684
0.661
0.641
0.623
0.606
0.590
0.575
0.561
0.549
0.537
0.526
0.515
0.505
0.496
0.487
0.479
0.471
0.463
0.449
0.436
0.424
0.413
0.403
0.393
0.384
0.376
0.368
0.361
0.354
0.348
0.341
0.336
0.330
0.325
0.320
0.315
0.310
0.306
0.302
0.298
0.294
0.290
0.286
0.283
0.280
0.276
0.273
0.270
0.267
0.264
0.262
0.259
0.257
30
6.7. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (rs)
a (1): hipótesis de una cola
a (2): hipótesis de dos colas
31