Programación Matemática para Economistas 1 24.- Una empresa produce dos bienes, A y B. La empresa tiene tres factorías que producen conjuntamente ambos bienes en las cantidades por hora dadas en la tabla siguiente: Factoría I Factoría II Factoría III Bien A 10 20 20 Bien B 20 10 20 La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. El coste operativo por hora de las factorías I, II y III es de 10.000, 8.000 y 11.000 euros respectivamente. a) b) c) d) Formule y resuelva el problema de programación lineal para determinar el número de horas que debe funcionar cada factoría para minimizar el coste de pedido. Determine el problema dual y su solución mediante lo obtenido en el apartado anterior. ¿Cuánto aumentará el coste mínimo del pedido si el coste por hora de la factoría I aumenta en 100 euros? ¿Cuánto puede aumentar o disminuir el número de unidades del pedido del bien B para que la tabla óptima obtenida en el apartado a) se mantenga? Solución: a) Teniendo en consideración que la información suministrada es de la producción por hora, conjuntamente, en cada una de las factorías, es decir, por cada hora de funcionamiento de la Factoría I, se producen 10 unidades del bien A y 20 del bien B a la vez. Entonces nuestro modelo viene dado por Min 10000 x1 + 8000 x 2 + 11000 x3 s.a 10 x1 + 20 x 2 + 20 x3 ≥ 300 20 x1 + 10 x 2 + 20 x3 ≥ 500 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 cuya solución es: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 255000.0 VARIABLE VALUE X1 20.000000 REDUCED COST 0.000000 R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas X2 X3 0.000000 5.000000 2 1500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -100.000000 3) 0.000000 -450.000000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 10000.000000 1000.000000 1500.000000 X2 8000.000000 INFINITY 1500.000000 X3 11000.000000 1000.000000 1000.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 300.000000 200.000000 50.000000 3 500.000000 100.000000 200.000000 es decir (20, 0, 5), con un coste de 255.000 euros. b) El problema dual viene dado por Max 300λ1 + 500λ 2 s.a 10λ1 + 20λ 2 ≤ 10000 20λ1 + 10λ 2 ≤ 8000 20λ1 + 20λ 2 ≤ 11000 λ1 , λ 2 ≥ 0 cuya solución viene dada por la resolución del problema primal, siendo el valor de la función objetivo el mismo y los valores de las variables duales son (100, 450), los precios duales cambiados de signo debido a la estructura del problema primal. c) Si el coste por hora de la factoría I crece en 100€, ¿cuánto crece el coste mínimo? Esta pregunta, en principio tiene dos posibles contestaciones, dependiendo de si al aumentar en 100 unidades el coeficiente de la variable x1, cambia la solución, es decir, cambia la base óptima o no. R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas 3 En nuestro caso no cambia la base pues según el análisis de sensibilidad, dicho coeficiente en 1.000 unidades sin que cambie la base. Por tanto en este caso tendremos que la modificación en el coste mínimo será de 100x1 es decir, 2.000 será el incremento del coste mínimo, debido al incremento del coste unitario. d) Nos solicitan un análisis de sensibilidad del segundo recurso, que en este caso viene dado por el intervalo [300, 600]. R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz